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专题5.8 平行线（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
特别提醒：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味
着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直
线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.
④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
【知识点二】平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
特别提醒：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
【考点目录】
【考点1】平面内两直线位置关系； 【考点2】立体图形中平行的棱；
【考点3】尺规画平行线； 【考点4】平行公理的应用；
【考点5】平行公理推论的应用.
【考点1】平面内两直线位置关系；【例1】（2020上·湖北十堰·七年级期末）作图题：如图，在平面内有不共线的3个点A，B，C．
（1）作射线BA，在BA延长线上取一点E，使AE=AB；
（2）作线段BC并延长BC到点F，使CF=BC；
（3）连接AC，EF；
（4）度量线段AC和EF的长度，直接写出二者之间的数量关系_______，观察AC和FE的位置是 （填
“平行”或“相交”）关系；
（5）作BC的中点D，连接AD，猜想S S （填“＞”“＝”或“＜”）．
三角形ABD 三角形ACD
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）AC= EF（或EF=2AC），平行；（5）=
【分析】（1）、（2）、（3）利用射线、线段的定义和几何语言画出对应的几何图形即可；
（4）通过观察测量进行判断；
（5）根据等底同高的两个三角形面积相等进行判断．
解：（1）（2）（3）如图所示：
（4）通过测量观察，可知AC= EF（或EF=2AC），AC∥EF，
故答案为：AC= EF（或EF=2AC）；平行；
（5）∵D为BC的中点，三角形ABD与三角形ACD等底同高，
∴S =S ．
三角形ABD 三角形ACD
故答案为：=．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【变式1】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末） 、 、 为同一平面内的三条直线，若 与 不
平行， 与 不平行，那么下列判断正确的是（ ）
A． 与 一定不平行 B． 与 一定平行
C． 与 一定互相垂直 D． 与 可能相交或平行
【答案】D
【分析】根据关键语句“若 与 不平行, 与 不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得
答案．
解：根据题意可得图形：
根据图形可知：若 与 不平行, 与 不平行,则 与 可能相交或平行，
故选：D.
【点拨】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.
【变式2】（2023下·七年级课时练习）在同一平面内，直线 与 满足下列条件，把它们的位置关
系填在后面的横线上．
（1）若 与 没有公共点，则 与 ；
（2）若 与 有且只有一个公共点，则 与 ；
（3）若 与 有两个公共点，则 与 ．
【答案】 互相平行 相交 重合
【解析】略
【考点2】立体图形中平行的棱；【例2】（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）补全下面的图形，使之成为长方体
的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱 平行的棱有 ；
（3）图中棱 和面 的位置关系是 ．
【答案】（1）见分析；（2） 、 、 ；（3）平行
【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可．
（2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可．
（3）因为线与面没有交点，所以平行．
解：（1）如图即为补全的图形；
（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；
故答案为：CD、EF、GH；
（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．
故答案为：平行．
【点拨】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键．
【变式1】（2020下·河北衡水·七年级校考阶段练习）有一正棱锥的底面为正三角形．若此正棱锥其
中两个面的周长分别为27、15，则此正棱锥所有边的长度和为多少？（ ）
A．36 B．42 C．45 D．48
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，得出2y+x=27，3x=15，求出x和y，即可得出结果．
解：如图所示：根据题意得：2y+x=27，3x=15，
其他都不符合三角形条件，解得：x=5，y=11，
∴正棱锥所有边的长度和=3x+3y=15+33=48；
故选：D．
【点拨】此题考查立体图形，根据题意画出图形，得出关系式是解题的关键．
【变式2】（2019下·七年级单元测试）如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，
A B AB，AA AB．
1 1 1
【答案】 // ⊥
【分析】根据在长方体中，棱与面，面与面之间的关系有平行和垂直两种，填空即可.
解：A B 和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA ，AB可看做是一个长方形的两条邻边，
1 1 1
所以垂直.
故答案为∥，⊥.
【点拨】本题借助于几何体的特征考查了矩形的性质．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有
两种：平行和相交（重合除外，其中垂直是相交的特例）．
【考点3】尺规画平行线；
【例3】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）：
（1）过 上一点 （不与点 重合）画 的平行线交 于点 ；
（2）过点 画 ．【答案】（1）；（2）
【解析】略
【变式1】（2022下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平
行线，根据语句作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可．
解：过AC的中点D作AB的平行线，
正确的图形是选项B，
故选：B．
【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2020·四川达州·校考一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面
是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ．
【答案】③②④①
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，故答案我③②④①．
【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
【考点4】平行公理的应用；
【例4】（2019下·七年级课时练习）如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？
并说明理由．
【答案】共线，证明详见分析.
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解答．
解：共线．理由：因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD，CE都经过点C且与AB
平行，所以C，D，E三点共线
【点拨】本题主要考查过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【变式1】（2022下·福建莆田·七年级校考期中）下列说法中，错误的有（ ）
若 与 相交， 与 相交，则 与 相交；
若 ， ，那么 ；
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】根据两条直线的位置关系以及平行公理，依次判断所给内容的正误，即可得到答案．
解： 若a与c相交， b与c相交，则a与b相交的说法错误，a与b还有可能平行，如图所示：
，故①说法错误，符合题意；
若 ， ，那么 ，故②说法正确，不符合题意；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误，符合题意；
在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④说法错
误，符合题意；
综上所述， 说法错误，
故选A．
【点拨】本题考查了平行线，解题的关键是熟记平行公理及其推论和平面内两条直线的位置关系．
【变式2】（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）三条直线 ，则 ，理由是
．
【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行即可得到答案．
解：∵直线 ，
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行）．
即三条直线 ，则 ，理由是平行于同一条直线的两条直线平行．
故答案为： ，平行于同一条直线的两条直线平行
【点拨】此题考查了平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键．
【考点5】平行公理推论的应用.
【例5】（2019下·七年级课时练习）如图，AO∥CD，BO∥CD，且 ，求∠AOC的度
数.
【答案】∠AOC=60°
【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得
∠AOC．
解：因为 AO∥CD，BO∥CD,
所以A,O,B在同一条直线上，
所以∠AOB=180°.
因为∠AOC= ∠AOB，所以∠AOC=60°
【点拨】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，
②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c a∥c． ⇔
【变式1⇔】（2023上·江苏·七年级专题⇔练习） 是直线，下列说⇒法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可．
解：A、在同一平面内，若 ，则 ，原说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若 ，则 ，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，若 ，则 ，原说法错误，不符合题意；
D、若 ，则 ，正确，符合题意．
故选：D
【变式2】（2021上·七年级课时练习）完成下列推理，并在括号内注明理由．
（1）如图1所示，因为 （已知）．所以 三点 ；（
）
（2）如图2所示，因为 （已知），所以 ∥ ．（
）
【答案】 共线 平行公理 AB EF 平行公理的推论
【分析】（1）根据平行公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可；
（2）根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．解：（1）∵ ， ，
∴A、B、C三点共线（平行公理）；
（2）∵ ， ，
∴AB∥EF（平行公理的推论）．
故答案为：（1）共线；平行公理；（2）AB；EF；平行公理的推论．
【点拨】本题主要考查了平行公理和平行公理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解．
