文档内容
24.4 弧长和扇形面积
考点一．弧长公式
半径为R，圆心角为n°的弧长为 .
考点二．扇形及扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作_______扇形 ______.
（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为 ；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为
.
考点三．圆锥与其侧面展开图
圆锥是由一个 底 面和一个 侧 面围成的，我们把连接圆锥 顶 点和底面圆周上 任意 一点的线段
叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆锥的 母线长 ，弧长等于圆
锥底面圆的 周长 .
考点四．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底
面圆的周长）为 ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 .
题型一：弧长公式求扇形的弧长、半径或圆心角
1．（2022·浙江丽水·一模）已知，一个扇形的圆心角为 ，半径为3，则这个扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东威海·模拟预测）将圆心角为90°且面积为 的扇形围成一个圆锥，则所围成圆锥的底面半径是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·全国·九年级单元测试）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
题型二：扇形面积公式
4．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东威海·九年级期末）如图，扇形纸扇完全打开后，扇面（即扇形ABC）的面积为 cm2，竹条
AB，AC的长均为18 cm，D，E分别为AB，AC的中点，则 的长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
6．（2022·广西梧州·二模）如果一个扇形的圆心角为30°，面积是 ，那么这个扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．
题型三：圆锥的侧面积和表面积
7．（2022·全国·九年级课时练习）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
8．（2022·湖北武汉·模拟预测）在学校组织的实践活动中，小明同学用一个圆心角为120°，半径为2的扇形纸板
制作了一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这
个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
题型四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题10．（2022·广西·南丹县教学研究室二模）如图，圆锥体的高 ，底面圆半径 ，则该圆锥体的侧面
展开图的圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
11．（2021·云南曲靖·九年级期末）若一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，则圆锥的侧面展开图中圆心角
的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上
一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝ ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最
短路程是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
题型五：求图像旋转后扫过的面积问题
13．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，将 绕点 旋转 得到 ，已知 ，
，则线段 扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．14．（2022·山西实验中学九年级期中）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，已知 ，
则线段 扫过的图形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图， 中， ， ，BO＝2cm，将 绕点O
逆时针旋转至 ，点 在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型六：求弓形面积
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得
经过点O，将纸片 展平后，作半径 ，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B．
C． D．17．（2022·云南·双柏县教师进修学校二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝ ，则图中阴
影部分的面积为( )
A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4
18．（2022·山东德州·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分 ，
AC长6cm，求阴影部分的面积（ ）
A． B． C． D．
题型七：用割补法求图形的面积
19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，
AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．96﹣ π B．96﹣25π C．48﹣ π D．48﹣ π20．（2022·江苏·九年级）如图，边长为 的正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ，
的延长线与 的延长线交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·河北保定·九年级期末）在 中，已知 ．如图所示，将 绕点
A按逆时针方向旋转 后得到 ，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
题型八：弧长和 扇形面积综合
22．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径．
(1)若⊙O的半径为2cm，且AB＝2BC，求阴影部分的面积；
(2)若∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，点E为CA延长线上的一点，且∠ADE＝∠BCD，判断DE与⊙O的位置
关系，并说明理由．
23．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAB=∠D=30°.
(1)∠C= ；
(2)求证：直线AE是⊙O的切线；
(3)当AB=3时，求图中阴影部分的面积.
