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24.1—24.2 圆 垂直于弦的直径
考点一．圆
在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端 点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
叫作_圆.
圆心：固定的端点叫作圆心.
半径：线段OA的长度叫作这个圆的___半径___________.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“______ ⊙O__________”，读作“圆O”.
同时从圆的定义中归纳：
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.
考点二．垂直于弦的直径
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的____对称轴 _，圆有____无数 条对称轴.
（2）垂直于弦的___直径___平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径__垂直____于弦，并且
____平分___弦所对的弧.
题型一：圆的基本概念
1．（2022·全国·九年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的线段是直径 B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧 D．相等的圆心角所对的弧相等
2．（2022·全国·九年级专题练习）下列语句不正确的有（ ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·河北邢台·九年级阶段练习）如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；③以M为端点的弧只有一条．则（ ）
A．①、②错误，③正确 B．②、③错误，①正确
C．①、③错误，②正确 D．①、②、③错误
题型二：弦的条数及最长的弦问题
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图
中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．（2021·全国·九年级课时练习） 、 是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东·临沂市罗庄区教学研究中心一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P
是半径为 的 上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
题型三：求一点到圆距离的最值问题
7．（2022·贵州遵义·二模）如图，⊙D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是⊙D上的任意一点 ，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ）
A．14 B． C． D．
8．（2021·河南·金明中小学九年级期中）如图，如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的
任意一点， ， ， 与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则 的最小值为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2022·浙江温州·九年级期中）已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB和小圆交于点C，D，
大圆的半径是13， ， ，则OC的长是（ ）
A． B． C． D．8
题型四：垂径定理
10．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在⊙O中，AB是弦，半径 于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边
形ACBD的面积为( )
A．36 B．24 C．18 D．72
12．（2021·全国·九年级专题练习）已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，
则AB与CD的距离是（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
题型五：垂径定理求平行弦问题
13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD
的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
14．（2019·浙江·丽水市实验学校一模）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD
的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm15．（2022·全国·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，
水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度
是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
题型六：垂径定理求几何问题
16．（2022·全国·九年级课时练习）在Rt ABC中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，
且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB△相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·全国·九年级）如图，在平面直角坐标系中， 的圆心是 ，半径为3，函数 的图象被
截得的弦 的长为 ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
18．（2021·福建·厦门双十中学思明分校九年级期中）如图， 为 直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，
则说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型七：垂径定理的推论
19．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为 中点，AB、OC交
于点P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
20．（2020·河北·定州市宝塔初级中学九年级阶段练习）如图， 是半圆 的直径， 为弦， 于 ，
过点 作 交半圆 于点 ，过点 作 于 ．若 ，则 的长为（ ）．A． B． C．1 D．2
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点 ， ， ， 在圆上，弦 和 交于点 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若 平分 ，则 B．若 ，则 平分
C．若 垂直平分 ，则圆心在 上 D．若圆心在 上，则 垂直平分
题型八：垂径定理的实际应用问题
22．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为 ，秋千向两边摆动的角度相同，
摆动的水平距离 为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即 ）为0.5米．则秋千链子的长
为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D． 米
23．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾
股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今
有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，则圆形
木材的直径是（ ）（1尺=10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
24．（2022·全国·九年级专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是
以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦 长为4米， 半径长为3米．
若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
题型九：垂径定理综合问题
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 平分弦 ，交 于点 ， ，
