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专题 27.48 《相似》中考常考考点专题（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
【知识点一】相似三角形相关概念及性质
【考点一】比例的性质✮✮线段的比
1．（2019·四川雅安·中考真题）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
2．（2022·山东聊城·二模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰
部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计
一座高度为 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考
数据： ， ， ）
A． B． C． D．
【考点二】成比例线段✮✮黄金分割
3．（2020·甘肃·临潭县第二中学一模）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
4．（2022·湖南邵阳·三模）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，
即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 ，则称点P是AB的黄金
分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金
分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【考点三】相似图形✮✮相似多边形
5．（2020·上海嘉定·一模）下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两
个正方形
6．（2020·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，
得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间
距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【考点四】相似多边形的性质
7．（2020·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（
）
A． B． C． D．8．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平
方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方
形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【考点五】平行线分线段成比例
9．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图， 中，点D在 上，过点D作
交 于点E，过点E作 交 于点F，连接 ，交 于点G，则下列说法不正
确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·陕西·模拟预测）如图，在 中， ，点D为 的中点，
∥ 交 于点E，连接 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．26
【知识点二】相似三角形
【考点一】相似三角形的判定
11．（2022·重庆·二模）如图，在 ABC中，DE BC， ，记 ADE的面积为
s，四边形DBCE的面积为s，则 的值是（ ）
1 2A． B． C． D．
12．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判
定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明
13．（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，矩形 中， ， ，点P在对
角线 上，且 ，连接 并延长，交 的延长线于点Q，连接 ，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·河南南阳·二模）如图，在 中，点D、E分别在AB、AC边上，
，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格
15．（2016·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC
是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（ ，0），则点A的坐标为（ ）
A．（1，2 ） B．（2，2 ） C．（2 ，1） D．（2 ，2）
16．（2022·江西景德镇·九年级期末）如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，
下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（ ）
A． B．C． D．
【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题
17．（2022·四川德阳·二模）如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以
0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终
点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段
QD+QP的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
18．（2022·浙江金华·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD
上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则满足条件的点P的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学三模）如图，小明利用标杆BE测量建筑物
DC的高度，已知标杆BE的长为1.2米，测得AB= 米，BC＝ 米，则楼高CD是
（ ）A．6.3米 B．7.5米 C．8米 D．6
20．（2022·河北·一模）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前
进4米到达B处时，测得影子 长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到
达D处，此时影子 长为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【知识点三】位似三角形
【考点一】位似图形及相关概念
21．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）如图，在边长为1的正
方形网格中， ABC与 DEF是位似图形，则 ABC与 DEF的面积比是（ ）
A．4：1 B．2：1 C． ：1 D．9：1
22．（2022·广西河池·三模）如图，以点O为位似中心，把 放大为原图形的2倍
得到 ，以下说法正确的有（ ）个①
②
③点A，O， 三点在同一条直线上
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点二】位似图形✮✮坐标
23．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）如图，直线 与x
轴交于点A，与y轴交于点B， 与 是以点A为位似中心的位似图形，且相似
比为1∶3，则点B的对应点 的坐标为( )
A． B． C． 或 D． 或
24．（2022·河北保定·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1， 的
三个顶点均在格点上， 与 位似，点 为位似中心，且位似比为1：2．若在网
格中建立坐标系，点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）A． B． 或 C． D． 或
