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第 7 讲 比较大小
真题展示
2022 新高考一卷第 7 题
设 ， ， ，则
A． B． C． D．
考查目标 试题以三个数值大小的比较为具体情境，通过数值的共性与特点，构
建函数模型，研究导函数的符号，得到函数的单调性，从而得到函数不等式和
所需结论.试题考查了考生分析问题、解决问题的能力.作为新高考试卷的题目，
试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的
考查要求，体现了较好的选拔功能.
试题亮点 以往的试题中，大小比较的问题往往通过差值比较或商值比较，结
合对数函数与指数函数的性质即可得到结论，试题将函数、导数、不等式这三
者通过比较大小的问题有机结合起来，成为一大亮点. 值得注意的是，试题的解
法多样，构造函数的方法也不尽相同，这为不同能力层次的考生提供了发挥的
空间．但有部分考生应用了泰勒公式等大学数学的知识，这是没有任何基础的．
对于泰勒公式的使用条件与结论，很多考生均不清楚，生搬硬套会导致理解不
透彻，甚至得到错误答案．对于高中生而言，不应该使用二级结论，对自己不
清楚的结论更不能随意使用．试题源于教材，紧扣课标，可以对考生的能力进
行很好的区分，具有较好的选拔功能.知识要点整理
（一）常用技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道
来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为 和
（1）如果底数和真数均在 中，或者均在 中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在 中，一个在 中，那么对数的值为负数
例如： 等
2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作
图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与
指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，
尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如： ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变
为相同，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比
较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称
为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数
的值进行估计，例如 ，可知 ，进而可估计 是一
个1点几的数，从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论： （令 ）
（二）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用： 在 单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、导数运算法则：
（1）
（2）
3、常见描述单调性的形式
（1）导数形式：
单调递增； 单调递减
（2）定义形式： 或 ：
表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明
函数单调递减
4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件
与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要
什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能
是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至
同一单调区间中进行比较
（三）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如
“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，
即可得到函数值的大小关系
（1）若 关于 轴对称，且 单调增，则图象可能以下三种情况，可
发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若 关于 轴对称，且 单调减，则图象可能以下三种情况，可
发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两
个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系
下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
三年真题1．设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，且 的图象关于直线 对
称，则下面正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果函数 对于任意实数t都有 ，那么（ ）
A．f(2)
