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专题 27.1 图形的相似
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;
2.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.
一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段 长度分别是 ，那么就说这两条线段的比是 ，
或写成
2．成比例线段：对于四条线段 ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 （ 称为 的比例中项）．
二、黄金分割比
1.黄金分割的定义：点 把线段 分割成 和 两段,如果 ,那么线段 被点 黄金分割，
点 叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比.
51
注意： ( 叫做黄金分割值).
2
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段 ，按照如下方法作图：
（1）经过点 作 ，使 .
（2）连接 ，在 上截取 .
（3）在 上截取 .则点 为线段 的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
D
E
A B
C
三、相似图形
1.相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形
注意：①相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
2.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
四、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.A B
几何语言： C D
E F
图一
如图一:直线 .直线 分别交 于，若 .则
拓展：
①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
如图一:直线 ，直线 分别交 于 .且
距离为 ,若 ,则
②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
如图二:在 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A
D E
B C
图二
③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
如图三:在梯形 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A D
E F
C
B
图三
五、平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.A E D
A
E
D
C
B C B
图五
图四
如图四，在 中， ,则
如图五，在 中， 交 延长线于 ,则
（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角
形的三边对应线段成比例
如图四，在 中， ，则
如图五，在 中， 交 延长线于 ，则
考点01成比例线段的概念
例1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】D
【分析】此题考查了比例线段．根据比例线段的概念及比例的基本性质：内项之积等于外项之积，让最小
的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故选：D．
变式1-1．下列四条线段 中，不是成比例线段的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的
积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
【详解】解：A、 ， ， ，故四条线段 是成比例线段，不符合题意；
B、 ， ， ，故四条线段 是成比例线段，不符合题意；
C、 ， ， ，故四条线段 不是成比例线段，符合题意；
D、 ， ， ，故四条线段 是成比例线段，不符合题意．
故选：C．
变式1-2．已知 是比例线段，若 ，则 .
【答案】
【分析】本题考查成比例线段．熟练掌握成比例线段的定义：四条线段 中，如果a与b的比等于c
与d的比，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，是解题的关键．
【详解】解：∵ 是比例线段，
∴ ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
变式1-3．若线段 ，线段c是线段 a，b的比例中项， 则线段c的长度是
【答案】
【分析】本题考查了比例线段．根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线
段的乘积．
【详解】解：∵线段 ，线段c是线段 a，b的比例中项，∴ ，
∴ （负值舍去）．
故答案为：
考点02比例的性质（比值问题）
例2．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查比例的性质，根据 ，得到 ，代入 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
变式2-1．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，由 得出 ，再代入进行计算即可，熟练掌握比例的性质是
解此题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
变式2-2．已知 ，则 ．【答案】
【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质可得 ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
变式2-3．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，根据 ，设 ，代入计算即可．
【详解】∵ ，设 ，
∴ ，
故选A．
考点03比例的性质（三角形问题）
例3．已知a，b，c为 的三边，且 ，则k的值为（ ）
A．1 B． 或 C． D．1或
【答案】A
【分析】依据 ，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的
三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1．
【详解】解：∵ ，∴2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b），
∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c），
∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k＝1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了比例的基本性质的综合运用，解题关键是根据比例式得出含k的方程，再根据再
根据a、b、c为△ABC的三边求解．
变式3-1．已知三角的三边a、b、c满足 ，且三角形的周长为26，则该三角形的最大边长为
．
【答案】12
【分析】设 ，根据三角形的周长列出方程即可求出k的值，从而求出结论．
【详解】解：设
∴ ， ， ，
∵三角形的周长为26，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴该三角形的最大边长为 ，
故答案为：12．