24．（2022·山东东营·中考真题）如图， 为 的直径，点C为 上一点， 于点D， 平分 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
一、单选题
25．（2022·浙江金华·一模）已知一个底面半径为 的圆锥，它的母线长是 ，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．26．（2022·广东·惠州市德兴通中英文学校九年级开学考试）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接
缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120° B．135° C．150° D．160°
27．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，连接OB．若
，OA＝4，则劣弧 的长是（ ）
A． π B． π C．π D． π
28．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，在半径为 ，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一
个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在 上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·全国·九年级单元测试）如图，正方形 的边 ， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴
影两部分的面积之差是（ ）A． B． C． D．
30．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边
BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交△于点D．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．
31．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上， ，直线 ， ，
点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
一：选择题
32．（2022·浙江·九年级单元测试）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ，
，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·广东·深圳市海滨中学模拟预测）如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到
△AB C ，AB 恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
34．（2022·全国·九年级课时练习）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最
大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
cm．
A．15 B．30 C．45 D．30π
35．（2022·全国·九年级单元测试）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（
）A．16π B．24π C．48π D．96π
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若 ，
，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．6
37．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，以点A为圆心，AB为半径作 ，
向菱形内部作 ，使 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．38．（2022·江苏·九年级）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线 …叫做“正六边形的渐开
线”，其中 ， ， ， ， …的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为 ，
， ， ， ， ，…．当AB＝1时， 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
39．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开后平面图为一个半
圆，则此圆锥的侧面积是____________.
40．（2022·江苏·姜堰市洪林中学九年级阶段练习）若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥侧面展开
图的面积为_________
41．（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）如图，在边长为6的正方形 中，以 为直径画半
圆，则阴影部分的面积是________．
42．（2022·浙江·桐乡市高桥镇高桥初级中学九年级期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧
经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若 ，则弧CD的长为__________．43．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，
并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母
线长为 _____．
44．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径
作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是 _________
45．（2022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线
…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧 的圆心为A，半径为AD；弧 的圆心为B，半径为 ；
弧 的圆心为C，半径为 ；弧 的圆心为D，半径为 …，弧 、弧 、弧 、弧 …的圆心
依次按点A、B、C、D循环，则弧 的长是_____（结果保留 ）．三、解答题
46．（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）如图，AB是 的弦，C是 外一点， ，CO交
AB于点P，交 于点D，且CP＝CB．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
47．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 是以 为直径的半圆上的两点， ，连结 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
48．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，直径AB＝2， ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，
若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．49．（2022·江苏·九年级）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点
M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2 ，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
50．（2022·全国·九年级）如图，点 都在 上，过点C作AC//BD交 延长线于点A，连接 ，
且 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)求 的半径长．
(3)求由弦 与弧 所围成的阴影部分的面积（结果保留 ）．51．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延
长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
52．（2022·湖北宜昌·九年级期末）如图所示，对称轴为直线 的抛物线 与 轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ，点 在抛物线对称轴上并且位于 轴的下方，以点 为圆心作过 、 两点的圆，恰好使
得弧 的长为 周长的 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求 的半径和圆心 的坐标，并判断抛物线的顶点 与 的位置关系；
(3)在抛物线上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说
明理由1．D
【分析】利用扇形弧长公式即可解答．
【详解】解：根据条件得扇形弧长＝ ．
故选：D．
【点睛】本题考查扇形弧长公式，熟记弧长公式 是解题的关键．
2．A
【分析】先利用扇形的面积公式计算出扇形的半径为4，再设圆锥的底面半径为 ，根据圆锥的侧面展开图为一扇
形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得到 ，然后解此方程即可．
【详解】解：设扇形的半径为 ，则
，
解得 ，
设圆锥的底面半径为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
即圆锥的底面半径为1．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．
3．C
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ，
由题意得： ，
解得 ，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．
4．A【分析】∠AOB＝90°时，CD最大，由求出扇形面积即可．
【详解】解：解：由PC⊥OA，PD⊥OB可知，∠OCP+∠ODP＝180°，
∴O、C、P、D四点共圆，CD为此圆直径时，CD最大，
∴当∠AOB＝90°时，CD最大，如图：
此时扇形面积为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积计算，解题的关键是掌握∠AOB＝90°时，CD最大．
5．C
【分析】先根据题意利用扇形面积公式求出 的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】 ，D，E分别为AB，AC的中点，
，
扇面（即扇形ABC）的面积为 cm2，
，
解得 ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式（ ）和弧长公式（ ），熟练掌握知识点是解题的关键．
6．A
【分析】根据扇形弧长公式求解即可．
【详解】解：
∴
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键．7．D
【分析】根据圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长计算即可求解．
【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积= ×6π×8=24πcm2．
故选D．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长．
8．A
【分析】扇形纸板的弧长即为圆锥底面圆的周长，先根据扇形纸板的圆心角及半径求出弧长，再利用周长公式即
可求出底圆半径．
【详解】解：∵扇形纸板的圆心角为120°，半径为2，
∴扇形纸板的弧长为： ，
设圆锥的底面圆半径为R，
则 ，
解得 ，
故选A．
【点睛】本题考查圆锥的相关知识，理解“围成圆锥的扇形的弧长等于扇形底面圆的周长”是解题的关键．
9．A
【分析】已知半径为6cm，圆心角为120°的扇形，就可以求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底
面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【详解】解：扇形弧长为：L= = cm，
设圆锥底面半径为r，
则： ，所以r=2cm，
因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，
设圆锥高为h，所以h2+r2=62，
即：h2=32， ，
所以圆锥的高为 ．
故选：A
【点睛】考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．C
【分析】根据勾股定理，可求出母线长为 =3，圆锥的底面周长为2πr=2π，根据圆锥展开图弧长公式即可
求出圆心角.