，求 的长．26．（2022·全国·九年级专题）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
(1)求证：AC＝BD；
(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
27．（2022·浙江·九年级单元测试）如图， 是 直径，弦 于点 ，过点 作 的垂线，交 的延
长线于点 ，垂足为点 ，连结 ，其中 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
一、单选题
28．（2022·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
29．（2022·浙江·九年级单元测试）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
30．（2022·全国·九年级专题练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．
31．（2022·江苏·九年级课时练习）如图， 为 的直径，过点 作 于点 ，交 于点 ，
．
(1)求证： 为 的中点；
(2)若圆的半径为6，求弦 的长．
一：选择题
32．（2022·黑龙江绥化·九年级期末）如图， 的弦 垂直于 ， 为垂足， ， ，且 ，
则圆心 到 的距离是（ ）A．2 B． C． D．
33．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
34．（2022·江苏·九年级专题练习）如图， 为 的直径， 为 的弦， 为优弧 的中点， ，
垂足为 ， ， ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
35．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交
OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
36．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AC是 的直径，弦 于E，连接BC，过点O作 于
F，若 ， ，则OE的长为（ ）A．3 B．4 C． D．5
37．（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，水的最大深
度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
38．（2022·江苏·九年级课时练习） 中，点C为弦 上一点， ， 交 于点D，则线段
的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
39．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室二模）如图，已知 ，点 是以线段 为弦的圆弧的中点，
，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，设 ， ，则能表示 与 的函数关系的图
像是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
40．（2022·浙江·九年级单元测试）下列说法中正确的有__（填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相
等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
41．（2021·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 、
、 ，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，且始终满足 ，则 的
最小值为______， 的最大值为______．
42．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与
BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．43．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦 ，∠AOC=90°，设
AB=a，CD=b，则 _______．
44．（2022·湖北武汉·九年级期中）在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽
AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了__________m．
45．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，
以OD为对角线作正方形OCDE，经过C，E的直线分别与半圆弧交于F，G．已知CE=6，则FG的长为______．
46．（2022·江苏·九年级）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，
点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心， 为半径的圆，且
圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 长为 ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为______m．三、解答题
47．（2022·全国·九年级课时练习）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今
约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆
弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长） ，设 所在圆的圆心为 ，半径 ，垂足为 ．
拱高（弧的中点到弦的距离） ．连接 ．
(1)直接判断 与 的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 ）．
48．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作
交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，(1)求OF的长；
(2)连接BE，若BE= ，求半径OA的长．
49．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在半径为 的扇形 中， ，点 是 上的一个动点
不与点 、 重合 ， ， ，垂足分别为 、 ．
(1)当 时，求线段 的长；
(2)在 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
50．（2022·全国·九年级单元测试）问题提出
（1）如图①， 的半径为8，弦 ，则点O到 的距离是__________．
问题探究
（2）如图②， 的半径为5，点A、B、C都在 上， ，求 面积的最大值．
问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图， 的直径为 ，等腰直角三角形 的边 是 的弦，直角顶点
P在 内，延长 交 于点C，延长 交 于点D，连接 ．现准备在 和 区域内
种植草坪，在 和 区域内种植花卉．记 和 的面积和为 ， 和 的面积和为 ．
①求种植草坪的区域面积 ．
②求种植花卉的区域面积 的最大值．1．B
【分析】根据圆的相关知识进行逐一判断即可．
【详解】解：A.过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故该选项说法错误；
B. 面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故该选项说法正确；
C. 同圆或等圆中两个半圆是等弧，故该选项说法错误；
D. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法说法错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的基本知识，熟知圆的相关知识是解题的关键．
2．B
【分析】根据圆的概念、等弧的概念、垂径定理、弧、弦直径的关系定理判断即可．
【详解】解：①直径是弦，①正确；
②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误；
④半圆是弧，④正确；
故不正确的有 个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是
要熟悉课本中的性质定理．
3．C
【分析】根据弦的定义对①进行判断；根据直径的定义对②进行判断；根据弧的定义对③进行判断．
【详解】解：以M为端点的弦有无数条，所以①错误；
以M为端点的直径只有一条，所以②正确；
以M为端点的弧有无数条，所以③错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧
等）．
4．B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．