【点睛】此题考查的是比例的性质，设 是解题的关键．
变式3-2．已知 ， ， 是 的三边长，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 的周长为 ，求三边 ， ， 的长．
【答案】(1)
(2) ， ，【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代
入求值是解答本题的关键．
（1）由已知条件，确定了三边 ， ， 的比例关系，因此设 ，则 ， ，代入 ，
计算结果；
（2）由（1）设 ，则 ， ，代入 ，求出 的值，分别代入 ， ，
，求出三边 ， ， 的长．
【详解】（1）解：由已知条件知：
，
设 ，则 ，
（2）由（1）设 ，则 ，
，
得
， ， ．
变式3-3．已知 是 的三边，且满足 ，试判断 的形状，
并说明理由．
【答案】 是直角三角形，理由见解析．
【分析】本题主要考查了设比例系数法和勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是设比例系数k；设
，得出 ，再根据 列出方程求出k的值，进
而得出a、b、c的值，最后根据勾股定理逆定理，即可解答．
【详解】解： 是直角三角形，理由如下：
设 ，
则 ，
，
，
，，
，
是直角三角形．
考点04黄金分割
例4．若点P为线段 的黄金分割点，且 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．设 ，则
，根据黄金分割的定义得到 即 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设 ，则 ，
∵点P为线段 的黄金分割点，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
故答案为： ．
变式4-1．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，P为 的黄
金分割点（ ），如果 的长度为10cm，则 的长度为 cm（结果保留根号）．
【答案】【分析】根据黄金分割的定义可知： ，故可求解，解题的关键是熟知黄金比的值．
【详解】∵P为 的黄金分割点（ ）， 的长度为10cm， ，
∴ cm，
故答案为： ．
变式4-2．人体的正常体温是 左右，有关科学研究表明，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人
体感觉最舒适．这个气温的度数约为 （精确到 ）．
【答案】23
【分析】本题主要考查了黄金比值．根据黄金比值为 ，即可求解．
【详解】解：根据黄金比值得： ．
故答案为：23．
变式4-3．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段
分割成长、短两条线段 、 ，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即
（此时线段 叫做线段 、 的比例中项），这种分割称为黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割
点．如图，若设线段 ，点 是 的黄金分割点，则 的长为 （用含根号的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系 与已知条件 ，设 ，
代入转化一元二次方程求解即可．
【详解】解：设 ，
依题意， ，
∴∴
即
解得： 或 （舍去）
故答案为：
考点05平行线分线段成比例（“#”字型）
例5．如图， ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
正确的个数3个，
故选：C．
变式5-1．如图， ，若 ， ， ，则 的长等于（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据
代入计算，得到答案
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：A．
变式5-2．如图，己知直线 ，分别交直线 于点A，B，C和点D，E，F，若 ，
则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到 ，由此
求出 的长即可求出 的长．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
变式5-3．如图，直线 ，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若
， ．求 的长．
【答案】9
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
由 ，可得 ，由 ，可得 ，即 ，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ 的长为9．
考点06平行线分线段成比例（“X”字型）
例6．如图，已知 ， ，则 的长为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．10【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据题意，得到 ，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选D．
变式6-1．如图所示，直线 ，另两条直线分别交 于点 及点 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到 ，进而求
出 ，再根据线段之间的关系逐一判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四个选项中只有A选项符合题意，故选A．
变式6-2．如图，已知直线 ，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成
比例”是解题的关键．
【详解】解： ， ， ， ，
，即 ，
解得： ，
，
故选C．
变式6-3．如图，已知直线 、 、 分别交直线 于点 、 、 ，交直线 于点 、 、 ，且
，如果 ， ，那么 ．
【答案】
【分析】根据平行线的性质可得 ，设 ，则 ，利用 求出 的值，
即可得出 的值．
【详解】解： ， ，
，设 ，则 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
考点07平行线分线段成比例的推论（“A”字型）
例7．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且不与 的顶点重合，下列条件中，一定
能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可．
【详解】解：A．由 ，可得出 ，故由 不能得到 ，该选项不符合题意；
B．由 ，可得出 ，故该选项符合题意；
C．由 不一定能得到 ，故该选项不符合题意；
D．由 ，可得出 ，故由 不能得到 ，该选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查对应线段成比例，两直线平行．掌握如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比
例，那么这条直线平行于三角形的第三条边是解题关键．
变式7-1．如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ， ，交 于点 ．
若 ，则 的长是 ．【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得 ，根据等边对等角可得 ，然
后根据平行线分线段成比例定理，可得 ，结合 即可得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，
