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24.1.1&24.1.2 圆及垂径定理
圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另
一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半
径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
注意：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
题型1：圆的概念
1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ）
A．圆的外部 B．圆的内部
C．圆 D．圆的内部和圆
【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10m长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
与圆有关的概念 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分
成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
1. 弦 优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.同心圆与等圆
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
2. 弧
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 圆或等圆的半径相等.
为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
4.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做
等弧.
题型2：与圆有关的概念
2.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)
①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ）
②弦是直径；（ ）
③长度相等的两段弧是等弧；（ ）
④直径是圆中最长的弦. （ ）
【变式2-1】下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【变式2-2】下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是
弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3：确定圆心和圆
3.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心；
【变式3-1】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对
称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是
圆的对称轴.
题型4：圆的对称性
4.已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．
【变式4-1】圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多
少？
【变式4-2】如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么 OP的长的取值范围是
.
垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
常见辅助线做法：
1）过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
题型5：垂径定理与计算5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
【变式5-1】如图， AB 是 ⊙O 的弦， C 为 AB 的中点， OC 的延长线与 ⊙O 交于点 D ，
若 CD=2 ， AB=12 ，求 ⊙O 的半径．
【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．
题型6：垂径定理与证明
6.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.
【变式6-1】已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．【变式6-2】如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证： A´C=B´D
题型7：垂径定理分类讨论问题
7.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如
果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式7-1】已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（ ）
A．6 B．2√21
C．6或2√21 D．以上说法都不对
【变式7-2】已知 O的直径CD＝100cm，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的
长为（ ）
⊙ ⊙
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
题型8：垂径定理翻折问题
8.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长
为 ．
【变式8-1】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长.【变式8-2】如图, AB 是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦 CD⊥AB 于点E, AB=10,BE=3 .
将阴影部分沿着弦 AC 翻折压平，翻折后，弧 AC 对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系
为 .
题型9：垂径定理的应用-拱桥问题
9.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此
圆弧形拱桥？并说明理由．
【变式9-1】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，
是否要采取紧急措施？
【变式9-2】中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部
分是AB，拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米.（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；
（2）求拱桥AB所在圆的半径.
题型10：垂径定理的应用-油管问题
10.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，
如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式10-1】在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
（1）若油面宽AB=16dm，求油的最大深度．
（2）在（1）的条件下，若油面宽变为CD=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？
【变式10-2】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
一、单选题1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为
（ ）
A． B．2 C．2 D．8
2．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 √3 ，则∠D等于（ ）
A．20∘ B．25∘ C．30∘ D．35∘
3．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若 ^AB 的度数为60°，则∠BDC的度
数是（ ）
A．60° B．30° C．35° D．45°
4．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面AB宽为
80cm，管道顶端最高点到水面的距离为20cm，则修理人员需准备的新管道的半径为（ ）
A．50cm B．50 √3 cm C．100cm D．80cm5．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则AE的长是：
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
6．如图，C、D是以AB为直径、O为圆心的半圆上的两点，OD∥BC，OD与AC交于点E，下列结论
中不一定成立的是（ ）
A．AD=DC B．∠ACB=90°
C．△AOD是等边三角形 D．BC=2EO
7．下面说法正确的是（ ）
A．圆上两点间的部分叫做弦
B．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
C．圆周角度数等于圆心角度数的一半
D．90度的角所对的弦是直径
二、填空题
8．经过点A且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是 ．
9．如图，在圆 O 中有折线 ABCO ， BC=6 ， CO=4 ， ∠B=∠C=60° ，则弦 AB 的长为
．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC+∠BOC=180°，BC=2 √3 cm，则
⊙O的半径为 cm.
三、解答题
11．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为 B´C 上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求
直径AB的长．
12．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有
油部分油面高CD。13．某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维
修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图）．
（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=12√3cm，水面最深地方的高度为6cm，请你
求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 A´D 所对的圆周角，∠ACD=30°。
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F。若AB=4，求DF的长。
15．如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的
直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．
