文档内容
压轴题 06 二次函数中四种角度问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、角相等问题....................................................................................................2
题型二、二倍角关系问题............................................................................................9
题型三、两角和与差问题..........................................................................................21
题型四、特殊角问题..................................................................................................34
压轴能力测评（11题）.............................................................................................43
1、角的数量关系处理的一般方法如下：
（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形
和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；
（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；
（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．
2.特殊角问题处理的一般方法如下：
（1）运用三角函数值；
（2）遇45°构造等腰直角三角形；
（3）遇30°，60°构造等边三角形；
（4）遇90°构造直角三角形．
一、角相等问题
对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特
殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
二、二倍角关系问题
对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：
等角的构造方法
（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；
（2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；；
（3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段
构建数量关系；
（4）利用角平分线的相关性质定理。
二倍角的构造方法如图，已知∠α，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造 2α ，在BC边上找一点D，使得BD=AD，
则∠ADC=2α
.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了
题型一：角相等问题
【例1】．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，连结 ， ．
(1)求点A和点C的坐标．
(2)若在第一象限的二次函数图象上存在点D，使 ，求点D的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）当 时， ，计算求解，进而可求A(−2,0)，当 时， ，则
C(0,−3)．
（2）如图，设 与x轴交于点E，则 ， ，待定系数法求直线 的函数表达
式为 ．令 ，计算求解，进而可求点 坐标．
【详解】（1）解：当 时， ，
解得， ， ，A(−2,0)， ；
当 时， ，
C(0,−3)．
（2）解：如图，设 与x轴交于点E，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
设直线 的函数表达式为 ．
将C(0,−3) 代入得， ，
解得， ，
直线 的函数表达式为 ．
令 ，
解得， ， ，
当 时， ，即 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与
角度综合等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次
函数与角度综合是解题的关键．
【变式1】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线 经过 ，B(4,0)两点，若D是
抛物线上的一点，满足 ，求点D的坐标．【答案】点D的坐标为 或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，勾股定理；利用函数值相等的点
关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键．分点P在 左侧与右侧两种情况，即可得D点坐标．
【详解】解：如图，
当点D在 左侧时，
由 ，得 ，
D与P关于y轴对称， ，
得 ；
当点D在 右侧时，延长 交x轴于点G．
作 于点H，则 ， ．
，
．设 ，则 ， ．
在 中，由 ，得 ．
∴点 ．
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 得 或 ．
，
．
∴点D的坐标为 或 ．
【变式2】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线 经过点 ， ，与y
轴的交点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作 轴，
垂足为N．若 ，求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，
（1）运用待定系数法解题即可；
（2）先求出对称轴是直线 ，得到 ，再求出 ，进而得到直线 解析式为 ，
如图所示，当点P在x轴下方且在对称轴右侧时，由可得 ，则 ，进而得到直线
的解析式为 ，联立 解得 或 （舍去）则点P的坐
标为 ；由对称性可知，直线 与抛物线对称轴右侧的交点也满足题意，同理可
得点P的坐标为 ．
【详解】（1）解：把A(−2,0)，B(4,0)代入 得： ，解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
在 中，令 得 ，
，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
如图所示，当点P在x轴下方且在对称轴右侧时，
∵ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 解得 或 （舍去）
∴点P的坐标为 ；
由对称性可知，直线 与抛物线对称轴右侧的交点也满足题意，
联立 解得 或 （舍去），
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ．【变式3】．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，经过点 的抛物线与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在抛物线上， ，求点 的坐标；
(3)如果 是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点 与 分别在直线 两侧，点 在射
线 上．当四边形 面积最大时，求 的值．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)点 的坐标为 ，或
