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第 5 节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆.
1 2 1 2
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为
半焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，
1 2 1 2
c为常数：
(1)若 a ＞ c ，则集合P为椭圆；
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段；
(3)若 a ＜ c ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A (－a，0)，A (a，0)，B (0，－ A (0，－a)，A (0，a)，B (－b，
1 2 1 1 2 1
顶点
b)，B (0，b) 0)，B (b，0)
性 2 2
轴 长轴A A 的长为 2 a ；短轴B B 的长为 2 b
质 1 2 1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 21.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y )与两焦点构成的△PF F 叫作焦点三角形，r
0 0 1 2 1
＝|PF |，r ＝|PF |，∠F PF ＝θ，△PF F 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
1 2 2 1 2 1 2
(1)当r ＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
(2)S＝b2tan ＝c|y |，当|y |＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值
0 0
为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l ＝.
min
4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x ，y )，B(x ，y )，弦中点M(x ，y )，则直线AB的
1 1 2 2 0 0
斜率k ＝－.
AB
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
1 2
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F F |时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|
1 2
F F |时，其轨迹为线段F F ，常数小于|F F |时，不存在这样的图形.
1 2 1 2 1 2
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案 D
解析 把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F ，F 是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|
1 2
MF |·|MF |的最大值为( )
1 2
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C解析 由椭圆C：＋＝1，得|MF |＋|MF |＝2×3＝6，则|MF |·|MF |≤＝32＝9，当且
1 2 1 2
仅当|MF |＝|MF |＝3时等号成立.
1 2
4.(2022·广东六校联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的
直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(
)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①.
因为直线AB经过点(1，－1)，F(3，0)，所以k ＝＝.
AB
设点A，B的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，则两式相减，
1 1 2 2
得＋＝0.
因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，
所以x ＋x ＝2，y ＋y ＝－2，
1 2 1 2
且k ＝＝，所以＝，即a2＝2b2②.
AB
由①②，得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.
5.(易错题)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案 3或
解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
综上，m＝3或.
6.若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是___________________.
答案
解析 由方程＋＝1表示椭圆，
知解得m＞且m≠1.
考点一 椭圆的定义及应用
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上
任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当
点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
答案 A
解析 连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A
为焦点，r为长轴长的椭圆.
2.设P是椭圆＋＝1上一点，F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，若|PF |·|PF |＝12，则
1 2 1 2
∠F PF 的大小为________.
1 2
答案 60°
解析 由椭圆＋＝1，可得2a＝8，
设|PF |＝m，|PF |＝n，
1 2
可得
化简可得cos∠F PF ＝，
1 2
∴∠F PF ＝60°.
1 2
3.设点P为椭圆C：＋＝1(a＞2)上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，且∠F PF
1 2 1 2
＝60°，则△PF F 的面积为________.
1 2
答案
解析 由题意知，c＝.
又∠F PF ＝60°，|F P|＋|PF |＝2a，|F F |＝2，
1 2 1 2 1 2
∴|F F |2＝(|F P|＋|PF |)2－2|F P|·|PF |－2|F P|·|PF |cos 60°＝4a2－3|F P|·|PF |＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4a2－16，
∴|F P|·|PF |＝，
1 2
∴S ＝|F P|·|PF |sin 60°＝××＝.
△PF1F2 1 2
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，
则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F 是椭圆的右焦点，则F (2，0)，
1 1
∴|AF |＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF |＋6，
1 1
又－|AF |≤|PA|－|PF |≤|AF |(当P，A，F 共线时等号成立)，
1 1 1 1
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.感悟提升 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦
长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
考点二 椭圆的标准方程
例1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).
解 (1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得a＝3，
∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1，
若焦点在y轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得b＝3，
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知，有
解得b2＝9，
∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(3)设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则有解得
则所求椭圆方程为＋＝1.
(4)椭圆＋＝1的离心率是e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，
∴解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∴
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
故所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.感悟提升 (1)利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F F |；利用待定系
1 2
数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞
0，m≠n)的形式.
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当
运用椭圆系方程，可使运算简便.
训练1 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆
的标准方程可以为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 BD
解析 因为椭圆的长轴长为10，
其焦点到中心的距离为4，
所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
答案 ＋＝1
解析 设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝
5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
考点三 椭圆的简单几何性质
角度1 离心率
例2 (1)已知F ，F 是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P
1 2
在过A且斜率为的直线上，△PF F 为等腰三角形，∠F F P＝120°，则C的离心
1 2 1 2
率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F F |＝|PF |＝2，则c＝1，
1 2 2
由∠F F P＝120°，
1 2
可得|PB|＝，|BF |＝1，
2
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F ，F ，过F 作x轴的垂线与C相交
1 2 2
于A，B两点，F B与y轴相交于点 D，若 AD⊥F B，则椭圆 C的离心率等于
1 1
________.
答案
解析 由题意知F (－c，0)，F (c，0)，其中c＝，因为过F 且与x轴垂直的直线为x
1 2 2
＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.