【详解】解：圆锥的底面周长为2πr=2π
由勾股定理，得圆锥的母线长为 = =3，
∵ =2π
∴n=120
故选：C.
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面圆周长=展开图扇形弧长，
圆锥母线长=展开图扇形半径，同时注意母线长= ，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键.
11．A
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的母线长＝ ＝9（cm），
∴圆锥的侧面展开图扇形的半径为9cm，扇形弧长为2×3π=6π(cm)，
∴ ＝6π，
解得，n＝120，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的
关键．
12．B
【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的
长即可．
【详解】解：如图:
∵ ，∴设弧 所对的圆心角的度数为n，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．
解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．
13．D
【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积= ，由旋转的性质就可以得出
就可以得出AB扫过的图形的面积= 求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴ ， ．
∵AB扫过的图形的面积= ，
∴AB扫过的图形的面积= ，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的
性质求解是关键．
14．C
【分析】根据图形可以得出 扫过的图形的面积 ，由旋转的性质就可以得出
就可以得出 扫过的图形的面积 求出其值即可．
【详解】解： 绕点 旋转 得到△ ，
△ ，
， ．扫过的图形的面积 ，
扫过的图形的面积 ，
扫过的图形的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
15．A
【分析】先在Rt△OCB中利用特殊角求出OC、BC、∠COB，进而可求出 ，接着可以求出
，则可以表示出 、 、 ，则阴影部分的面积可求．
【详解】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO= BC，
∴ ，BC= ，OC=1，
∴ ，
∴ ，
根据旋转的性质可知， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ （cm2），
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了旋转的性质、扇形面积的求解以及解含特殊角的直角三角形等知识，求出 、
、 是解答本题的关键．
16．A
【分析】作OD⊥AC交圆于点D、交AC于点E，根据垂径定理，OD平分 和 ，又因为AC是对折线，所以OD与AC互相垂直平分，所以ODCO组成的图形面积是 与 组成的图形面积的一半，也就等于
ADCEA组成图形面积，此部分面积可用扇形OAC的面积减去△OAC面积求出，再用求出的面积减去扇形ODB的
面积即得阴影部分面积．
【详解】作OD⊥AC交圆于点D，交AC于点E，连接OC，如图，
∴OD垂直平分弦AC，平分 和 ，
∵AC是 向圆内的折线，且弦AC折叠后经过点O，
∴点O是点D关于AC的对称点，即OD与AC互相垂直平分，
∴OE=DE= OD
设 与弦AC构成的图形面积为SADC， 与 构成的图形面积为SADCO， 与 和线段OD构成
的图形面积为SODC，
则SADC SADCO，SODC SADCO，
= =
∴SODC=SADC，
∵OD、OA都是圆O的半径，半径为4cm，
∴OE= OD= OA= ，
∴∠OAE=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，
∴S OAC= = (cm2)，
扇形
∵AC=2AE= cm，
∴S OAC= (cm2)，
△
∴SADC= S OAC - S OAC=（ ）(cm2)，
扇形
△∴SODC=（ ）(cm2)，
∵OB⊥OA，∠AOE=60°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°，
∴S OBD= (cm2)，
扇形
∴S =SODC- S OBD= =（ ）(cm2)，
阴影 扇形
故选 A．
【点睛】本题考查了求扇形和弓形面积、垂径定理、折叠问题及三角形的知识，解题的关键是要能通过对称看出
SODC=SADC= SADCO，以及S =SODC- S OBD，再分别求出各部分面积就能求解．
阴影 扇形
17．C
【分析】根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以得到∠BOC的值，然后根据勾股定理可以得到OB的长，
由图可知S ＝S BOC−S BOC，然后代入数据计算即可．
阴影 扇形
【详解】解：∵∠BAC＝45°△，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4 ，
∴2OB2＝( )2，
解得OB＝4，
∴S ＝S BOC−S BOC
阴影 扇形
△
＝
＝4π−8．
故选：C．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、圆周角定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
18．A
【分析】连接OD，求出 ，求出扇形ODC的面积， 的面积，两者相减即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接OD，
∵直径AC长6cm，∴半径为3cm， ，
∵DB平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴扇形ODC的面积为 ，
的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查求弓形的面积，扇形面积，圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，解题的关键是
求出 ，扇形ODC的面积， 的面积．
19．D
【分析】根据勾股定理和等腰三角形的性质求出三角形的高AD，三个扇形的面积是一个半圆，根据面积公式即可
解得．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝ ＝8，