5．D【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴ ．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
6．A
【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得 ，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB过圆心
A时，PB最大，即可求解．
【详解】解：如图，连接BP，
∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD=12，
∵E是PC的中点，
∴ ，
∴当BP最大时，DE最大，
∵P是半径为 的 上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线，
∵AD=5，BD=12，
∴AB=13，
∴PB的最大值为13+3=16，
∴DE的最大值为8．
故选：A
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值
时，DE的长最大是解题的关键．
7．D
【分析】连接OC，首先根据题意可得AO=BO，OC是Rt△ABC的斜边上的中线， ，可知故若要使AB最
大，则OC需取最大值，再连接OD并延长，交⊙D于点C ，C ，当点C位于点C 时，OC最长，再由过点D作
1 2 2轴于点E，可得DE=5，OE=3，根据勾股定理可求得OD，据此即可求得．
【详解】解：如图：连接OC
∵
是直角三角形
∵点A、点B关于原点O对称
∴AO=BO
∴OC是Rt△ABC的斜边上的中线
∴
故若要使AB最大，则OC需取最大值
连接OD并延长，交⊙D于点C ，C
1 2
当点C位于点C 时，OC最长
2
过点D作 轴于点E
∵点D(3，5)
∴DE=5，OE=3
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：
故AB的最大值为故选：D
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，解题的关键是找到点C的位置．
8．D
【分析】由 中 知要使 取得最小值，则 需取得最小值，连接 ，交 于点 ，当点
位于 位置时， 取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接 ，
，
，
，
，
若要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最小值，
过点 作 轴于点 ，
则 、 ，
，
又 ，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 取
得最小值时点 的位置．
9．B
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，由垂径定理求得AE=BE=12，根据勾股定理求出OE的长度，设 ，
则CE=12-x，在Rt COE中，利用勾股定理即可求得OC的长．
△【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，
∵大圆和小圆的圆心都为点O，OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∵ ，
∴AE=BE=12，
∵OA=13，
∴ ，
设 ，
则CE=12-x，
在Rt COE中， ，
△
解得： ，
即OC的长为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理常与勾股定理相结合来解题．
10．C
【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD=BD= AB=8，再利用勾股定理计算出OD，然后计算OC-OD即
可．
【详解】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，∴AD=BD= AB=
在Rt△OAD中，OD=
∴CD=OC-OD=10-6=4．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
11．A
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求
得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中， ，
∴CD＝2CE＝6 ，
∴四边形ACBD的面积＝ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
12．C
【分析】由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB
和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝ ＝3，OF＝ ＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 也考查了勾股定理及分类讨论的思
想的应用.
13．C
【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是 ABC的中位线，则可求得OD的长．
【详解】解：∵OD⊥BC， △
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝ AC＝2．
故选C．
【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14．D【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况，根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
【详解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，
∵CD=10cm， ，
∴ ，
∵圆的半径为13cm，
∴OD=13cm，
∴利用勾股定理可得：
，
同理可求OF=5cm，
∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；
第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样；
综上分析可知，两弦之间的距离为7cm或17cm，故D正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用定理、注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情
况讨论是解题的关键．
15．C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股
定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC= ，
∴AB=2AC= .
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
16．A
【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面
积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【详解】解：如图，过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，
∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝ DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝ ＝10，
∵ AC•BC＝ AB•CF，
∴CF＝ ，
∴OG＝CF−OC＝ ，∴MG＝ ＝ ，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点睛】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线
上OG最小是解题的关键．
17．D
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），
则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE= AB=2 ，在
Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD= PE= ，所以a=3+ ．
【详解】过 作 轴于点 ，交 于点 ，作 于点 ，连接 ，如图．
的圆心坐标是 ，
把 代入 得 ，
点坐标为 ，
为等腰直角三角形，
也为等腰直角三角形．
，
在 中，
，．
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等
腰直角三角形的性质．
18．D
【分析】根据垂径定理的推论和垂径定理进行判断即可．
【详解】解：∵ 为 直径，E点为AD中点，
∴ ，
∴ ， ，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题关键是熟练运用垂径定理及推论进行证明推导．
19．C
【分析】根据弦AB的长是半径OA的 倍，C为 的中点，判定出四边形OACB是平行四边形，再由
，即可判定四边形OACB是菱形.