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）点 关于对称轴 的对称点 符合．取 关于 轴的对称点 ．射线 与抛
物线的交点 也符合．设 为 ．将 代入，得出射线 为 ．联立抛
物线解析式得出点 的坐标，即可求解；
（3）由（2）得， ，则 ，为定值．则 的最大值由 确定．作 轴于
，与直线 交于 ．设 ，则 ．表示出 根据二次函数的性质得
出当 时，得出最大值，进而将 代入 ，即可求解．【详解】（1）∵ 在 轴，
∴可设抛物线为 ．
将 代入，
得
解得
∴抛物线解析式为 ．
（2）∵ ，
∴抛物线对称轴为 ．
点 关于对称轴 的对称点 符合．
取 关于 轴的对称点 ．
射线 与抛物线的交点 也符合．
设 为 ．将 代入，
得
解得 ．
∴射线 为 ．
由 ，
得 ．解得 ，或 ．
当 时， ．
综上，点 的坐标为 ，或 ．
（3）∵（2）中确定的点 与 分别在直线CD的两侧，∴点 的坐标为 ，
∵ ，
，即 ，为定值．
∴ 的最大值由 确定．
由（2）可知，射线 为 ，
∵
∴直线 为 ．
∵抛物线对称轴为x=2，与 轴的一个交点 ，
∴另一个交点 ．
作 轴于 ，与直线 交于 ．
设 ，则 ．
则 ．
∴
．
当 时， 取最大值．
将 代入 ，得 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
题型二：二倍角关系问题【例2】．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，
P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______；
(2)连接 ，若 ，求点P的坐标；
(3)连接 ，是否存在点P，使得 ，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ， ，
(2)点P的坐标为
(3)点P的坐标为
【分析】（1）令 ，则 ，令 ，则 ，所以 或 ，由此可得结论；
（2）连接 ，设 ，则 ，列出方程求出m的值，进而
可以解决问题；
（3）在 的延长线上截取 ，连接 ，过点B作 轴，交 于点E，连接 ，求出直线
的解析式为： ，直线 的解析式为： ，联立方程组即可解决问题．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
令 ，则 ，
解得： 或 ，
∴ ．
故答案为： ；（2）解：如图，连接 ，
设 ，
P是第一象限内抛物线上的一点，
，
则 ，
，
，
，
，
，即 ，
解得： 或 （舍去），
当 时， ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：存在点P使得 ，理由如下：
如图2，在 的延长线上截取 ，连接 ，过点B作 轴，交 于点E，连接 ，在 中，
，
，
，
，
轴，
，
，
．
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，则 ，
，
，
设直线 的解析式为： ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
联立： ，
解得： （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数，面积问题，角度的存在性等相关内容，解
本题（3）的关键是正确画出辅助线，确定点P的坐标．
【变式1】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于
，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 是抛物线上一动点，且位于直线 的上方，过点 作 的垂线交 于点 ，求 长度的最大
值；
(3)在直线 上是否存在点G，使得 ？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为 ；
(2) 的最大值为 ；
(3)点 的坐标为： 或 ．【分析】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰
三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）根据顶点坐标为 ，设二次函数的顶点式为 ，由题意，将 代入解析式得，
，即可求解；
（2）作 轴交 于点 ， 是等腰直角三角形，当 最大时， 最大，求得 关于m
的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
（3）当 ，则 ，即 ，进而求解．
【详解】（1）解： 顶点坐标为 ，
设二次函数的顶点式为 ，
抛物线与 轴交于 ，
，
解得， ．
二次函数的解析式为 ；
（2）解：令 ，
．
或3．
抛物线与 轴的交点 ， ．
由 ， 得，直线 为 ．
作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
∵直线 与 轴夹角 ，
∴ 是等腰直角三角形，当 最大时， 最大．
，
∵ ，∴ 有最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值为 ；
（3）解：存在，理由：
如图，当 ，
则 ，
即 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 的坐标为： ，
当 时，
即 ，
解得： ，
则点 ；
当点 在点 的上方时，
则 ，设点 ，
则 ，
解得： （舍去）或 ，
则点 ，
综上，点 的坐标为： 或 ．
【变式2】．（22-23九年级下·湖北恩施·期中）已知抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交
于点 和点 ，与 轴交于点 ，点 为第二象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 交 于点 ，当 时，请求出点 的坐标；
(3)如图2，点 的坐标为 ，点 为 轴负半轴上的一点， ，连接 ，若
，请求出点 的坐标；
(4)M是平面内一点，将 绕点 逆时针旋转 后，得到 ，若 的两个顶点恰好落在
抛物线上，请求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得 的坐标，进而得出 ，根据 得出则点 到
轴的距离为 ，即可得出点 的坐标；
（3）设直线 交 轴于点 ，求得直线 的表达式为 ，联立 并解得
(舍去正值)，即可求解．
（4）依题意， 轴， 轴．当点 在抛物线上时，设点 的横坐标为 ，则点 的横坐
标为 ．得出点 ，当点 ， 在抛物线上时，同理可得 ．
【详解】（1）解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴解得： ，
∴ ；
（2）令 ，得 ．
解得： ．
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
过点 作 轴于点 ，
∴点 到 轴的距离为 ，
∵ ，则 ，
∴点 ；
（3）设直线 交 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
则直线 的表达式为联立
解得 (舍去正值)．
故点
（4）∵ 绕点 逆时针旋转 ，
∴ 轴， 轴．
如图1，当点 在抛物线上时，
设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 ．
∴
解得 ，则点
如图2，当点 ， 在抛物线上时，
设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标比点 的纵坐标大 ，
∴
解得 ．
则点
∴点 的坐标为 或
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角度问
题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式3】．（23-24九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与轴交于点 ，二次函数 的图象经过B，C两点，且与 轴的负半轴交于点 ，动点
