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专题12 手拉手模型证相似
1．如图， 且 ， ， 、 交于点 ．则下列四个
结论中，① ；② ；③ ；④ 、 、 、 四点在同一个圆上，一
定成立的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 且 ， ，
， ，故②正确；
，
即 ，故①正确；
，
， ，
，
，
，故③正确；
， ，
，
， ，
即 ，
，
，
，
，
、 、 、 四点在同一个圆上，故④正确．故选： ．
二．解答题（共15小题）
2．如图，已知 ．求证： ．
【解答】证明： ，
， ，
，
又 ，
．
3．如图，在 和 中， ， ．
（1） 和 相似吗？为什么？
（2）如果 ，则 成立，据此你能说明 和 相似吗？
【解答】解：（1）
；（2） ，
．
4．如图，在公共顶点为 的 与 中，直角边 ，若 ．求证：
．
【解答】证明：如图，设 交 于 ，延长 交 于 ，连接 ．
，
，
又 ，
，
、 、 、 四点共圆，
，
， 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
5．如图， 与 有公共的顶点 ， ， ，且 ．点
、 、 分别为 、 、 的中点．
（1）如图1，当 时，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当 时，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1） ．连接 、 ，
， ，
， ，
，
；
点 、 、 分别为 、 、 的中点，
根据中位线定理可得 ， ，
．
（2） ．连接 、 ，
， ，
， ，，
，
点 、 、 分别为 、 、 的中点，
根据中位线定理可得 ， ，
即得 ．
6． 为等边三角形， 为 边上一点， 为射线 上一点， ， ，
， ， ．
（1）求证： ；
（2） ，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，若
，求 的长．
【解答】（1）证明：如图1中，延长 到 ，使得 ，连接 ．
， ，，
，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
．
（2）解：如图2中，取 的中点 ，连接 ，作 于 ， 于 ．
由（1）可知 ，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
， ，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
，
，
， ，
，即 ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，，
．
7．在 和 中， ， ， ． 、 分别为 、 的中
点，连接 、 ．
（1）如图1，当 时， 的值是 ，直线 与直线 相交所成的较小角的度数为
；
（2）如图2，当 时，求 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数；
（3）如图3，当 时，若点 为 的中点，点 在直线 上，请直接写出点 、 、
在同一直线上时 的值．【解答】解：（1）如图1，连接 ，并延长交 于 ，设直线 与 的交点为 ，
， ， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
又 ，
是等边三角形，
，
，
， ，
、 分别为 、 的中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
，故答案为： ， ；
（2）如图2，连接 ，并延长交 于 ，设直线 与 的交点为 ，过点 作
于 ，
， ，
， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
， ，
， ，
，
， ，，
、 分别为 、 的中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ；
（3）如图3，当点 在线段 上时，连接 ， ，
，点 为 的中点，
， ，
，
，
，
，， ， ，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
、 分别为 、 的中点，
， ，
，
又 点 是 中点，
，
，
，
当点 在线段 上时，同理可求 ，
综上所述： 的值为 或 ．
8．（1）如图①，将 绕点 旋转任意角度得到△ ，连接 、 ，证明：
．
（2）如图②，四边形 和四边形 均为正方形，连接 ， ，求 的值．【解答】证明：（1） 将 绕点 旋转任意角度得到△ ，
， ， ，
，
，
；
（2）连接 和 ，
四边形 和四边形 均为正方形，
， ， ，
则 ，
， ，
．
．
．
9．在 中， ， ， ， 为 边上一点，点 ， 分别在边 ，
上， ．
（1）如图1，当 为 中点时， ；（2）如图2，若 ，求 的值．
【解答】解：（1）过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
为 中点，
，
， ，
，
，
，故答案为： ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
的值为 ．
10．已知：点 、 、 在同一条直线上， ，线段 、 交于点 ．
（1）如图1，若 ，
①问线段 与 有怎样的数量关系？并说明理由；②求 的大小（用 表示）；
（2）如图2，若 ， ，则线段 与 的数量关系为
， （用 表示）；
（3）在（2）的条件下，把 绕点 逆时针旋转 ，在备用图中作出旋转后的图形（要求：
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 并延长交 于点 ．则 （用
表示）．
【解答】解：（1）如图1．
① ，理由如下：
， ，
，
，
同理可得： ，
，
，
即： ．
在 与 中，
，
，
；
② ，
，
，
；（2）如图2．
， ，
，
同理可得： ，
，
，
即： ．
， ，
．
在 与 中，
， ，
，
， ，
；
，
．
故答案为： ， ；
（3）如右图．
， ，
，
同理可得： ，
，即 ．
， ，
．
在 与 中，
， ，
，，
， ，
．
故答案为： ．
11．若 绕点 逆时针旋转 后，与 构成位似图形，则我们称 与 互为“旋
转位似图形”．
（1）知识理解：
如图1， 与 互为“旋转位似图形”．
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ， ，则
（2）知识运用：
如图2，在四边形 中， ， 于点 ， ，求证： 与
互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图3， 为等边三角形，点 为 的中点，点 是 边上的一点，点 为 延长线上
的一点，点 在线段 上，且 与 互为“旋转位似图形”．若 ， ，求的值．
【解答】解：（1）① 和 互为“旋转位似图形”，
，
，
又 ， ，
；
② ，
，
， ， ，
，
，