【详解】∵弦AB的长是半径OA的 倍，C为 的中点，OC为半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形OACB是菱形.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．
20．C
【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF=AD=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理的应用，解此题的关键是证明△ADO≌△OFE和求出AD
的长．
21．C
【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、 若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
22．B
【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点D为 的中点，由垂径定理知OD⊥AB， AD= AB=1.5米．再根据
勾股定理求得OA即可．
【详解】解：∵点D为 的中点，
∴由垂径定理知OD⊥AB，AD=BD= AB= ×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
则OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
23．D
【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝ AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt OAC中，
△
由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【详解】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：△x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的
关键．
24．C
【分析】连接OC交AB于点E．利用垂径定理以及勾股定理求出OE，可得结论．
【详解】解：连接OC交AB于点E．
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE= AB=2（米），
在Rt AEO中， （米），
△
∴CE=OC-OE= （米），
故选：C．【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题．
25．
【分析】 是直径，且平分弦 ，由此可构造直角三角形 ，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵ 是 的直径， 平分弦 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
在 中，
， ， ，
∴ ．
故 的长是 ．
【点睛】本题考查的圆的垂径定理，理解垂径定理，通过构造直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH＝ CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC
＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
（1）
证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；（2）
解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝ CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝ ＝ ＝2 ，
∴AH＝ ＝ ＝2 ，
∴AC＝AH﹣CH＝2 ﹣2．
【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解
题的关键．
27．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）先根据垂直的定义、对顶角相等可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角形的判定即
可得证；
（2）连接 ，设 的半径为 ，则 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 ，根据垂径
定理可得 ，从而可得 ，然后在 中，利用勾股定理求解即可得．
（1）
证明： ， ，
，
，
，
，，
．
（2）
解：如图，连接 ，
设 的半径为 ，则 ，
， ， ，
， ，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
的半径为5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
28．D
【分析】根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的弦不可能比10cm更长，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，熟知直径是圆中最长的弦是解题的关键．
29．A
【分析】要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第一块可确定半径的大小
【详解】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分
线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
30．(1)见解析
(2)AC＝
【分析】（1）作OE⊥AB于E，利用垂径定理即可证明结论；（2）利用勾股定理分别求出CE和AE的长，作差可得答案．
（1）
证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE，
故BE﹣DE＝AE﹣CE；
即AC＝BD；
（2）
解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE＝4，CE＝DE，
∴DE＝CE＝ ＝ ＝2 ，
AE＝ ＝ ＝4 ，
∴AC＝AE﹣CE＝4 ﹣2 ．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；
（2）根据垂径定理和勾股定理解答即可．
（1）
证明；在 中， 于 ，
，
，
，
在 与 中，
，，
，
是 的中点；
（2）
解： 圆的半径为6，
，
由勾股定理得： ，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键是根据全等三
角形的判定和性质以及垂径定理解答．
32．A
【分析】连接 ，过点 ，分别作 与 ， 于 ，则四边形 是矩形，证明
，可得 ，根据垂径定理可得 ，根据 即可求解．
【详解】连接 ，过点 ，分别作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
（HL），
，
则 ，
，
，
，
．
故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
33．D
【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．
【解答】解：根据垂径定理，
①正确；
②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；
③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；
④正确．
故选：D．
【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的
习惯．
34．B
【分析】如图，连接 ，延长 交 于点 设 的半径为 证明 ，推出 ，
在 中，根据 ，构建方程求解．
【详解】解：如图，连接 ，延长 交 于点T，设 的半径为 ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
在 中， ，
，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解
答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．
35．B
【分析】根据翻折变换求出OD=CD=3，OC=6，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OD=CD= ×9=3，OC=OD+CD=6，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC，
连接OA，
由勾股定理得：AC= =3 ，
即AC=BC=3 ，
∴AB=AC+BC=6 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出AC=BC是解此题的关键．
36．A
【分析】连接OB、AB，根据垂径定理求出BE的长，根据三角形中位线定理求出AB的长，再由勾股定理求出AE
的长，即可解答．【详解】解：连接OB、AB，
中
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
37．D
【分析】如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作 于D，交圆于C，设圆的半径为r，而
再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作 于D，交圆于C，
则设圆的半径为r，而
解得：
圆柱形容器的截面直径为52cm．
故选D
【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．
38．A
【分析】连接 ，如图，利用勾股定理得到 ，利用垂线段最短得到当 时， 最小，再求出即可．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