二、填空题
【知识点一】相似图形相关概念及性质
【考点一】比例的性质✮✮线段的比
25．（2022·江苏淮安·一模）在比例尺为 ： 的南京交通旅游图上，玄武湖隧道
约长 ，它的实际长度约为______ ．
26．（2022·安徽·合肥市五十中学新校一模）已知： ，则k＝
____．
【考点二】成比例线段✮✮黄金分割
27．（2022··一模）已知线段 ， ，则a，b的比例中项线段等于
______．
28．（2022·陕西·西安铁一中滨河学校模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容
易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金
分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________．
【考点三】相似图形✮✮相似多边形
29．（2017·河北·模拟预测）一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成
了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是_____．30．（2016·浙江绍兴·一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E在AB上，
EF⊥DC于点F，在边AD，DF，EF，AE上分别存在点M，N，P，Q，这四点构成的四边
形与矩形BCFE全等，则DM的长度为____________．
【考点四】相似多边形的性质
31．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直
角三角板，都按照如图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正______边形，中
间围成的图形和较长直角边围成的图形面积之比是______．
32．（2020·河北·模拟预测）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两
横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为
1.2m，那么每条纵向小路的宽为__m．【考点五】平行线分线段成比例
33．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学模拟预测）如图，直线CE是平行四边形
ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，
DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD=∠BAE； ③AF：FC=1：2；
其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）
34．（2021·吉林延边·二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE
的长为______．
【知识点二】相似三角形
【考点一】相似三角形的判定
35．（2022·浙江丽水·三模）已知 中， ，过点 作一条射线，使
其将 分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法正确的是_________
（填写序号）．
36．（2021·上海崇明·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线
BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ
＝_____．【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明
37．（2022·河南商丘·三模）图， 中， ，在BC的延长线上截取
，连接AD，过点B作 于点E，交AC于点F，连接DF，点P为射线BE
上一个动点，若 ， ，当 与 相似时，BP的长为__________．
38．（2018·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学一模）如图，点D、E、F分别位于△ABC
的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格
39．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别
为 、 ，点 在第一象限内，连接 、 ．已知 ，则
_________．40．（2020·湖北恩施·模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小
正方形的顶点，则∠ABC=_______．
【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题
41．（2022·河北·二模）如图，在 中， ，点P从A出发，
以 的速度向B运动，同时点Q从C出发，以 的速度向A运动，当其中一个动
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示： =_______；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与 相似时，运动时间 ________
42．（2021·黑龙江·二模）如图，已知等腰三角形 于点
为 边中线， 相交于点 ．在 从 减小到 的过程中，点 经过
的路径长为______．【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例
43．（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）模拟预
测）如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测
量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同
一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为_____m．
44．（2022·吉林·三模）如图，小卓利用标杆EF测量旗杆AB的高度，测得小卓的身
高 米，标杆 米， 米， 米，则旗杆AB的高度是______米．
【知识点三】位似三角形
【考点一】位似图形及相关概念
45．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）如图，已知 的面积为24，以B
为位似中心，作 的位似图形 ，位似图形与原图形的位似比为 ，连接
AG、DG．则 的面积为________．46．（2019·辽宁盘锦·一模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点
是O， ，则 ＝_____．
【考点二】位似图形✮✮坐标
47．（2021·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将
AOB缩小为原来的 ，得到 COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标
△ △
是 _____．
48．（2022·广东梅州·一模）如图， 与 是以点O为位似中心的位似图形，
位似比为1∶2， ， ．若 ，则点C的坐标为______．三、解答题
【知识点四】相似三角形性质与判定综合
49．（2022·浙江杭州·一模）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，
CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．
(1) 求证：△ABD∽△CBE；
(2) 若CD＝CF，试求∠ABC的度数．
50．（2019·广西梧州·中考真题）如图，在矩形 中， ， 平分
，分别交 的延长线于点 ；连接 ，过点 作 ，分别交
于点 ．
（1）求 的长；（2）求证： ．51．（2018·浙江舟山·中考真题）已知， 中， ， 是 边上一点，作
，分别交边 ， 于点 ， .
（1）若 （如图1），求证： .
（2）若 ，过点 作 ，交 （或 的延长线）于点 .试
猜想：线段 ， 和 之间的数量关系，并就 情形（如图2）说明理由.
（3）若点 与 重合（如图3）， ，且 .