在二次函数图象上，过点 作 平行于 轴，交直线BC于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标；
(3)根据图象，直接写出不等式 的解集________．若 的横坐标在此范围内时，且
，直接写出点 的坐标为_______．
【答案】(1)二次函数的表达式为
(2) 或 或
(3) ；
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设 ，则 ，根据平行四边形的性质得出 ，然后列出方程
求解即可；
（3）结合函数图象即可确定不等式的解集；作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，过点 作
交抛物线与点 ，利用轴对称的性质得出 ，再由待定系数法确定直线 的解析式为
，联立求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∴令 时， ；令 时， ；
∴ ， ，
∵二次函数 的图像经过 两点，且与 轴的负半轴交于点 ，∴ ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）由（1）得 ，
∴ ，
∵ 轴即 ，
∵以M、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴点M的坐标为： 或 或 ；
（3）由图象得一次函数 与 的交点为点 ， ，
∴当一次函数位于二次函数上方时，即 ，
此时 ，
如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，过点 作 交抛物线与点 ，
∴ ， ，
∴ ，则点 为所求点，∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，且 ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴设 所在直线的解析为 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 与抛物线 交于点 ，
∴联立方程组得 ，解得， 或 ，
∵动点 在直线 下方的二次函数图像上，即点 的横坐标 的范围为： ，
∴ 不符合题意，舍去，
∴当 时，点 的坐标为 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性
质，平行四边形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点问题及轴对称的性质等，理解题意，作出相应
辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
题型三：两角和与差问题
【例3】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ，过点
作 轴的平行线 交直线 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2) 面积的最大值是： ，此时点 的坐标为：
(3)点 的坐标是： 或
【分析】（1）用待定系数法，将点 ，点 坐标代入 ，即可求解，
（2）首先确定 的形状，再由 ， ，确定 的形状，由三角形面积公式可得，
当 最大时， 面积的取最大值，设点 坐标为： ，则点 坐标为： ，可
得出 关于 的表达式，根据一元二次方程极值，求出 的最大值后，即可求解，
（3）分点 在 上方和下方两种情况进行讨论，分别找到 的等角，与 拼接成 角，求出
对应的点 位置，即可求解．
【详解】（1）将点 ，点 代入 可得：
，解得： ，
故抛物线的解析式为： ，
（2）由 ，当 时， ，
点 坐标为：(0,3)，
设直线 的解析式为
把 两点代入得： ，解得直线 解析式为： ，
，
， ，
， ， ，
，
设点 坐标为： ，则点 坐标为： ，
，
当 时， 取最大值 ，此时点 坐标为： ，
，
故 面积的最大值是 及此时点 的坐标为： ，
（3）当点 在 上方时，作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 交抛物线于点 ，
与 关于 轴对称，
，
又 ，
，
，
，
点 ，点 ，
同理可求直线 解析式为： ，
设直线 解析式为： ，将 代入，解得： ，
直线 解析式为： ，
联立抛物线与直线 解析式：解得： 或 ，
，
当点 在 下方时，
作点D(0,1)，直线 与抛物线交于点 ，
点D(0,1)，点 ，
1
直线 解析式为：y=− x+1，
3
， ， ，
，
，
，
联立抛物线与直线 解析式：
解得： 或 ，
故答案为：点 的坐标是(2,3)或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键
是：
（1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，
（2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值，
（3）通过平移、对称等方法，找到符合已知条件的点 的位置．
【变式1】．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线 与 轴交于 两点，与 轴
交于点 ，抛物线的对称轴是直线 ，已知点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2) 是线段 上的一个动点，过点 作 轴，延长 交抛物线于点 ，求线段 的最大值及此
时点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)最大值为2， 的坐标为 ；
(3)存在， 或 ．
【分析】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是得出二次函数，又
利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用了三角形的面积得出关于n的方程，以防遗漏；
（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解；
（2）根据对称轴得出点 坐标，由点 、 的坐标得直线 的解析式为 ，设点
，则点 ，进而求解；
（3）根据三角形的面积，可得关于 的方程，根据解方程，可得答案；
【详解】（1） 点 的坐标为
．
抛物线过点 ，对称轴是直线 ，
，
解得 ，抛物线的解析式为 ．
（2） 抛物线对称轴为直线 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
设点 ，
则点 ，
．
，
当 时，线段 的值最大，最大值为2，此时点 的坐标为 ；
（3）存在．
设点 ，
如图，过点 作 于点 ，连接 ．
，，
．
，
．
由 的面积，得 ，
即 化简，得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
．
设点 与点 关于原点 对称，则 ，
．
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【变式2】．（21-22九年级上·重庆·期末）如图1，在平而直角坐标系中，抛物线 （ 、 、
为常数， ）的图像与 轴交于点 、 两点，与 轴交于点 ，且抛物线的对称轴为直线
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线 上方的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，交直线 于点 ；是否
存在点 ，使得 取得最大值，若存在请求出它的最大值及点 的坐标；若不存在，请说明
理由；(3)如图2，若点 是抛物线上另一动点，且满足 ，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ；
