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专项15 平面直角坐标系中坐标规律的探究与等腰三角形存在性
（两大考点5大类型）
考点1：平面直角坐标系中坐标规律的探究
考点2：等腰三角形的存在性问题
【考点1：平面直角坐标系中坐标规律的探究】
【典例1】（2021秋•广饶县月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按
向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A （0，1），A
1 2
（1，1），A （1，0），A （2，0），…那么点A 的坐标为 ．
3 4 2021
【典例2】（2019春•长垣县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的边长是
2，点A的坐标是（﹣1，1），动点 P从点A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿
A→B→C→D→A→．…路线运动，当运动到2019秒时，点P的坐标为（ ）A．（1，1） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）
【变式1】（2020春•南丹县期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向
运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运
动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第 2020次运动后，动点P的坐标是（
）
A．（2020，0） B．（2020，1） C．（2020，2） D．（2020，505）
【变式2】（2021春•重庆期末）如图：在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着
箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P （0，1），P （1，1），P （1，
1 2 3
0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），P （2，0）…则点P 的坐标是（ ）
4 5 6 2020
A．（673，﹣1） B．（673，1） C．（336，﹣1） D．（336，1）
【变式3】（2021春•绥棱县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，
1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线
（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律绕在四边
形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，﹣1） D．（0，﹣2）
【典例3】（2020春•定襄县期末）如图，已知A （1，0）、A （1，1）、A （﹣1，1）、
1 2 3
A （﹣1，﹣1）、A （2，﹣1）、…．则点A 的坐标为 ．
4 5 2020
【变式1】（南宁期末）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点，
观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．则由里向外的第四个正方形上
有 个整点，第n个正方形上有 个整点．
【变式2】（2019秋•垦利区期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为
1个单位长，P ，P ，P ……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P
1 2 3 1
（0，0），P （0，1），P （1，1），P （1，﹣1），P （﹣1，﹣1），P （﹣1，
2 3 4 5 6
2）…根据这个规律点P 的坐标为 ．
2019【典例4】（2021春•乌苏市期末）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点A第一
次跳动至点A （﹣1，1），第二次点A 向右跳到A （2，1），第三次点A 跳到A （﹣
1 1 2 2 3
2，2），第四次点A 向右跳动至点A ，（3，2），…，依此规律跳动下去，则点A
3 4 2019
与点A 之间的距离是（ ）
2020
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【变式1】（2021春•饶平县校级期末）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点A
第一次跳动至点A （﹣1，1），第二次点A 跳动至点A （2，1），第三次点A 跳动至
1 1 2 2
点A （﹣2，2），第四次点A 跳动至点A （3，2），……依此规律跳动下去，则点
3 3 4
A 与点A 之间的距离是（ ）
2017 2018
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【变式2】（2019春•番禺区期中）如图，在平面直角坐标系上有个点 P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P （1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P （﹣1，
1 2
1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，
第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点 P第200次跳动至点P 的坐
200
标是（ ）
A．（51，100） B．（50，100） C．（﹣50，100） D．（﹣51，100）
【考点2： 等腰三角形个数的讨论】
【典例5】如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满
足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式5-1】如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得
△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式5-2】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得
△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（2020•门头沟区二模）如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向
运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动
到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），…，按这样的运动规律，经过第27次运动
后，动点P的坐标是（ ）
A．（26，0） B．（26，1） C．（27，1） D．（27，2）
2．（2021春•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），我们把点
P′（1﹣y，x﹣1）叫做点P的友好点，已知点 A 的友好点为A ，点A 的友好点为
1 2 2
A ，点A 的友好点为A ，…，这样依次得到点A ，A ，A ，A …，若点A 的坐标为
3 3 4 1 2 3 n 1
（2，1），则点A 的坐标为（ ）
2021
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
3．（2020春•郯城县期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1个单位长度的半圆
O ，O ，O ，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速
1 2 3
度为每秒 个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．4．（2021秋•柯桥区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第一次从原点O运动到点P （1，1），第二次运动到点P （2，0），第三次运动到P
1 2 3
（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P 的坐标是（ ）
2022
A．（2022，1） B．（2022，2） C．（2022，﹣2） D．（2022，0）
5．（2021秋•庐阳区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动
到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第 2020次运动后，动点P的坐标是（
）
A．（﹣2020，0） B．（﹣2020，1） C．（﹣2020，2） D．（2020，0）
6．（2021春•珠海期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣
1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2021个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽
略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边
上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）A．（﹣1，0） B．（0，2） C．（﹣1，﹣2） D．（0，1）
7．（2021•张湾区模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，
按如图顺序依次排列为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，
2），…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）
A．（46，4） B．（46，3） C．（45，4） D．（45，5）
8．（2021春•抚顺期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中
“→”方向排列，如（1，0）；（2，0）；（2，1）；（3，2）、（3，1），（3，
0）、（4，0），…，根据这个规律探索可得，第20个点的坐标为（ ）
A．（6，4） B．（6，5） C．（7，3） D．（7，5）
9．（2021春•庐江县期末）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向
上平移1个单位至点P （1，1），紧接着第2次向左平移2个单位至点P （﹣1，1），
1 2
第3次向上平移1个单位到达P （﹣1，2），第4次向右平移3个单位到达P （2，
3 4
2），第5次又向上平移1个单位，第6次向左平移4个单位，…，依此规律平移下去，
点P 的坐标为（ ）
2021A．（506，1011） B．（506，﹣506）
C．（﹣506，1011） D．（﹣506，506）
10．（2021春•越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为
整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，
2）…根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）
A．（45，9） B．（45，4） C．（45，21） D．（45，0）
11．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是
图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
12．（2021秋•河口区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点
（3，2）…按这样的运动规律经过第2021次运动后，动点P的坐标是 ．13．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，在平面直角坐标内有点A （1，0），点A 第一次
0 0
跳动到点A （﹣1，1），第二次点A 跳动到A （2，1），第三次点A 跳动到A （﹣
1 1 2 2 3
2，2），第四次点A 跳动到A （3，2），……依此规律动下去，则点A 的坐标是
3 4 2018
．