①求 的度数；
②设 ， ， ，试证明： .参考答案
1．A
【分析】根据比例的性质得到 ，结合 求得 的值，代入求值即可．
解：由a：b＝3：4 知 ，
所以 ．
所以由 得到： ，
解得 ．
所以 ．
所以 ．
故选A．
【点拨】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若 ，则 ．
2．B
【分析】设雕像的下部高为xm，根据题意可得 ，求解即可；解：设雕像的下部高为xm，则上部长为 ，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
高度为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍）或 ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方
程是解题的关键．
3．D
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的
定义进行判断即可得出结论．
解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15=3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
【点拨】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺
序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统
一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
4．A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则 ，
即可求解．
解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴ ，∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点拨】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应
线段是解决问题的关键．
5．D
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
解：A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不
符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，
符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，
叫做相似图形是解题的关键．
6．C
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，
∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则
可得 ，即新矩形与原矩形不相似．
解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ，
∴ ，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．故选：C．
【点拨】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数
形结合思想的应用．
7．D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法
判断即可．
解：作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝ ＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
【点拨】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，
则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，
勾股定理求出边长.
8．C
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩
大后长方形广告牌的面积，计算即可．
解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．
【点拨】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平
方是解题的关键．
9．A
【分析】先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比
例式即可．
解：A、∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴ ，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF∥AB，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相
似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
10．C
【分析】根据题意可知 为 的中位线，根据等腰三角形的性质可得 ，
勾股定理解 即可求解．
解： 点D为 的中点，，
∥ ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
故选C．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，
勾股定理，求得 是 中点是解题的关键．
11．D
【分析】根据 ，通过相似三角形的面积等于相似比的平方，求出
与 的面积比，再根据 得到 的值．
解：∵DE BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积等于相似比的平方．
12．C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定 ABC∽△ADE
选项C中，不是夹这△两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这
两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
13．C
【分析】根据矩形的性质可求BD， ，从而得到QC，由勾股定理即可
求解；
解：∵在矩形 中， ， ，
∴
∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活
应用是解题的关键．
14．C
【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出 和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．
解： ，
， ， ，
，
，
由 ，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例
知识点及等量代换技巧的掌握情况．
15．C
解：过点A作AE⊥OB，如图：
∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（
，0），
∴AE=2 ，
，可得： ，
解得：OC=1，
OE=EC﹣OC=2﹣1=1，
所以点A的坐标为（2 ，1），
故选C．
考点：等边三角形；相似三角形的判定与性质；勾股定理
16．A
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形
相似，分别计算各边的长度即可解题．
解：根据勾股定理，PQ= ，PR= ，QR= ，
∴PQ2+PR2=RQ2，
∴△PQR是直角三角形，且夹直角的两边的比为 =2，
观各选项，只有A选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三
角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