故答案为： ； ；
（2） ， ，
，
，即 ，
又 ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
绕点 逆时针旋转 的度数后与 构成位似图形，
和 互为“旋转位似图形”；
（3） ，
由题意得： ，
，，
，
，
，
由勾股定理可得 ，
，
．
12．（1）问题发现
（1）如图1， 和 均为等边三角形，直线 和直线 交于点 ．
填空：① 的度数是 ；②线段 ， 之间的数量关系为 ；
（2）类比探究
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ， ， ，直
线 和直线 交于点 ．请判断 的度数及线段 ， 之间的数量关系，并说明理
由．
（3）解决问题
如图3，在 中， ， ， ，点 在 边上， 于点 ，
，将 绕着点 在平面内旋转，请直接写出直线 经过点 时，点 到直线
的距离．
【解答】解：（1）如图1中，和 均为等边三角形，
， ， ，
，
，
， ，
设 交 于点 ．
，
，
，
故答案为 ， ．
（2）结论： ， ．
理由：如图2中，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
．
（3）如图3中，，
， ， ， 四点共圆，
， ，
，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
，
点 到直线 的距离等于 ．
如图4中，当 ， 在同一直线上时，同法可知 ， ，
点 到直线 的距离等于 ．
综上所述，点 到直线 的距离等于 ．
13．如图，将 绕点 逆时针旋转 后， 与 构成位似图形，我们称 与
互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 是 （填“是”或“不是”
“旋转位似图形”；
如图1， 和 互为“旋转位似图形”，
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
（2）知识运用：
如图2，在四边形 中， ， 于 ， ，求证： 和
互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：
如图3， 为等腰直角三角形，点 为 中点，点 是 上一点， 是 延长线上一点，
点 在线段 上，且 与 互为“旋转位似图形”，若 ， ，求出
和 的值．
【解答】解：（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶
点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”；
① 和 互为“旋转位似图形”，
，
，
又 ， ，
；
② ，
，
， ， ，，
，
故答案为：是； ； ；
（2）证明： ， ，
，
，即 ，
又 ，
，
，
又 ， ，
，
，
和 互为“旋转位似图形”；
（3） ，
， ，
， ，
， ，代入 求得： ．
如图3，过 作 于 ，
， ，
，
，
，
，
，，
，
根据勾股定理，得 ；
综上， ， ．
14．已知正方形 ，动点 在 上运动，过点 作 射线 于点 ，连接 ．
（1）如图1，在 上取一点 ，使 ，连接 ，求证： ；
（2）如图2，点 在 延长线上，求证： ；
（3）如图3，若把正方形 改为矩形 ，且 ，其他条件不变，请猜想 ，
和 的数量关系，直接写出结论，不必证明．【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，
过点 作 交 的延长线于 ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
， ，
，
，
；
（3）解： ；
证明：如图3，
过点 作 交 于 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
同（1）的方法得， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
，
．15．（1）问题发现：
如图1， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ．
①线段 ， 之间的数量关系为 ；
② 的度数为 ．
（2）拓展探究：
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一直线
上，连接 ，求 的值及 的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形 中， ，若点 满足 ，且 ，请直接写出点
到直线 的距离．
【解答】解：（1）① 和 均为等边三角形，， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
② ，
，
，
，
；
故答案为：① ，② ；
（2） 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
，即 ，
，
， ，
，
，
，
，
故 ， ；
（3） 点 满足 ，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
，点 在以 为直径的圆上，
如图3，点 是两圆的交点，若点 在 上方，连接 ，过点 作 于 ，过点
作 于 ，
，
，
，
，
， ，
，四边形 是矩形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ，
，在 中， ，
即 ，
解得： 或 ．
点 到直线 的距离为 或 ．
16．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转
变换进行研究．如图（1），已知 和 均为等腰直角三角形，点 ， 分别在线段 ，
上，且 ．
（1）观察猜想
小华将 绕点 逆时针旋转，连接 ， ，如图（2），当 的延长线恰好经过点 时，
① 的值为 ；
② 的度数为 度；
（2）类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转 ，连接 ， ，设 的延长线交 于点
，请求出 的值及 的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
若 ， ，当 所在的直线垂直于 时，请你直接写出 的长．
【解答】解：（1）如图（2）中，设 交 于点 ．， 都是等腰直角三角形，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
故答案为： ，45．
（2）如图（3）中，设 交 于点 ．
， 都是等腰直角三角形，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
， ．（3）如图（4） 中，当 于 时，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
．
如图（4） 中，当 时，延长 交 于 ．
同法可得 ， ， ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
