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专项15 平面直角坐标系中坐标规律的探究与等腰三角形存在性
（两大考点5大类型）
考点1：平面直角坐标系中坐标规律的探究
考点2：等腰三角形的存在性问题
【考点1：平面直角坐标系中坐标规律的探究】
【典例1】（2021秋•广饶县月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按
向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A （0，1），A
1 2
（1，1），A （1，0），A （2，0），…那么点A 的坐标为 ．
3 4 2021
【答案】（1010，1）
【解答】解：∵2021÷4＝505……1，
则A 的坐标是（505×2，1）＝（1010，1）．
2021
故答案为：（1010，1）．
【典例2】（2019春•长垣县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的边长是2，点A的坐标是（﹣1，1），动点 P从点A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿
A→B→C→D→A→．…路线运动，当运动到2019秒时，点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）
【答案】C
【解答】解：点P从A点沿着A→B→C→D→A运动一次需要4秒，
2019÷4＝504…3，
∴P点此时与D点重合，
∵A（﹣1，1），正方形边长为2，
∴D（﹣1，3），
故选：C．
【变式1】（2020春•南丹县期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向
运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运
动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第 2020次运动后，动点P的坐标是（
）
A．（2020，0） B．（2020，1） C．（2020，2） D．（2020，505）
【答案】A
【解答】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动 4个
单位，则2020＝505×4，
所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，且在x轴上，
故点P坐标为（2020，0）．
故选：A．【变式2】（2021春•重庆期末）如图：在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着
箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P （0，1），P （1，1），P （1，
1 2 3
0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），P （2，0）…则点P 的坐标是（ ）
4 5 6 2020
A．（673，﹣1） B．（673，1） C．（336，﹣1） D．（336，1）
【答案】A
【解答】解：由P
3
、P
6
、P
9
可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为 ，纵坐标为
0，
∵2019÷3＝673，
∴P
2019
（673，0）
则点P
2019
的坐标是 （673，0）．
∴点P 的坐标是（673，﹣1），
2020
故选：A．
【变式3】（2021春•绥棱县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，
1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线
（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律绕在四边
形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，﹣1） D．（0，﹣2）
【答案】C
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，
2018÷10＝201…8，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第8个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点在D处上面1个单位的位置，坐标为（1，﹣1）．
故选：C．
【典例3】（2020春•定襄县期末）如图，已知A （1，0）、A （1，1）、A （﹣1，1）、
1 2 3
A （﹣1，﹣1）、A （2，﹣1）、…．则点A 的坐标为 ．
4 5 2020
【答案】 （﹣ 50 5 ，﹣ 50 5 ）
【解答】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，
∵2020÷4＝505，
∴点A 在第三象限，
2020
∴A 是第三象限的第505个点，
2020
∴点A 的坐标为：（﹣505，﹣505）．
2020
故答案为：（﹣505，﹣505）．
【变式1】（南宁期末）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点，
观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．则由里向外的第四个正方形上
有 个整点，第n个正方形上有 个整点．【答案】 16 , 4 n
【解答】解：∵第1个正方形有4×1＝4个整点，
第2个正方形有4×2＝8个整点，
第3个正方形有4×3＝12个整点，
∴第4个正方形有4×4＝16个整点，
∴第n个正方形上有4n个整点，
故答案为：16，4n．
【变式2】（2019秋•垦利区期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为
1个单位长，P ，P ，P ……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P
1 2 3 1
（0，0），P （0，1），P （1，1），P （1，﹣1），P （﹣1，﹣1），P （﹣1，
2 3 4 5 6
2）…根据这个规律点P 的坐标为 ．
2019
【答案】 （ 50 5 ， 50 5 ）
【解答】解：由规律点P 、P 、P 在第一象限角平分线上，
3 7 11
可得点P 在第一象限的角平分线上，
2019
∵P （1，1），P （2，2），P （3，3）
3 7 11
（2019+1）÷4＝505
∴点P （505，505）．
2019
故答案为：（505，505）．
【例4】（2021春•乌苏市期末）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点A第一次
跳动至点A （﹣1，1），第二次点A 向右跳到A （2，1），第三次点A 跳到A （﹣
1 1 2 2 3
2，2），第四次点A 向右跳动至点A ，（3，2），…，依此规律跳动下去，则点A
3 4 2019
与点A 之间的距离是（ ）
2020A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】A
【解答】解：观察发现，点A第一次跳动至点A （﹣1，1），第二次点A 向右跳到A
1 1 2
（2，1），
第三次点A 跳到A （﹣2，2），第四次点A 向右跳动至点A （3，2），
2 3 3 4
第五次点A 跳到A （﹣3，3），第六次点A 向右跳动至点A （4，3），
4 5 5 6
…，
第2n﹣1次点A
2n﹣2
跳动至点A
2n﹣1
（﹣n，n），第2n次点A
2n﹣1
跳动至点A
2n
（n+1，
n），
∴第2019次A 跳到点A （﹣1010，1010）．第2020次跳动至点的坐标是（1011，
2018 2019
1010），
∵点A 与点A 的纵坐标相等，
2019 2020
∴点A 与点A 之间的距离＝1011﹣（﹣1010）＝2021，
2019 2020
故选：A．
【变式1】（2021春•饶平县校级期末）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点A
第一次跳动至点A （﹣1，1），第二次点A 跳动至点A （2，1），第三次点A 跳动至
1 1 2 2
点A （﹣2，2），第四次点A 跳动至点A （3，2），……依此规律跳动下去，则点
3 3 4
A 与点A 之间的距离是（ ）
2017 2018
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】C
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），