17．A
【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q
的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得
结论．
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（-3，0），B（0，4），
∵∠CDB=90°，
∴BC= =5（cm），
∵EH∥CD，
∴ BEH∽△BCD，
△
∴ ，
∴ ，
∴EH=0.3t，BH=0.4t，
∴E（-0.3t，4-0.4t），
∵F（0，0.4t），
∵QE=QF，
∴Q（- t，2），
∴点Q在直线y=2上运动，
∵B，D关于直线y=2对称，
∴QD=QB，
∴QP+QD=QB+QP，
∵QP+QB≥PB，PB= =2 (cm)，
∴QP+QD≥2 ，
∴QP+QD的最小值为2 ．
故选：A．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等
知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．
18．C
【分析】设AP＝x，则PD＝AD﹣AP＝10﹣x，然后分类讨论：若∠APB＝∠DPC，则
Rt△APB∽Rt△DPC，得到比例式，代入求出即可；若∠APB＝∠PCD，则
Rt△APB∽Rt△DCP，得到比例式，代入求出即可．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，
设AP＝x，则PD＝AD﹣AP＝10﹣x，
若∠APB＝∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5；
若∠APB＝∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝1或9；
所以当AP＝1或5或9时，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形
相似，即这样的P点有三个．
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想是解决
问题的关键．
19．B
【分析】先判断出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例解答．
解：∵AB= ，BC＝
∴AC=AB+BC=10
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴AB：AC=BE：CD，
∴ ：10=1.2：CD，
∴CD=7.5米．
故选：B．
【点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列
出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．
20．B
【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长．
解：如图，∵FB∥PA，GD∥PA，∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．
∴ ．
∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，
∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，
∴ ．
∴AE=5DE，
即8+DE=5DE，
解得：DE=2．
即此时影长为2米．
故选：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的
关键．
21．A
【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和
DE算出他们的比值，则面积之比也就解出来了．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
由图可知AB= = ，DE= ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1故选：A．
【点拨】本题考查位似图形的性质和相似三角形的的性质，熟练的运用似图形的性质
是解题的关键．
22．C
【分析】根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．
解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴S ABC：S ABC=1：4，故①选项说法错误；
′ ′ ′
△ △
∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；
故选C．
【点拨】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形
的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
23．D
【分析】分点 在y轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出
与 的长度即可
解：如图所示，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ 当 时 ；当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，
∴ ， ，
∴ ， ，
当点 在y轴右侧时，
，∴点B的对应点 的坐标为 ；
当点 在y轴左侧时，
，
∴点B的对应点 的坐标为 ；
综上，点B的对应点 的坐标为 或 ．
故选D．
【点拨】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况
讨论，避免漏解．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连
线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这
时的相似比又称为位似比．
24．D
【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答．
解：如图，
由图可知，点C的坐标为(-2，3)，
以点A为位似中心，在网格中画 ，使 与△ABC位似，且位似比为1：
2，
则点 的坐标为(-5，0)或(-1，4)，
故选：D．
【点拨】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键．
25．2.8
【分析】根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．解：设它的实际长度是 ，根据题意得：
： ： ，
解得： ，
．
故它的实际长度约为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题，解题的关键是由题意
列出比例式求解．
26．2或﹣1
【分析】根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换即可得答案．
解：此题要分情况考虑：
当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k＝ ＝2；
当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点拨】此题由于没有条件的限制，一定要分情况计算．要熟悉比例的等比性质，注
意等比性质的条件的限制．
27．2
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内
项之积等于两外项之积求解即可得出答案．
解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 舍去，
故答案为：2．
【点拨】本题考查的比例中项的含义，理解“若 ，则 是 的比例中项”是解本题的关键．
28． ＋2
【分析】根据黄金分割的定义可得： ， ，从而可
AC+BD=AB+CD=（ ﹣1）AB，故可求得AB的长．