∴ ＝ ×12×8﹣ π× ＝48﹣ ．
故选：D．
【点睛】此题考查了求阴影的面积，解题的关键是把不规则的面积转换成规则图形的面积之差．
20．C
【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得 的长，勾股定理求得 的长，进而根据
即可求解．【详解】如图，连接 , ，
边长为 的正方形 内接于 ，即 ，
， ， 为 的直径， ，
， 分别与 相切于点 和点 ，
，
四边形 是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题
的关键．
21．C
【分析】解直角三角形得到 然后根据扇形的面积公式解答．
【详解】解：图中阴影部分面积
故选：C ．
【点睛】本题考查图形旋转的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题关键．
22．(1)
(2)相切，理由见解析
【分析】（1）连接OC，利用弓形的面积=扇形的面积—三角形的面积，进行计算即可；
（2）连接OD，证明OD⊥DE，即可得证．
（1）
解：连接OC，
∵AB为直径，
∴ ， ，
又∵AB＝2BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
作OF⊥AC，交AC于点F，
则： ， ，
∴ ，
∴ ；∴ ．
（2）
相切，证明如下：
证明：如图，连接DO并延长，交圆于点H，连接HA，
则： ， ，
∴
∵CD是∠ACB的平分线，
∴ ，
又∵∠ADE＝∠BCD，
∴ ，
∴
∴
∴DE是⊙O的切线．
【点睛】本题考查圆中阴影部分面积的求法以及切线的证明，将阴影部分的面积转化为规则图形面积之间的关系
是求阴影面积的关键．
23．(1)30°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理直接得出 即可；
（2）先根据圆周角定理，由AC是⊙O的直径得∠ABC=90°，则∠BAC=60°，所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，于
是可根据切线的判定定理得到AE是⊙O的切线；
（3）连结OB，过点O作OF⊥AB于点F，先判断△OAB为等边三角形，则OA=3，∠AOB=60°，所以∠BOC=120°，然后利用图中阴影部分的面积 和扇形的面积公式、等边三角形的面积公式计算即可．
（1）
解： ，∠D=30°，
∴ ，
故答案为：30°．
（2）
证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵ ，
∴∠BAC=60°，
而∠EAB=30°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（3）
解：连结OB，过点O作OF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠BAC=60°， ，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB，∠AOB=60°，
∵AB=3，
∴OA=OB=AB=3，
∴ ，
∵OF⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，解直角三
角形，作出辅助线，求出 ， ，是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及 平分 推导出 ，即可得出 ，从而推
出 ，即证明得出结论；
（2）过点O作 于F，利用 即可得出答案．
（1）
证明：连接OC，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点D，
∴ ，
∴直线 是 的切线；
（2）
过点O作 于F，如图，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作
出辅助线是本题的关键．
25．A
【分析】根据圆锥侧面积的公式：底面周长×母线长÷2，进行计算即可得．
【详解】解：圆锥的侧面积： （ ），
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥侧面积的公式．
26．C
【分析】先设圆锥的母线长为lcm,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形
的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式得到 ×20π×l=240π，解得l=24，然后设这个扇形的圆心角的度
数是n°，利用弧长公式得到 ，最后解方程即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为lcm，
则 ×20π×l＝240π，
解得l＝24，
设这个扇形的圆心角的度数是n°，
根据题意得 ，
解得n＝150，
即这个扇形的圆心角的度数是150°．
故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
27．B
【分析】根据切线的性质、 的直角三角形的性质和弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵AB切⊙O于点B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵OA＝4，
∴OB OA＝2，
∴劣弧 的长 π，
故选B．
【点睛】本题考查切线的性质和弧长公式．熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
28．B
【分析】首先要明确 ，然后依面积公式计算即可．
【详解】解：连接OF，
∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
在Rt OFE中，OE=2EF，
△
∵OF= ， ，
∴ ，
解得：EF=1，
∴EF=OD=CD=1，
∴
．故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理的应用，得到正方形和三角形的边长是解题的关键．
29．A
【分析】根据图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，求出它们的面积，再用两个扇形的面积的和-正方形
的面积=无阴影两部分的面积之差来求解．
【详解】解：如图：
正方形的面积 ；①
两个扇形的面积 ；②
② ①，得： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的