理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
变式7-2．如图，点D、E分别在 的边AB，AC上， ，点G在边BC上，AG交DE于点H，
点O是线段AG的中点，若 ，则 ．【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得 ，然后根据中点的定义可得 ，从而求
出 ，即可求出结论．
【详解】解： ， ，
即
点 是线段 的中点，
：
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．
变式7-3．阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比
例．”进行了证明．
如图，在 中，D，E是边 ，且 ．求证： ．证明：如图，分别连接 ．
设点E到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
， …
任务：
(1)请补全以上证明过程．
(2)应用以上结论解答问题：如图，在 中， ， ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理的证明与应用：
（1）根据两条平行线之间的距离处处相等，可得 ，根据 可得 ．
（2）直接利用平行线分线段成比例定理即可证明．
【详解】（1）证明：如图，分别连接 ．设点E到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
则 ，
，
设点B到直线 的距离为m，
∵ ，
点C到直线 的距离与点B到直线 的距离相等，都等于m，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
考点08平行线分线段成比例的推论（“8”字型）
例8．如图，在平行四边形 中 为 的中点， 为 上一点， 与 交于点 ， ，， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 的延长线于点G．证明 ，得出 ，求出 ，根据平行
线分线段成比例定理，得出 ，代入求出结果即可．
【详解】解：延长 交 的延长线于点G，如图所示：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，经检验符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题
的关键是作出辅助线，证明 ，求出 ．
变式8-1．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果 ，且
， ，那么 .
【答案】6
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
变式8-2．如图，在平行四边形 中，点 是 上的点， ，直线 与 相交于点 ，交
的延长线于点 ，若 ，则 的值为 ．【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设 ，则 ， ，根据
平行四边形的性质可得 ， ， ，根据平行线分线段成比例即可解决问题．
【详解】解：设 ，
由 ，则 ， ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
变式8-3．已知 ，点E是 延长线上一点， 与 ， 分别相交于点G，F．求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得 ， ，再根据平行线分线段成比例定理得到 ，
，等量代换得 ，然后根据比例的性质即可得到结论．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
考点09平行线分线段成比例（判断比例式）
例9．如图， ，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】平行线分线段成比例定理进行求解即可：三条平行线截两条直线，对应线段成比例．．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
根据“平行线分线段成比例定理”不能推出 ，
∴四个选项中，只有C选项符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．
变式9-1．如图， 是 的中线，E是 上一点， ，连接 并延长交 于点F，则
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作 交 于点H，根据 是 的中线，可得 ，根据平行线分线段成比例
可得 ，有已知条件可得 ，进而可得 ．
【详解】解：作 交 于点H，
∵ 是 的中线，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，比例的性质，添加辅助线是解题的关键．
变式9-2．如图， ，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵AC＝CG，
∴ ，
故A正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵ ，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴ ，
故B错误，符合题意；
∵ ，
∴ ，∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴ ，
故C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴ ，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是
解题的关键．
变式9-3．如图，在 中， ， ，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、 ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，与 的关系不确定，
不正确，不符合题意；
B、 ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
不正确，不符合题意；
C、 ，
，
，
，
，
正确，符合题意；
D、
，
由 可得 ，
与 的关系不确定，
不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理
及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．考点10相似多边形
例10．下列图形是相似多边形的是（ ）
A．所有的等边三角形 B．所有的矩形
C．所有的菱形 D．所有的平行四边形
【答案】A
【分析】本题考查了相似多边形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形，据此即可作
答．
【详解】解：A、所有的等边三角形满足对应角相等，对应边成比例，故该选项是正确的；
B、所有的矩形对应角相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；
C、所有的菱形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；
D、所有的平行四边形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；
故选：A
变式10-1．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个
图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边
成比例，即可判断．
【详解】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