解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝ AB，BD＝ AB，
∴AC＋BD＝（ ﹣1）AB，
即AB＋CD＝（ ﹣1）AB，
∵CD=1，
∴AB＝ ＋2，
故答案为： ＋2．
【点拨】本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出
AB+CD=（ ﹣1）AB．
29．9：14．
解：由题意得，①、②、④都是等腰直角三角形，
∵①，②这两块的面积比依次为1：4，
∴设①的直角边为x，
∴②的直角边为2x，
∵①，③这两块的面积比依次为1：41，
∴①：（①+③）=1：42，
即 x2：3xy=1：42，∴y=7x，
∴④的面积为6x×6x÷2=18x2，⑤的面积为4x×7x=28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2：28x2=9：14．
考点：相似三角形的性质．
30．
试题分析：如图所示
设DM=x，DM=y，则AM=4﹣x，
根据题意得：四边形MNPQ≌矩形BCFE，
∴△AMQ≌△FPN，PN=FC，MN=BC=4，∠MNO=∠PFN=∠D=90°，
∴AM=FP=4﹣x，∠DMN=∠PNF，
∴△DMN∽△FNP，
∴ ，
即 ，
∴FN= ，PN= ，
根据题意得： ，
解得： ，或 （舍去），
∴DM= ；
故答案为 ．
考点：矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、方程组的
解法等31． 六
【分析】先计算出外围封闭图形和中间围成的图形的每个内角的度数和边长即可得到
答案
解：详解：如图，∵ ，三角板的摆法相同，
∴外周的封闭图形为正六边形，边长 ，
∵ ，
∴ ，
∴中间围成的图形也是正六边形，
故答案为：六；
∵边长 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴内部和外周的正六边形为相似图形，相似比为 ，
∴面积比为 ，
故答案为：
【点拨】本题考查了相似多边形的判定和性质，读懂图形和题意是解题的关键．
32．1.8
【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多
边形列出比例式解答即可．
解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为
（60-2.4）m，
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴ ，
解得，x＝1.8，
故答案为：1.8
【点拨】题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对
应边的比相等是解题的关键．
33．①②③
【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性
质一一判断即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AB=CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA=OB= AB= DC，CD⊥CE，
∵ ，
∴ = ，
∴AE=AD，OE=OC，
∵OA=OB，OE=OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE=90°，DA=AE，
∴AC=AD=AE，
∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，
∵ ，
∴ ，故③正确，
故答案是：①②③．
【点拨】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
34．4【分析】由 ，推出 ，推出 ，可得结论．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BE=10，
∴CE=BE-BD=10-6=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段
成比例定理．
35．①②③④
【分析】根据作图可得 ，逐个分析判断 即可求解．
解：① ， ，
， ，
，
②根据作图可得 ， ，
则 ，
，
，
③根据作图可得 ，同理可得 ，
④根据作图可得 为圆的直径，则 ，同理可得 ，
故答案为：①②③④
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，作垂线，作一个角等于已知角，直径
所对的圆周角是直角，掌握基本作图是解题的关键．
36．
【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
解：如图，∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ ，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相
似比计算线段的长度是常用的方法．
37． 或9
【分析】先通过等腰三角形三线合一的性质得出BE垂直平分AD，可得 ，设
，则 ，分别讨论当 时， ，当 时，
，根据相似三角形的性质求解即可．
解： ，
，
BE垂直平分AD，
，与 相似，
或 ，
在 中， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
，解得 ，
，
在 中，
，
当 时， ，
，即 ，
；
当 时， ，
，即 ，
；
综上，BP的长为 或9 ，
故答案为： 或9 ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形
的判定和性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
38．3:2解：因为DE∥BC,所以 ,因为EF∥AB,所以 ,所以 ,故答
案为: 3:2.
39．
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证 CDE≌ CDB
（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证 AOE∽ CDE，进而可得 ，由此计算
即可求得答案．
解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴ CDE≌ CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，∵CD∥AO，
∴ AOE∽ CDE，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点
的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
40．135°．
【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然
后利用全等三角形的判定和性质，即可求出答案．
解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图：
由勾股定理，则
， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°．
故答案为：135°．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是
正确的确定格点，利用全等三角形的性质进行解题．41． ## 秒或4秒
【分析】（1）根据路程=速度 时间，即可表示出AQ的长度.
（2）此题应分两种情况讨论．①当 时；②当 时．利用相似
三角形的性质求解即可．
解：（1）由题意可知： ，
（2）连接PQ，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴当 时， ，即 ，解得
当 时， ，即 ，解得t=4．
∴运动时间为 秒或4秒．
故答案为： ； 秒或4秒
【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解
题的关键，注意不要漏解．
42．
【分析】过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE，根据菱形的性质证明