(3)P的坐标为： 或 ．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）过点 作 于点 ，求得 ，直线 的解析式为 ，设
，点 在直线 上，则 ，进而求得 ，根据二次函数的性质求
得最值以及 的值，进而求得 的坐标；
（3）取点 ，连接 ，则 ，进而证明 ，根据 的解析式求得 的解析式，进
而联立抛物线解析式即可求得点 的坐标，当 时，记 与 轴的交点为 ，
也满足条件，证明 ，可得 ，求解 为 ，进而联立抛物线解析式即可求得
点 的坐标，．
【详解】（1）解： 抛物线的对称轴为直线 ，与 轴交于点 、 两点，与 轴交于点 ，
设抛物线的解析式为 ，将点 代入得
解得
抛物线的解析式为
即
（2）解：如图，过点 作 于点 ，设直线 的解析式为 ，将点 ，
代入得：
解得
直线 的解析式为
，
是等腰直角三角形
轴，
轴
在 中，
在直线 上方的抛物线上有一动点 ，设
点 在直线 上，则
，
即当 时， 的最大值为：
此时
即
（3）如图，取点 ，连接 ，则 ，又
设直线 的解析式为
则
解得
直线 的解析式为
设直线 的解析式为 ，过点
解得
直线 的解析式为
是抛物线上的一点，则 为直线 与抛物线的交点，则
解得 ，
当 时，记 与 轴的交点为 ， 也满足条件，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴ 为 ，
∴ ，解得： 或 ，
∴ ，
综上：P的坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，一次函数的平移问题，二次函数最值问题，掌握二次函数的图象的性
质与清晰的分类讨论是解题的关键．
【变式3】．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知抛物线经过点 ，它的对称轴为直线 ，且函
数有最小值为 ．P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧）与y轴的交点为C，P是抛物线上第四象限内的一个动点，
连接 ， ，当 面积为 面积的三分之一时，求出此时点P的坐标；
(3)连接 ，是否存在点P，使得 ，若存在，直接写出m的值，若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， 或
【分析】（1）设抛物线的顶点式，运用待定系数法求解即得；
（2）过点P作 轴，交 于点D，先计算 ，再用含m的代数式表示 的长，进而列出方
程求解，即得点P的坐标；
（3）分两种情况求解，当 在 的内部时， 为 的平分线，设 交x轴于点E，过点E
作 于点H，设 ，求出 的长，并列方程即可求得点E的坐标，进而得到直线 的解析式，
从而求得m的值；当 在 的外部时，过点B作 轴，交 的延长线于点F，证明
，即可得到点F的坐标，进而求得 的解析式，从而求得m的值．
【详解】（1）由题意知抛物线的顶点为 ，
设 ，
将 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）过点P作 轴，交 于点D，
令 ，得 ， ，令 ，得 ，
解得 ， ，
， ，
，
，
P点的横坐标为m，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
，
，
解得 ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
点P的坐标为 或 ；（3）存在， 或 ．
理由如下：
， ，
，
，
，
所以 存在两种情况：
①当 在 的内部时， 为 的平分线，
设 交x轴于点E，过点E作 于点H，
设 ，则 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
解方程组 得 ，或 （舍去），
；
②当 在 的外部时，过点B作 轴，交 的延长线于点F，
， ， ，
，
，
，
求得直线 的解析式为 ，解方程组 得 ，
，
或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的面积问题，二次函数的角
度问题等知识，综合运用这些知识是解答本题的关键．
题型四：特殊角问题
【例4】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，
．
(1)求a的值；
(2)点 与点 是抛物线上两个不重合的点，求 的值；
(3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】该题主要考查了二次函数综合问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质，利用数形结合思想解答；
（1）根据题意得出 再由 且 即可求解；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 ,将 和 代入解析式，将两式相加和相减即可
求得；
（3）设点P坐标为 ，根据题意可确定当 为 与对称轴交点时，可使得 根据 ，即可求解；
【详解】（1）令
则 ，
解得： ，
令 ，解得：
点A在点B的左侧,
∴ ，
∵
且
；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 ,
将 和 代入解析式得：
，
两式相减可得： ，两式相加可得： ，
即 ，或 ，
将 代入 可得： ，
；
（3）由（1）得： 抛物线对称轴为 设点P坐标为 ，
∴ ，
则直线 方程： ,
设 点坐标 ，
， ，
可得，当 为 与对称轴交点时，可使得
，
点 的坐标为 ．【变式1】．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：
如图1，在 中， ， ，直线l经过点C， ， ，垂足分别为点D和
点E，求证： ，请你写出证明过程；
（2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直
线 的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，反
比例函数 的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
（3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数
的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线
的图象上存在一点P，连接 ，当 时，请你和创新小组的同学一起求出点P的
坐标．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与
反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合，
（1）直接根据角角边证明三角形全等即可；
（2）先求出A，C坐标，再得出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点C作 ，且 ，过点B作 轴，垂足为点E，连接 交抛物线于点P，求出
直线 的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴∵ ， ，
∴
（2）∵ ，
∴当 时， ，当 时， ， ，
∴A(0,3)， ，
由（1）可知： ，
∴ ， ，
∴ ，点B的坐标为
把 代入 得： ，解得 ，
∴反比例函数的解析式为：
（3）过点C作 ，且 ，过点B作 轴，垂足为点E，连接 交抛物线于点P，
∴ ，
由（2）可知A(0,3)， ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴ ，∴ ，
∴
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去）
当 时， ，
∴【变式2】．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴交于点 ， 两点，与 轴交于点 ， 是该抛物线的顶点．
(1)求 的值．