A中菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形
故选：D．
变式10-2．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国
旗是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
【点睛】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．
变式10-3．如图，在菱形 中， ，点E、F是对角线 上的点（点E、F不与
B、D重合），分别连接 若四边形 是菱形，且与菱形 是相似菱形，那么菱
形 的边长是 ．（用a的代数式表示）．
【答案】 /
【分析】连接 ，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出 ，
再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出 ，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接 ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵菱形 与菱形 相似，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多
边形对应角相等．
考点11相似多边形的性质
例12．如图，已知五边形 五边形 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键在于熟知相似多边形的面积之比等于相似比的平
方．
【详解】解：∵五边形 五边形 ， ，
∴ ，
故选D．
变式12-1．如图，在矩形 中， ，点 分别在 、 边上，且 ，若矩形
矩形 ，且面积比为 ，则 长为（ ）
A．20 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明
，从而可得答案．
【详解】解：矩形 矩形 ，且面积比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选A
变式12-2．如图，四边形 四边形 ．则y（即 ）的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例得到 ，据此代值计
算即可．
【详解】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
变式12-3．已知矩形 中， ，在 上取一点E，将 沿 向上折叠，使B落在 上的
F点．则
（1） ；
（2）若四边形 与矩形 相似，则 ．
【答案】 4
【分析】（1）证明四边形 是正方形，即可得到答案；
（2）设 ，由四边形 与矩形 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即
可．
【详解】解：（1）∵矩形 ，
∴ ，由对折可得： ， ，
∴四边形 是正方形．
∴ ，
（2）设 ，则 ，
∵四边形 与矩形 相似，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
经检验： 是分式方程的解，且符合题意．
∴ ，
即 ．
故答案为：4，
【点睛】本题考查了翻折变换，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，本题的关
键是根据四边形 与矩形 相似得到比例式．
基础过关练
1．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 表示的数是
（ ）
A．2 B．3 C． D．4【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理进行计算即可，熟练掌握平
行线分线段成比例定理是解此题的关键．
【详解】解：如图， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
故选：C．
2．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了比例的意义，先根据已知条件推出 ，再由 进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
．
3．如图， ， ， ，则 的长为（ ）A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例进行计算．由平行
线分线段成比例，得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
4．在比例尺为 的地图上量得 两地的图上距离 ，则 两地的实际距离为（ ）m
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺等于图上距离除以实际距离，那么用图上距离除以比例尺即
可求出实际距离，据此求解即可．
【详解】解： ，
故选B．
5．已知 ， ，那么 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了比例的基本性质．由已知 ，得： ， ， ,代入化
简即可求得答案.【详解】解：由已知 ，得：
， ， ，
∴
.
故答案是：4.
6．如图， 是 的中线，点E在 上， 交 于点F．当 时， ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，过点D作 ，交 于G，证明 ，
，故 ，结合中线有 ，则有 ，即可求解．
【详解】解：如下图：过点D作 ，交 于G．
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
则 ，
那么 ．
故答案为： ．
7．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了
黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段 的黄金分割点（ ）， ，
则 ．（结果保留根号）
【答案】 /
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答．
【详解】解： 点 可看作是线段 的黄金分割点 ， ，
，
故答案为： ．
8．如图，在 中，D为 的中点，过点D作 交 于点F，交 的延长线于点E，若点F
恰好为 的中点， ，则 ．【答案】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，线段中点的含义，如图，过 作 ，证明
与 ，从而可得答案，熟记平行线分线段成比例是解本题的关键．
【详解】解：如图，过 作 ，
∴ ，
∵ 为 的中点，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D为 的中点，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
9．已知，线段a，b，c，且 ．
(1)求 的值．
(2)设 ，线段a，b，c满足 ，求k的值．【答案】(1)
(2)3
【分析】此题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握其性质，以及换元法；
（1）根据比例的性质得出 ，即可得出 的值；
（2）根据 ，则 ，利用 求出k的值即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
（2）解：设 ，
则 ，
，
．
10．如图，在四边形 中，点E，F分别在边 上，连结 平分 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，等腰三角形的判定，平行线的性质等，解题的关键是：