，
当 的值最小时， 的值最大，
而 时， 最小，此时 、 两点重合，
，
即 的最大值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点 的位置是解此题的关键．
39．A
【分析】延长DC交AB于点H，根据垂径定理的推论，可知 ，且 ，在 和
中，由勾股定理列等式，并整理得 ，根据题意可得 与 的函数解析式为 ，即
可判断出函数图像．
【详解】解：延长DC交AB于点H，∵点 是以线段 为弦的圆弧的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理，得 ，
∴可知 与 的函数为二次函数，其图像为抛物线，开口向下，且经过原点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，涉及的知识点包括垂径定理的推论、勾股定理及二次函数的图像
的知识，解题关键是熟练运用勾股定理将几何图形与函数相结合．
40．（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，
弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
41． 4 6
【分析】根据点 、 、 的坐标，可知点 是 的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得
的长，再由勾股定理解得 的长，最后由点与圆的位置关系解得 的最大值与最小值，进而确定 的取值范围．
【详解】解：连接 ，由题意，得： ， ，
，
，
，
要最大，就是点 到 上的一点的距离最大，
在 的延长线上，
， ，
，
的最小值是 ，
的最大值是 ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，
是重要考点，难度较易，将问题转化为求 的最大值是解题关键．
42．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位
线定理求得OF= BC= DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是 的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF= BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF= DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
43．36
【分析】过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，证明△AMO≌△ONC，可得 ，再由
，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，
∵ ，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴∠CON+∠OCN=90°，∴ ， ，
∵∠AOC=∠AMO=∠CNO=90°，
∴∠AOM+∠CON=90°，
∴∠AOM=∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
∵∠AMO=∠ONC，∠AOM=∠OCN，AO=CO，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：36
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题．
44．1或7##7或1
【分析】根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．
【详解】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB=6m，
∴AG= AB=3m，
∵油槽直径为10m，
∴OA=5m，
∴OG=4m，即弦AB的弦心距是4m，
同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1m；
当油面超过圆心O时，油上升了7m．故答案为：1或7．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的
计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
45．
【分析】如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，由正方形的性质得到OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，由垂
径定理得到FG=2FH，再利用勾股定理求出FH的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，
∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
46．4
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE=BE=8，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计
算出DE的长．
【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE=BE= AB= ×16=8，
在Rt△AEO中，OE= ，∴ED=OD-OE=10-6=4（m），
故答案为：4
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径
定理是解决问题的关键．
47．(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为 ，在 中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
（1）
解：∵半径 ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）
设主桥拱半径为 ，由题意可知 ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为 ．
【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
48．(1)OF＝1
(2)半径为3
【分析】（1）先根据垂径定理得出AD＝CD＝1，根据“AAS”证明△ADO≌△OFE，即可得出OF＝AD＝1；
（2）设OA=OB=OE= x，则：BF=OB-OF=x-1，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
（1）
解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵ ，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
∵在△ADO和△OFE中， ，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1．
（2）
解：设OA=OB=OE= x，则：BF=OB-OF=x-1，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠OFE＝90°，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去）
∴半径OA=3．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握全等三角形的
判定和性质，是解题的关键．
49．(1) ；
(2)存在， 是不变的，
【分析】（1）求出BD，根据勾股定理求出OD即可；
（2）过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，求出AF，得出AB长度，根据垂径定理得
出D、E分别是BC、AC中点，根据三角形中位线求出即可．
（1）
解：∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）
解：存在， 是不变的．
理由是：如图，连接 ，过点 作 的垂直平分线，与 交于点 ，与弧 交于点 ，
则 平分 与弧 ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴∠FAO=30°，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
由垂径定理可知，点 、 分别是 和 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形中位线、垂径定理、勾股定理的应用，解题的关键是熟练应用相关定理，题目是一道
比较典型的题目，难度适中．
50．（1）8；（2）32；（3）① ，② ．
【分析】（1）作 交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；
（2）作 交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候 面积最大，由垂径定理和勾股定理
可求出 ，进一步可求出 的面积；
（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出 ；②表示出 ，利用完全平
方公式求出 ，当 时， 有最大值为 ．
【详解】解：作 交AB于点C，连接OA，∵ ，
由垂径定理可知： ，
∵ ，
∴ ；
（2）作 交AB于点D，连接OA，
∵ ，若使 面积最大，则CD应最大，
∴当CD经过圆心O的时候取值最大，
由垂径定理可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）①连接OD，OA，则 ，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
②由①可知： ，
设 ， ，故 ，
∵ ，
∴ ，当 时，等号成立，
∴ ，当 时， 有最大值为 ．