(2)判断 的形状，并说明理由．
(3)在抛物线对称轴上是否存在点 ，使 ？若存在，请求出符合条件的点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
(4)在（3）的条件下，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形
(3)存在，
(4)点 的坐标为 ， ，
【分析】（1）把 代入 即可求解；
（2）先根据条件求出 ， ， ，进而求出 ，利用勾股定理逆定理即可验证；
（3）设 ，求出 ，利用勾股定理逆定理即可求解；
（4）分情况讨论：当 为对角线时，当 为对角线时，当 为对角线时，根据平行四边形的性质求
解即可．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
解得： ；
（2）解：由（1）得：抛物线解析式为： ，∴ ， ，
∴ ，
令 ，即 ，解得： ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：存在；
由（2）得： ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
∵ ，
若 ，则 ，即 ，解得： ，
∴ ，
∴在抛物线对称轴上存在点 ，使 ；
（4）解：存在；
由题意得： ， ， ，
设 ，
当 为对角线时，则 ， ，即 ， ，解得： ，
，
∴ ；
当 为对角线时，则 ， ，即 ， ，解得：
，
∴ ；
当 为对角线时，则 ， ，即 ， ，解得：，
∴ ；
综上：点 的坐标为 ， ， ；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，勾
股定理以及其逆定理，灵活运用所学知识是关键．
【变式3】．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线 （ ）与 轴相交于
点 ，与 轴分别交于点 和点A，且 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交 轴于点 ，在 轴上是否存在一个点 ，使 的值最小，若存在，请求
出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点 坐标为 或
(3)存在，
【分析】（1）根据点 的坐标， 可求出点A的坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点 作 交 轴于点 ，交抛物线于点 ，作 关于 轴的对称点 ，作
交抛物线于 ，根据题意分别计算出直线 的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程
组求解即可；
（3）如图所示，过点 作 于 ，过点 作 于 ，交 轴于点 ，根据点 的坐标
可得 是等腰直角三角形，由此可得 是等腰直角三角形，可得 ，当 运
动到 ， 和 重合时， 的值最小，最小值是 ，根据抛物线的特点可得点 的坐标，
由此可求出 的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 ， ， 代入 得，
，解得， ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：存在一点 ，使得 ，理由如下：
如图所示，过点 作 交 轴于点 ，交抛物线于点 ，作 关于 轴的对称点 ，作 交
抛物线于 ，
∵ ，
∴ ，即点 是满足题意的点，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为： ，
设直线 的解析式为： ，将 代入得： ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ， ，
直线 与抛物线联立方程组得 ，解得， （与 重合，舍去）或 ，
∴ ，
∵ 关于 轴对称，
∴直线 的解析式为： ，
∴ ， ，
∴ 是满足题意的点，
设直线 的解析式为： ，将 代入得： ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
直线 与抛物线联立方程组得 ，
解得， （与 重合，舍去）或 ，
∴ ，
综上所述，点 坐标为 或 ．
（3）解：在 轴上存在一个点 ，使 的值最小，理由如下：
如图所示，过点 作 于 ，过点 作 于 ，交 轴于点 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，
∵ ， ，则 ，
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 最小即是 最小，
∴当 运动到 ， 和 重合时， 的值最小，最小值是 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换
特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关
键．
1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线 ，点A的坐标为 ．(1)该抛物线的表达式为 ；
(2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接 ．当 时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段 绕点Q顺时针旋转 ，使点 恰好落在抛
物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）由对称轴为直线 ，点 的坐标为 ，得出 ，通过交点式得出函数关系式；
（2）设抛物线对称轴交x轴于点F，交 于点D，连接 并延长交 于 ，则可得 ，
，且得点D的坐标，证明 ，得D为 中点，由中点公式求出 的坐标，由待定系
数法求出直线 的关系式，与抛物线联立即可求出交点P的坐标；
（3）分 在 上方和下方两种情况，当 在 上方时，构造出 ，得 代入抛
物线即可，当 在 上方时，得出 ．
【详解】（1）解： 对称轴为直线 ，点 的坐标为 ，
，
；
（2）解：设抛物线对称轴交x轴于点F，交 于点D，连接 并延长交 于 ，如图，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
， ，
∴ ；在 中，令 ，得 ，
∴ ，
，
，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
由中点坐标公式得： ，
设直线 的关系式为： ，
把C、E两点坐标分别代入得： ，解得： ，
直线 的关系式为： ，
联立二次函数与一次函数解析式并消去y得： ，解得： （舍 ， ，
当 时， ，
；
（3）解：存在；
点 旋转后的对应点为 ，作 对称轴于 ， 对称轴于 ，
当 在 上方时，
则 ，设 ，
将线段 绕点 顺时针旋转 得线段 ，
∴ ，则 ，
又 ，
∴ ，
又 ， ，
，
， ， ，
，
恰好落在抛物线上，
，
解得 ， （舍），
∴点Q的纵坐标为 ；，
当 在 上方时，作 对称轴于 ，
可知： 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
，
综上： 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，旋转的性质，等腰直角三角形的性质
以及运算能力等知识，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长
度，从而求出线段之间的关系．
2．（23-24九年级上·福建福州·期中）抛物线 与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点
C，抛物线的对称轴为直线 ，点D在抛物线上．
备用图
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图，点D在 上方的抛物线上，当 的面积最大时，求点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得 ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；