联系是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC= AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直
角三角形的性质得出BD=AD= AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出 ADC是等边三角形，根据等边三
△
角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD=AC= ，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出 BDO和扇形DOE
△
的面积即可．
（1）
证明：连接OD，CD，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC= AB，∠A=90°-∠B=60°，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD= AB，
∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）
解：由（1）可知：AC=AD=BD= AB，
又∵AC= ，
∴BD=AC= ，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（ ）2，解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S BDO-S DOE= ．
扇形
△
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角
形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
31．(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，根据 和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由
OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得 ，进而得到 ，再根据阴影部分
的面积为 ，即可求解．
（1）
解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵ ，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵ ，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，（2）
解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴扇形BOC的面积为 ，
∵ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影
部分的面积为 是解题的关键．
32．D
【分析】根据S =S AOD-S BOC求解即可．
阴影 扇形 扇形
【详解】解：S =S AOD-S BOC
阴影 扇形 扇形
=
=
==2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
33．A
【分析】根据旋转的性质可知 ，由此可得 ，根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】由旋转得：∠BAB＝60°，
1
∵ ，
∴ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面
积等于扇形的面积．
34．A
【分析】作出等腰三角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角
形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在的圆的半径R，然后根据弧长公式求出 的长度， 的长度
即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．
【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，
∴ =30°， cm，
∴ cm，
设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，
，
解得 ，
所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，
故选A．【点睛】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形
的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键．
35．C
【分析】根据圆锥侧面积公式 ，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，求解即可．
【详解】解：由题意可知：
圆锥的侧面积为： ，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，
．
故选：C
【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇
形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．
36．B
【分析】连接OC、OP，易得∠OPB=90°，点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，求 即可．
【详解】连接OC、OP，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，
∴OP⊥BC（三线合一），
即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达 位置，
点P所经过的路径长为 ，
连接 ，∵D为OB中点， 为AB中点，
∴ ∥OA，
∴ = ，BD= OA=3，∴ ，
即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆的所在位置，以及等腰三角形的性质、中位线的性
质、弧长公式，熟练掌握这些性质是解题的关键．
37．B
【分析】连接BD，分别求出△ABD、△BCD以及弓形BD的面积，再计算阴影的面积即可．
【详解】解：如图所示：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，
作DH⊥AD于H，则AH=1，
∴DH= ．