（1）利用平行线的性质可得出 ，利用角平分线定义可得出 ，推出
，然后利用等角对等边即可得证；
（2）利用平行线分线段成比例可得出 ，然后结合 ， 即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
11．如图，在 中，点D是 边上的一点， ．
(1)尺规作图：作直线 交 于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例．
（1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答；
（2）根据平行线分线段成比例即可作答．
【详解】（1）如图所示，直线 即为所求；
（2）由作图可知 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
12．如图，直线 ，且直线 分别截直线 于点 ， ， ，截直线 于点 ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．
（1）由平行线分线段成比例定理得到 ，代入已知线段长度即可得到 的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得到 ，由 得到 ，由 得到
，即可得到 的长．
【详解】（1）解：如图，∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 的长为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
能力提升练
1．如图，正五边形 的几条对角线的交点分别为 ，它们分别是所在对角线的黄金分割
点．若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质
判定四边形 为平行四边形，进而求出 的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到 的长.黄
金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键
【详解】解：∵五边形 为正五边形
∴ ， ,
∴
同理可得
∴
∵
∴
同理可证明
∴四边形 为平行四边形
∴ , ，
同理： ，
∵ 、 为 的黄金分割点
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．如图，珍珍在横格作业纸（横线等距）上画了个“ ”，与横格线交于 ， ， ， ， 五点，若线段 ，则线段 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，根据平行线
分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，
∴ ，
∵作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴
故选：C．
3．如图，矩形 的顶点A，B分别为反比例函数 与 的图象上，点C，D在x
轴上， ， 分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，
设点 的坐标为 ， ，根据题意，利用函数关系式表示出线段 ， ， ， 的长，再根
据平行线分线段成比例的性质得 ， 的长，利用梯形的面积公式，即可得答案．
【详解】设点 的坐标为 ， ，
则 ， ，
点 的纵坐标为 ，
点 的横坐标为 ，
，
∵ ，
，
， ，
阴影部分的面积为 ．
故选：A．
4．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O， ，过点O作 交 于点
E，连接 ．已知 ， ，则 的周长是 ．【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，得到 ， ，根据勾股定理得
，利用平行线分线段成比例定理，得 ，得 ，利用勾股定理
，计算周长即可．
【详解】∵平行四边形 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
的周长是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，平行
线的判定，熟练掌握勾股定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5．如图，已知四边形 是 的内接正方形， 于H， 且 ，则
．【答案】4
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，
平行线分线段成比例是解题的关键．
如图，记 的 交点为 ，证明四边形 为矩形，则 ，由 ，可得
，即 ，求出 的值，根据 ，作答即可．
【详解】解：如图，记 的 交点为 ，
∵四边形 是 的内接正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得， ，
∴ ，
故答案为：4．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，则 重心的坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念
作出重心，根据重心的性质得到 ，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶
点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴点O是 的中点，
如图：连接 ，作中线 交 于G，则点G是 的重心，
∴ ，
如图：作 于E， 于F，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴△ABC重心的坐标是 ，
故答案为 ．7．如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，连接 ， 交于
点
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若点P恰好落在以 为直径的圆上，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）根据等边三角形的性质求出 ， ，求出 ，根据
推出全等即可；
（2）过点 作 交 于 ，根据平行线分线段成比例定理得 ，则 ，
即可得出 ；
（3）由（1）知： ，则 ，根据三角形外角的性质可得 ，
，则 ， 、 、 、 四点共圆，由点 恰好落在以 为直径的圆上，
可得 ，则点 也落在以 为直径的圆上，连接 ，则 ，
，根据含 角的直角三角形的性质可得 ，即可得 ．
【详解】（1）解：证明： 是等边三角形，
， ，
，
，
在 与 中，，
；
（2）过点 作 交 于 ，
，
，
设 ， ，
，
，
，
，
，
的值 ；
（3）连接 ，由（1）知： ，
，
，
，
，
、 、 、 四点共圆，
点 恰好落在以 为直径的圆上，
，
点 也落在以 为直径的圆上，
，
，
连接 ，则 ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，圆的有
关性质．
8．如图， 是 的直径，C是 上一点，过点C作 的切线 ，交 的延长线于点D，过点A
作 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由垂直的定义可得 ，再根据三角形外角的性质可得 即可
解答；（2）由切线的性质可得 ，进而由勾股定理可得 ；再说明 ，然后根据平行线
分线段定理可得 ，最后代入数据计算即可.
【详解】（1）解∵ 于点E,
∴ ,
∴ .
（2）解：∵ 是 的切线,
∴半径 ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理、垂直的定义、三角形外角的性质、切线的性质、勾股定理
等知识点，掌握平行线等分线段定理是解题的关键.