（2）连接 ，过点D作 于点E，设 ，即可求得点C的坐标，即可求得 、
，再根据 确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可；
（3）分两种情况进行分析：当D在 上方时，当D在 下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线
的性质及二次函数的性质求解即可
【详解】（1）解：∵ ，抛物线的对称轴为直线 ，
，
解得： ，
所以，抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图：连接 ，过点D作 于点E，
，令 ，
解得 ，
∴ ，
设 ，
，
∵点D是 上方抛物线上的一个动点，
，，
令 ，则 ，
，
．
，
．
，
设
，
∴ ，
∴当 时，面积取得最大值，
此时 ，
的坐标为 ；
（3）解：存在点 ，使得 ，理由如下：
当D在 上方时，如图：
∵ ，
∴ ，
令 中， ，
即 ，
解得：x=0或 ，
∴ ；
当D在 下方时，设CD交x轴于K，如图：∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得：
，解得 ，
∴ ，
联立 ，
解得： 或 ，
∴
∴点D的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，
不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键．3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于 ，
两点，交y轴于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)如图2，平面上一点 ，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接 、 ，分别交y
轴于M、N两点，则 与 的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是定值，为2，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过 作 交 于点 ，作 轴于点 ，证明 ，可得 ，用待定系数法
求出直线 的解析式，与抛物线联立解交点即可得出 的坐标；
（3）设直线 的解析式为 ， ， ，由直线 过点 ，可得其解析式为
，与抛物线联立得到 ， ，作 轴于点 ，作 轴于点 ，
证明 ，可得 ， ，代入计算 ，即可得出 是一个定
值．
【详解】（1）∵抛物线 交x轴于 ， 两点，
∴
解得∴ ；
（2）∵
当 时， ，
∴点 ，
过 作 交 于点 ，作 轴于点 ，
，
，即 ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 （舍去），或 ，
；
（3）是定值，为2，理由：
过点 作一直线交抛物线于 、 两点，
设直线 的解析式为 ， ， ，，得 ，
直线 的解析式为 ①，
∵抛物线 ②，
∴联立①②得： ，
， ，
如图，作 轴于点 ，作 轴于点 ，
则 ，
，即 ，
，
同理， ，
，为定值．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形
的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段 ，
的长．
4．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，二次函数 的图象经过点 ， ，且
与y轴交于点C，直线 与x轴、y轴交于点D、E，与二次函数图象交于点F，G．(1)求该二次函数的解析式.
(2)点M为该二次函数图象上一动点．
①若点M在图象上的C，F两点之间，求 的面积的最大值.
②若 ，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②点M的坐标为： 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由 的面积 ，即可求解；
②当点 在 上方时，若 ，则点 轴，即可求解；当点 在 下方时，
若 ，则 ，即可求解．
【详解】（1）将点 ， 代入 中，得
解得 ，
∴该二次函数的解析式是 ；
（2）①如图1，过M作 轴， 轴，垂足为H、K，连OM，∵ ，当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴
∴ ，
设
∴
∵ ，开口向下，当 时， 有最大值
②当点M在第三象限时，设ME交x轴于点N，如图2，∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线EN解析式为 ，把 代入得 ，
解得
∴
则
解得 （舍）
∴
∴
当点M在第二象限时，如图3，
∵ ，
∴ 轴，
当 时，
解得 （舍）∴
综上所述，点M的坐标为： 或
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象性质、解直角三角形、面积的计算等，分类求解
是本题解题的关键．
5．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知抛物线 顶点C的纵坐标是4，与x轴交于
A、O两点，经过点A的直线 经过 ，D为直线 上一动点．
(1) ______； ______；
(2)连接 ，当线段 与直线 夹角为 时，求点D的坐标．
(3)如图2，连接 ，线段 上是否存在点E，连接 ，当 时，线段 被x轴截得线
段比为 两部分，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点D的坐标为 或
(3)存在，点E的坐标为 或
【分析】（1）将抛物线解析式改写成顶点式，根据顶点纵坐标可求得 ，再求出 ，利用待定
系数法即可求出k的值；
（2）当 时，证明 ，可得点 在 的垂直平分线上，然后可求点 的坐标；
当 时，证明 ，设 ，根据两点间距离公式列式求出t的值即可
得出答案；
（3）求出直线 的解析式为 ，设 ，其中 ，抛物线对称轴交直线 于G，交
x轴于点J，在x轴负半轴上取点 ，使 ，连接 ， ，过点E作 ，交 于
D，交x轴于K，求出 可得 ，根据 ，利用勾股定理建立方程求出，运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，进而可求得直线 的解析式，联立
两直线解析式求出 ，由线段 被x轴截得线段比为 两部分，得出
或 ，求出m即可解决问题．
【详解】（1）解：∵ ，顶点的纵坐标是4，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，即 ，
解得： ， ，
∴ ，
把 ， 代入 得： ，
解得： ，
故答案为： ， ；
（2）∵线段 与直线的 夹角为 ，
∴ 或 ，
当 时，如图1，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点 在 的垂直平分线上，
∵ ，
∴点 横坐标为 ， ，
∴ ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
综上所述，点D的坐标为 或 ；
（3）存在；
由（1）得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点E是线段 上一点，∴设 ，其中 ，
如图2，设抛物线对称轴交直线 于G，交x轴于点J，在x轴负半轴上取点 ，使 ，连接
， ，过点E作 ，交 于D，交x轴于K，
∵ ，J是 中点，
∴G是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 ， 得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ， ，且 ，