∴S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC＝2 2 （ ） ．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，明确S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC是解题的关
键．
38．C【分析】利用弧长公式，分别计算出 ， ， ，…的长，寻找其中的规律，确定 的长．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴外角都相等且为360°÷6=60°，
根据题意得： ，
，
，
，
按照这种规律可以得到： ，
所以
故选：C．
【点睛】本题考查了正六边形的性质及弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出 的长，解题关键是熟练掌
握弧长的计算公式．
39．20
【分析】根据圆锥底面周长得到半径和母线的关系，然后计算侧面积即可；
【详解】解：∵侧面展开图是半圆，
∴
∴
∵
∴
故答案为20；
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
40．
【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积公式： 进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的面积．熟练掌握圆锥的侧面展开图的面积公式： ，是解题的关键．
41．
【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则 ．
【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知
识是解题的关键．
42．
【分析】作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、OD，根据题
意，结合勾股定理，得出 的长，再根据圆周角定理，得出 ，再根据弧长公式进行计算即
可．
【详解】解：如图，作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、
OD，
根据题意，可得： ，
，
∴弧CD的长为： ．
故答案为：【点睛】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、圆周角定理、弧长公式，根据题意并结合图形添加适当的辅
助线是解本题的关键．圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；弧长公式： （ 为
弧所对的圆心角的度数； 为半径）
43．18
【分析】设此圆锥的母线长为R，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2π×6= ，然后解方程即可．
【详解】解：设此圆锥的母线长为R，
根据题意得2π×6= ，
解得R=18，
即此圆锥的母线长为18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．
44．
【分析】连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据三角形中位线定理求出OD，根据梯形的面积
公式、扇形面积公式计算即可．
【详解】解：连接OD、CD，
∵BC为半圆的直径，
∴CD⊥AB，∵CA＝CB，
∴AD＝DB，又BO＝OC，
∴OD＝ AC＝1，OD AC，
∴∠COD＝∠ACB＝90°，
∴图中阴影部分的面积是＝ ×（1＋2）×1− ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式、三角形中位线定理、梯形的面积公式是解题的关
键．
45．2022π
【分析】根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长 ，又因为AA 的半径为 ，可知任何一段弧的弧长
1
都是 的倍数，根据圆心以A，B，C，D四次一个循环，可得弧 的半径为 ×4×n，再根据弧长公式进行计算
即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
的半径 = ；
的半径 = ×2；
的半径 ；
的半径 ；
的半径 ；
的半径 ；
的半径 ；
的半径 ；
•••
以此类推可知，弧 的半径为 ，即弧 的半径为 ，
∴弧 的长 ．
故答案为：2022π．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应用弧长的计算方法进行
求解是解决本题的关键．
46．(1)直线 与 相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出 PBC是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC
△
＝2，根据勾股定理得到OB ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
（1）
解：直线BC与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
∵ ，
∴∠AOC＝90°，
在Rt△AOP中，
∵∠OAB +∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）
∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，OP＝2，
∴∠APO＝60°，AP＝2OP＝4，
∴AO＝BO ，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝30°，
∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP，
∴OP＝PB＝2，
∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴BC＝PB＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S OBC﹣S OBD 2×2 π．
扇形
△
【点睛】本题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、扇形面积的计算，正确的作出辅助线是
解题的关键．
47．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进
而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形 的面积相等，继而得到结论．
（1）