第2017次跳动至点A 的坐标是（﹣1009，1009）．
2017
∵点A 与点A 的纵坐标相等，
2017 2018
∴点A 与点A 之间的距离＝1010﹣（﹣1009）＝2019，
2017 2018
故选：C．
【变式2】（2019春•番禺区期中）如图，在平面直角坐标系上有个点 P（1，0），点P第
1次向上跳动1个单位至点P （1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P （﹣1，
1 2
1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，
第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点 P第200次跳动至点P 的坐
200
标是（ ）
A．（51，100） B．（50，100） C．（﹣50，100） D．（﹣51，100）
【答案】A
【解答】解：由题中规律可得出如下结论：设点P 的横坐标的绝对值是n，
m
则在y轴右侧的点的下标分别是4（n﹣1）和4n﹣3，
在y轴左侧的点的下标是：4n﹣2和4n﹣1；
判断P 的坐标，就是看200＝4（n﹣1）和200＝4n﹣3和200＝4n﹣2和200＝4n﹣1
200
这四个式子中哪一个有整数解，从而判断出点的横坐标，
4次一循环，200除以4等于50，故在第50个循环的第4个位置，
点P第200次跳动至点P 的坐标是（51，100）．
200故选：A
【考点2： 等腰三角形个数的讨论】
【典例5】如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满
足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：如图所示：
分三种情况：
①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C ，C ，C 即为点C的位置；
1 2 3
②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C ，C ，C ，C ，C ，C 即为点
3 4 5 6 7 8
C的位置；
③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；
∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，
故选：B．
【变式5-1】如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得
△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C【解答】解：分三种情况：如图：
当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P ，P ，
1 2
当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P ，P ，
3 4
当PA＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P ，
5
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故选：C．
【变式5-2】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得
△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：分三种情况，如图：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，
当BA＝BP时，以B为圆形，BA长为半径画圆，交直线BC于P ，P 两个点，
1 2
∵BA＝BP ，∠ABC＝60°，
2
∴△ABP 是等边三角形，
2
∴AB＝BP ＝AP ，
2 2
当AB＝AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P ，
2
当PA＝PB时，作AB的垂直平分线，交直线BC于P ，
2
综上所述，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点 P有2
个，
故选：B．
1．（2020•门头沟区二模）如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向
运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动
到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），…，按这样的运动规律，经过第27次运动
后，动点P的坐标是（ ）
A．（26，0） B．（26，1） C．（27，1） D．（27，2）
【答案】C
【解答】解：观察图象，结合动点P第1次、第2次、第3次、第4次（1，2），（2，
0），（3，1），（4，0）运动后的点的坐标特点，
可知各点的横坐标与运动次数相同，则经过第 27次运动后，动点P的横坐标是27，故
排除选项A和B；
由图象可得纵坐标每4次运动组成一个循环：2，0，1，0；
∵27÷4＝6…3，
∴经过第27次运动后，动点P的纵坐标是1，
故经过第27次运动后，动点P的坐标是（27，1）．故选：C．
2．（2021春•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），我们把点
P′（1﹣y，x﹣1）叫做点P的友好点，已知点 A 的友好点为A ，点A 的友好点为
1 2 2
A ，点A 的友好点为A ，…，这样依次得到点A ，A ，A ，A …，若点A 的坐标为
3 3 4 1 2 3 n 1
（2，1），则点A 的坐标为（ ）
2021
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【答案】D
【解答】解：∵点A 的坐标为（2，1），
1
∴根据友好点的定义可得：A （2，1），A （0，1），A （0，﹣1），A （2，﹣1），
1 2 3 4
A （2，1），A （0，1），
5 6
∴以此类推，每4个点为一个循环，
∵2021÷4＝505•••1，
∴点A 的坐标与A 的坐标相同，为（2，1）．
2021 1
故选：D．
3．（2020春•郯城县期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1个单位长度的半圆
O ，O ，O ，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速
1 2 3
度为每秒 个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．
【答案】 （ 202 1 ， 1 ）
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为 ×2 ×1＝ ，
π π
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，
∴点P每秒走 个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，
1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，
﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，
0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，
1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，
0），
…，
∵2021÷4＝505余1，
∴P的坐标是（2021，1），
故答案为：（2021，1）．
4．（2021秋•柯桥区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第一次从原点O运动到点P （1，1），第二次运动到点P （2，0），第三次运动到P
1 2 3
（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P 的坐标是（ ）
2022
A．（2022，1） B．（2022，2） C．（2022，﹣2） D．（2022，0）
【答案】D
【解答】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P （1，1），第二次运动到
1
点P （2，0），第三次运动到P （3，﹣2），第四次运动到P （4，0），第五运动到
2 3 4
P （5，2），第六次运动到P （6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，