∴设直线 的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立方程组得 ，
解得： ，
∴ ，
∵线段 被x轴截得线段比为 两部分，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴点E的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法的应用，一次函数和二次函数的图象与性质，直角三
角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识，
运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．
6．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，抛物线 经过点 ，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点D作 轴，垂足为M，点P在直线 下方抛物线上运动，过点P作 ，
，求 的最大值，以及此时点P的坐标．
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得 ，请
写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
【答案】(1)
(2) 最大值为 ，
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线 解析式为 ，证明 ，得到 ，再证明 是等腰直角三
角形，得到 ，则 ，设 ，则
， ，求出 ， ，则
，利用二次函数的性质即可求出答案；
（3）求出 ，得到 ，进而推出将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，相当于把
原抛物线向上平移 个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后的抛物线解析式为
；如图所示，取点 ，连接 ，证明 是等腰直角三角形，且，得到 ，则 与抛物线 的交点即为点G，同理可得直线
的解析式为 ，联立 得 ，解得 或
（舍去），则点G的坐标为 ；同理当取点 时，可证明
是等腰直角三角形，且 ，则 ，同理可求出点G的坐标为 ．
【详解】（1）解：把 ， 代入 中得：
，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：设直线 解析式为 ，设 交于H，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴
∴
（3）解：∵抛物线 交y轴于点C．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，相当于把原抛物线向上平移 个单位长度，再向左平移
1个单位长度，∵原抛物线解析式为 ，
∴平移后的抛物线解析式为 ；
如图所示，取点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ 与抛物线 的交点即为点G，
同理可得直线 的解析式为 ，
联立 得 ，
解得 或 （舍去），
∴点G的坐标为 ；
同理当取点 时，可证明 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ 与抛物线 的交点即为点G的位置，
同理可得直线 的解析式为 ，
连接 得 ，
解得 或 （舍去），
∴点G的坐标为 ；综上所述，点G的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，
勾股定理得逆定理等等，通过构造等腰直角三角形得到45度的角是解题的关键．
7．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，抛物线 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点
C，直线 经过点B，点C．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 下方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且 ，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理等相关知识，利用勾股定理求出点H
的坐标是本题的关键．
（1）先求出点B和点C的坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P作 交 于点E，先求出点A坐标，设点 ，则点 ，利
用面积和差关系可求解；
（3）分两种情况讨论，先求出直线 或 的解析式，联立方程组可求解．
【详解】（1）解：直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，
当 时， ，当 时， ，
∴B(4,0)， ，
将B(4,0)， 代入 ，
可得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）如图1，过点P作 交 于点E，
∵抛物线 与x轴的交点为A、B，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 ，
设点 ，则点 ，∴ ，
∵ 的面积 ，
∴当 时， 的面积有最大值，
当 ， ，
此时点 ；
（3）如图2，当点M在 上方时，设 交 于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∵点 ，点 ，
∴直线 解析式为： ，
联立方程组可得 ，解得： 或 ，
∴点 ，
当点 在 下方时，
∵ ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为−2，
∴点 的坐标为 ；
综上所述：点M的坐标为 或 ．
8．（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，抛物线与x轴相交于原点和点 ，在第一象限内与直
线 交于点B ，抛物线的顶点为C点．
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)点 在抛物线上，连接 ，求 的面积；
(3)抛物线上是否存在点D，使得 ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)点 的坐标为 或 ；
【分析】（1）运用待定系数法可求得抛物线的解析式为 ；（2）如图，过 作 轴交 于 ，求解 的坐标与 的解析式， 的坐标，再利用三角形的面
积公式计算即可；
（3）存在点D，使得 ．分两种情况：当点D在直线 的上方时，当点D在直线 的下
方时，分别运用待定系数法求出直线 的解析式，再联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 分别代入 ，得：
，
解得： ，
该抛物线的解析式为
∴顶点坐标为： ．
（2）当 时， ，
∴ ，
如图，过 作 轴交 于 ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
∴ ，
∴ ；
（3）存在点 ，使得
∵抛物线的顶点为 ，
如图，当点 在直线 的上方时，，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
联立，得： ，
解得： （舍去）， ，
；
当点 在直线 的下方时，
如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 交抛物线于点 ，
则 ， ，
点 是 的中点，即 ，
是线段 的垂直平分线，
，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，联立，得 ，
解得： ，
，
设直线 的解析式为 则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，与 联立，得 ，