证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S DOC=S DBC，
△ △
∴S =S COD+S DOC=S COD+S DBC=S COD，
阴影 弓形 弓形 扇形
△ △
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S COD= ．
扇形
∴S ．
阴影=
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
48．(1)
(2)1
【分析】（1）连接AD，可得AD⊥BC．再根据△ABC是等腰直角三角形，可得BD＝CD， ，即
可求解；
（2）根据AD=BD，可得弧BD=弧AD，从而得到弓形BD的面积＝弓形AD的面积，进而得到阴影部分的面积＝
Rt△ADC的面积，即可求解．
（1）
解∶如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD， ，
∴AD＝BD＝CD＝ ；
（2）
解：∵AD=BD，
∴BD⏜=AD⏜，
∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积＝ ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，求扇形面积，勾股定理，根据题意，作适
当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
49．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的
性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2 ，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明
△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．
（1）
证明：连接OB∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D=60°
∴∠ABE=120°
∵AB=EB
∴∠E=∠BAE=30°
∵OA=OB
∴∠ABO=∠OAB=30°
∴∠OBC=30°+60°= 90°
∴OB⊥CE
∵OB是半径
∴EC是⊙O的切线．
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=2
过O作OH⊥AM于H
则四边形OBCH是矩形
∴OH=BC=2 ，OH∥EC
∴∠AOH=∠E=30°
∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°
∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形
∴∠AOM＝60°
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等
知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
50．(1)证明见解析
(2)⊙O的半径长为6cm
(3)阴影部分的面积为6πcm2
【分析】（1）由圆周角定理解得∠BOC＝60°，再根据AC//BD得到∠A＝∠OBD＝30°，继而解得∠ACO＝90°，
据此解答；
（2）设OC 、BD相交于点E，由垂径定理解得 ，再根据含30°角直角三角形的性质解得
OB＝6；
（3）由ASA证明△CDE≌△OBE，再利用扇形的面积公式解答即可．
（1）
证明：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，
∴∠BOC＝60°
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠OBD＝30°
∴∠ACO＝90°
∴AC为⊙O切线．
（2）
解：设OC 、BD相交于点E
∵∠ACO＝90°，AC//BD，
∴∠BEO＝∠ACO＝90°
在Rt△BEO中，∠OBD＝30°∴OE=3
∴OB＝6
即⊙O的半径长为6cm．
（3）
解：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，
又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，
∴△CDE≌△OBE（ASA）
答：阴影部分的面积为6πcm2．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆切线的判定、含30°角直角三角形的性质、扇形面积公式、平行线的
性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
51．(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝ AB＝2，AC＝ BC，即得S ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S ABC即
△ △
可解题．
（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣
∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝ AB＝2，AC＝ BC＝2 ，∴S ABC＝ BC•AC＝ ×2×2
△＝2 ，∴阴影部分的面积是 ﹣2 ＝2π﹣2 ，答：阴影部分的面积是2π﹣2 ．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
52．(1)
(2)2， ，点 在 上
(3)存在， ， ，
【分析】（1）根据二次函数的图像及性质，根据对称轴为 ，得 ，求出 ， 把 代
入 ，求得 ，即可求出抛物线的解析式．
（2）根据二次函数的解析式推出 ， ．从而得到 ．根据对称轴为 ，得到
． ．连接 、 ．由勾股定理可得 ， ，求出 的半径为2， 的坐标为 ．
根据抛物线 ，求出抛物线 的顶点坐标为 ．得到 ．所以推出点
在 上
（3）设点 的坐标为 ，根据三角形的面积公式推出 ，得到 ，
①当 时，②当 时， 求出a的值，即可求得M点的坐标．
（1）解： 对称轴为 ， ． 把 代入 ，得 ． 抛物线的
解析式为 ．
（2）把 代入 ，得 ，解得 ， ． ， ．
． 对称轴为 ， ． ．连接 、 ． 的长为 周长的 ，
． ， ．由勾股定理可得 ， ， 的半径为2， 的坐标为
． ， 抛物线 的顶点坐标为 ． ． 点 在 上（3）存在设点 的坐标为 ． ．①当
时，解得 ， ， ， ． ②当 时，解得
， 综上，符合条件的点M的坐标有 ， ， ．