5 6
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，
∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，
故选：D．
5．（2021秋•庐阳区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动
到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第 2020次运动后，动点P的坐标是（
）
A．（﹣2020，0） B．（﹣2020，1） C．（﹣2020，2） D．（2020，0）
【答案】A
【解答】解：动点P运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向左移动 4个单
位，则2020＝505×4，
所以，前505次循环运动点P共向左运动505×4＝2020个单位，且在x轴上，
故动点P坐标为（﹣2020，0）．
故选：A．
6．（2021春•珠海期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣
1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2021个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽
略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边
上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）A．（﹣1，0） B．（0，2） C．（﹣1，﹣2） D．（0，1）
【答案】D
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，1），C点坐标为（﹣1，﹣
2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝2﹣（﹣1）＝3，
∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝10．
2021÷10＝202…1，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第1个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是（0，1）．
故选：D．
7．（2021•张湾区模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，
按如图顺序依次排列为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，
2），…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）
A．（46，4） B．（46，3） C．（45，4） D．（45，5）
【答案】C
【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下
角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452＝2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第2021点是（45，4）．
故选：C．
8．（2021春•抚顺期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中
“→”方向排列，如（1，0）；（2，0）；（2，1）；（3，2）、（3，1），（3，
0）、（4，0），…，根据这个规律探索可得，第20个点的坐标为（ ）
A．（6，4） B．（6，5） C．（7，3） D．（7，5）
【答案】A
【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数．则n列共有 个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数
列点的顺序由下到上．
因为1+2+3+…+6＝15，则第20个数一定在第6列，由下到上是第4个数．
因而第20个点的坐标是（6，4）．
故选：A．
9．（2021春•庐江县期末）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上平移1个单位至点P （1，1），紧接着第2次向左平移2个单位至点P （﹣1，1），
1 2
第3次向上平移1个单位到达P （﹣1，2），第4次向右平移3个单位到达P （2，
3 4
2），第5次又向上平移1个单位，第6次向左平移4个单位，…，依此规律平移下去，
点P 的坐标为（ ）
2021
A．（506，1011） B．（506，﹣506）
C．（﹣506，1011） D．（﹣506，506）
【答案】A
【解答】解：设第n次跳动至点P ，
n
观察发现：P（1，0），P （1，1），P （﹣1，1），P （﹣1，2），P （2，2），P
1 2 3 4 5
（2，3），P （﹣2，3），P （﹣2，4），P （3，4），P （3，5），…，
6 7 8 9
∴P （n+1，2n），P （n+1，2n+1），P （﹣n﹣1，2n+1），P （﹣n﹣1，
4n 4n+1 4n+2 4n+3
2n+2）（n为自然数）．
∵2021＝505×4+1，
∴P （505+1，505×2+1），即（506，1011）．
2021
故选：A．
10．（2021春•越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为
整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，
2）…根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）A．（45，9） B．（45，4） C．（45，21） D．（45，0）
【答案】B
【解答】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标
的平方，
横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，
横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，
∴横坐标以n结束的有n2个点，
第2025个点是（45，0），
∴2021个点的坐标是（45，4）；
故选：B．
11．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是
图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解答】解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，则点C ，C ，C 即为所求；
1 2 3
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，则点C ，C ，C 即为所求；
4 5 6
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，则点C ，C 即为所求；
7 8综上所述：符合条件的点C的个数是8，
故选：B．
12．（2021秋•河口区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点
（3，2）…按这样的运动规律经过第2021次运动后，动点P的坐标是 ．
【答案】 （ 202 1 ， 1 ）
【解答】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0，4个数一个循环，
所以2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，1）．故答案为：（2021，1）．
13．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，在平面直角坐标内有点A （1，0），点A 第一次
0 0
跳动到点A （﹣1，1），第二次点A 跳动到A （2，1），第三次点A 跳动到A （﹣
1 1 2 2 3
2，2），第四次点A 跳动到A （3，2），……依此规律动下去，则点A 的坐标是
3 4 2018
．
【答案】 （ 101 0 ， 100 9 ）
【解答】解：依题意，得：点A 的坐标为（1，0），点A 的坐标为（2，1），点A 的
0 2 4
坐标为（3，2），点A 的坐标为（4，3），点A 的坐标为（5，4），…，
6 8
∴点A 的坐标为（n+1，n）（n为非负整数），
2n
∴点A 的坐标为（1010，1009）．
2018
故答案为（1010，1009）