△APE∽△DPO，再得到DP= AD，根据D为定点，P随A运动而运动， 从 减小
到 的过程可知点P经过的路程为点A运动路程的 ，故可求解．
解：过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE
∵AE OB，AE=OB，
∴四边形AOBE是平行四边形∵OA=OB
∴四边形AOBE是菱形
∴AB⊥OE，
∴O、P、C、E四点共线，
∵AE OB
∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP
∴△APE∽△DPO
∴
∵D点是OB中点
∴OD= OB= AE
∴ =2
∴DP= AD
∵D为定点，P随A运动而运动， 从 减小到 的过程
∴点P经过的路程为点A运动路程的
∵OA=6
∴点A运动路程为
∴点 经过的路径长为
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查弧长公式的运用，解题的关键是根据题意找到点P的运动路径
与点A的运动路径的关系．43．12.5## ##
【分析】根据题意，移动竹竿、旗杆、竹竿和影子经过旗杆和竹竿顶端的光线构成两
个相似的直角三角形，根据相似三角形的判定与性质解答．
解：由图可知，
设旗杆的高为x米，
故答案为：12.5．
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
44．9
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，易得GF＝BH＝CD＝
1.8m，CG＝DF＝1m，GH＝BF＝11m，证明 CGE∽△CHA，再利用相似比求出AH，然后
计算AH+BH即可． △
解：过点C作CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，
由题意易得
GF＝BH＝CD＝1.8m，CG＝DF＝1m，GH＝BF＝11m，
∴EG＝EF﹣GF＝2.4m﹣1.8m＝0.6m，∵EG AH，
∴∠CGE＝∠CHA，∠CEG＝∠CAH，
∴△CGE∽△CHA，
∴ ，
∴ ，
∴AH＝7.2，
∴AB＝AH+BH＝7.2+1.8＝9（m），
即旗杆AB的高度是9m．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或
直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形
对应边的比相等的性质求物体的高度．
45．4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平
行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．
解：延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴ ．
∵位似图形与原图形的位似比为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解
题的关键．
46．
【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质解答．
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连
线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
47．（1， ）
【分析】根据位似变换的性质求出点C的坐标，根据线段中点的性质计算，求出点E
的坐标．
解：∵以原点O为位似中心，将 AOB缩小为原来的 ，得到 COD，点A的坐标为
△ △
（4，2），
∴点C的坐标为（4×（ ），2×（ ）），即点C的坐标为（﹣2，﹣1），
∴AC的中点E的坐标是（1， ），
故答案为：（1， ）．
【点拨】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
48．
【分析】根据题意可知 和 是等腰直角三角形，结合位似比，可知A是
OD的中点，连接AC，由三线合一的性质可得 ，据此只需要求出OA和AC即可
得到点C的坐标，根据 是等腰三角形和 可得 是等腰直角三角形，则
，结合点A的坐标即可解答本题．
解：如图所示：连接AC，
∵ ， ，
∴△ 为等腰直角三角形，
∴ ,
∵ 与 是以 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴A为 的中点，
∴ （等腰三角形三线合一），
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了位似的性质和等腰直角三解形的性质，正确理解位似与相似的关
系以及关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
49．(1)见分析(2)
【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到；
（2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题
解答．
（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE
∴∠BAD＝∠BCE
而∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
（2）解：设∠B＝ ，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝ ，
∴∠ADC＝
又∵CD＝CF
∴∠ADC＝∠DFC＝
∴
∴
即
【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三
角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．
法的应用是解题关键．
50．（1） ；（2）见分析.
【分析】（1）由 ， 平分 ，可得 ，得出
，可证出 ，则 ，可求出 长；
（2）由 ，可求出 ，则 ，可得 ，则 ，
根据 ，可得 ，结论得证．
（1）解：∵矩形 中， ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
解得
∴ ；
（2）∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
．
【点拨】考核知识点：相似三角形综合运用.证明相似三角形，运用相似三角形性质是
关键.
51．（1）证明见分析；（2）猜想： ，理由见分析；（3）①
；②证明见分析.
【分析】（1）根据平行线的判定，得到 ， ，证明 .即可证
明 .
（2）过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，证明 ≌ 得到
.
证明四边形 是平行四边形，即可得到 .
（3）①设 ， ，根据三角形的
内角和列出方程，求解即可.
②延长 至 ，使 ，连结 ,证明 .根据相似三角形的性
质得到
，即可证明.
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ .
∴ .（2）猜想： ，理由如下：
过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ≌ ∴ .
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ .
（3）①设 ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，即 ，
∴ ，即 .
②延长 至 ，使 ，连结 ，
∵ ， .
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ .
∴ ，∴ .
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ .
【点拨】考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判
定与性质， 综合性比较强，对学生综合能力要求较高.