因为AB平行于y轴，且|F O|＝|OF |，所以|F D|＝|DB|，即D为线段F B的中点，所
1 2 1 1
以点D的坐标为，又AD⊥F B，所以k ·kF B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，
1 AD 1
所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去).
(3)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过
C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为
(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.
又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.
又0＜e＜1，所以0＜e≤.
角度2 与椭圆几何性质有关的最值范围问题
例3 (1)已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
答案
解析 设P(x ，y )，则－2≤x ≤2，－1≤y ≤1，
0 0 0 0
∴|PA|2＝x＋(y －2)2.
0
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y －2)2＝－3y－4y ＋8
0 0
＝－3＋.
∵－1≤y ≤1，
0
∴当y ＝－时，|PA|＝，
0
即|PA| ＝.
max
(2)(2022·苏北四市调研)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F (－c，0)，F (c，0)，
1 2M是椭圆上一点，且满足F1M·F2M＝0.则椭圆离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 法一 设点M的坐标为(x ，y )，
0 0
∵F1M·F2M＝0，F (－c，0)，F (c，0)，∴(x ＋c)·(x －c)＋y＝0，即x＋y＝c2.①
1 2 0 0
又知点M在椭圆G上，∴＋＝1，②
由①②联立结合 a2－b2＝c2解得x＝，由椭圆的性质可得 0≤x≤a2，即即所以
c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥，又知01)上两点 A，B 满足AP＝2PB，则当 m＝
________时，点B横坐标的绝对值最大.
答案 5
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，由AP＝2PB，得即x ＝－2x ，y ＝3－2y .因为点A，B
1 1 2 2 1 2 1 2
在椭圆上，所以得y ＝m＋，所以x＝m－(3－2y )2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋
2 2
4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
1.椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A.(±3，0) B.(0，±3)
C.(±9，0) D.(0，±9)
答案 B
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦
点坐标为(0，±3).
2.若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.3.已知两圆C ：(x－4)2＋y2＝169，C ：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C 内部且和圆C
1 2 1 1
相内切，和圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
2
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC |＋|MC |＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C C |，
1 2 1 2
所以M的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆，
1 2
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
4.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝
5，b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.
5.(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法正确的是( )
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
答案 CD
解析 对于A，当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，A错误；
对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，B错误；
对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，
所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，C正
确；
对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，D正确.
6.(多选)(2022·海南模拟)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆
交于A，B两点，则( )
A.|AF|＋|BF|为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
答案 ACD
解析 设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
因为|AF|＋|BF|为定值6，
∴|AB|的取值范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，
可解得A，B，
又∵F(，0)，
∴AF·BF＝＋＝0，∴AF⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，
∴S ＝×2×1＝，D正确.
△ABF
7.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则 m的值为
________.
答案
解析 将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1.所以＝2，
所以m＝.
8.(2022·郴州模拟)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点
的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________.
答案 ＋＝1
解析 椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，
椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，
可得a＝2，c＝2，
从而b2＝4，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，A ，且以线段A A 为直径的
1 2 1 2圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
答案
解析 以线段A A 为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所
1 2
以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2) 2a2＝3c2，即
＝，e＝＝.
⇒
10.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、
1 2
右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 交椭圆于另一点B.
2
(1)若∠F AB＝90°，求椭圆的离心率；
1
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程.
解 (1)∵|AF |＝|AF |＝a，
1 2
且∠F AF ＝90°，|F F |＝2c，
1 2 1 2
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F (1，0)，设B(x，y)，
2
由AF2＝2F2B，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
11.已知F ，F 是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
1 2
(1)若△POF 为等边三角形，求C的离心率；
2
(2)如果存在点P，使得PF ⊥PF ，且△F PF 的面积等于16，求b的值和a的取值
1 2 1 2
范围.
解 (1)连接PF .由△POF 为等边三角形可知在△F PF 中，∠F PF ＝90°，|PF |
1 2 1 2 1 2 2
＝c，|PF |＝c，于是2a＝|PF |＋|PF |＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
1 1 2
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
12.已知椭圆C的焦点为F (－1，0)，F (1，0)，过F 的直线与C交于A，B两点.若|
1 2 2
AF |＝2|F B|，|AB|＝|BF |，则C的方程为( )
2 2 1
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F A，令|F B|＝
1 2
m，则|AF |＝2m，|BF |＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，
2 1
故|F A|＝a＝|F A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.
2 1
不妨设A(0，－b)，由F (1，0)，AF2＝2F2B，得B.
2
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
13.(2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F ，F 分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的
1 2
左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF 的中垂线过点F ，则椭圆离心
1 2
率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设P，F (－c，0)，F (c，0)，
1 2
由线段PF 的中垂线过点F 得|PF |＝|F F |，即＝2c，
1 2 2 1 2
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0＜e＜1，故≤e＜1.
14.(2022·青岛调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴
一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径
求椭圆E的标准方程.解 (1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝
3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)
－1，A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x ＋x ＝，
⇒ 1 2
x x ＝.
1 2
又x ＋x ＝2，∴k＝，∴x x ＝，
1 2 1 2
则|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