解得： （舍去）， ，
；
综上所述，存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ；
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和
全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
，点 是抛物线的顶点，连接 ．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点 的坐标；
(2)设直线 与抛物线相交于 、 两点（点 在点 的左侧且点 在第四象限），当直线
与直线 相交所成的一个角为 时，求点 的坐标；
(3)如图2，作直线 ， 分别交 轴正、负半轴于点 、 ，交抛物线于点 、 ，设点 、 的纵
坐标分别为 、 ，且 ，求证：直线 经过一个定点．【答案】(1) ，顶点
(2) 点坐标为
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；
（2）先求得直线 过定点 ，再构造一线三等角，证明 ，求得 ，再求
得 ，根据平行线的性质求得 ，联立即可求解；
（3）设 ： ， ： ，表示出M、N的坐标，由 ，得到
，联立，根据根与系数的关系，求得 ， ，设 ： ，联立，
根据根与系数的关系，求得 ， ，据此求得 ，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ 经过点 ，
∴ ，
，
，
∴抛物线解析式： ，
对称轴 ，
时 ，
∴顶点 ，
综上所述，抛物线解析式 ，顶点 ；
（2）解：∵ ，
∴当 ，即 时， ，
∴ 过定点 ，
过 作 ， ，连 ，
过 作 交抛物线于 ， ，
过 作 轴，过 作 于 ，过 作 于 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
∴ ，
联立 ，解得 ， ，
又 ，
∴ ， ，
∴ 点坐标为 ；
（3）解：设 ： ， ： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，联立： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
设 ： ，
联立： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴定点 ．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根
与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
10．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于
、 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，点 的坐标为 ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点（不与点 重合），连接 ．当 时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点 ，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段
，使点 恰好落在抛物线上？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由对称轴和点A的坐标，可得到点B的坐标，进而得到函数关系式；
（2）作 于D，可知D在对称轴上，求出点E的坐标，得出直线 的关系式与抛物线求交点即
可；
（3）分P在Q上方和下方两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作 于D，交 于E，对称轴交x轴于一点F，连接 ， ，如图所示：
，
∵ ，对称轴为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点 在 的中垂线上，
∴点 在抛物线的对称轴上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中，
，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ ，
设直线 的关系式为 ，将点C、E的坐标代入，
得 ，解得 ，
∴直线 的关系式为： ，
联立 ，
∴ ，
解得： （舍），
∴ ；
（3）解：点P旋转后的对应点为 ，作 对称轴于一点D， 对称轴于一点E，
当P在Q上方时，如图所示：
，此时 ，设 ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，则 ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ ，
∵ 恰好落在抛物线上，
∴ ，
解得： （舍），
∴点Q的纵坐标为 ，
∴ ；
当Q在P上方时，作 对称轴于一点D，
则： 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∴ ，
综上可得：存在这样一点Q，点Q的坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，求出线段之间的关
系是解答本题的关键．
11．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，
两点，与y轴交于点 ，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接 ， ， ．
(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2) 的面积是否存在最大值？若存在，请求出 面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说
明理由；
(3)设直线 与直线 交于点 ，若存在 与 中一个是另一个的2倍，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ．顶点坐标为： ；
(2) 面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ， ；
(3)点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【分析】（1）把点 和点 的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即可
得其顶点坐标；
（2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；
（3）需要分两种情况，当 及 ，再根据题目中条件求解即可．
【详解】（1） 抛物线 过点 、 ，
，解得： ，
抛物线的表达式为： ．
，
即顶点坐标为： ；
（2）如图1，过点 作 轴，交 于点 ，， ，
直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则 的坐标为 ，
，
，
当 时， 面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ， ；
（3）设 ，
当 ，如图2，
，
，
，即点 在线段 的垂直平分线上，
抛物线的表达式为： ．令 ，则 ．
解得 或1，
， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ， ；
当 时，如图3，，
，
，
，
或 （舍去），
点 的坐标为 ， ；
当 时， ， ，
设 ，
，解得 或0（舍去），
，
，
或 （舍去），
点 的坐标为 ， ；
综上，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求表达式，铅垂法表达面积，分类讨论思想等内容，
第（3）问要注意，题干中给出条件不明确，需要分类讨论．
