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24.1.1&24.1.2 圆及垂径定理
圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成
的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆
O”．
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
注意：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
题型1：圆的概念
1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ）
A．圆的外部 B．圆的内部
C．圆 D．圆的内部和圆
【分析】根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．
【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；
圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．
所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．
故选：D．
【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10m长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
与圆有关的概念 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分
成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
1. 弦 优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.同心圆与等圆
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心
2. 弧
圆.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.
为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做
等弧.
题型2：与圆有关的概念
2.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)
①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ）
②弦是直径；（ ）
③长度相等的两段弧是等弧；（ ）
④直径是圆中最长的弦. （ ）
【答案】①√ ②× ③× ④√.
【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都
是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；
④直径是圆中最长的弦，正确.
【总结】理解弦与直径的关系，等弧的定义.
【变式2-1】下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．
【变式2-2】下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是
弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
题型3：确定圆心和圆
3.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心；
【分析】根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
【解答】解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
【变式3-1】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心
的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
1
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
2
圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对
称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是
圆的对称轴.
题型4：圆的对称性
4.已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．
【答案与解析】证明：过O点作OM⊥AB于M，交大圆与E、F两点.如图，
则EF所在的直线是两圆的对称轴，
所以AM=BM，CM=DM，
故AC=BD.
【变式4-1】圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多
少？
【答案与解析】
如图所示,分两种情况:
（1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点，
由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，
210
6
所以圆O的半径为 2 .P A O B A P O B
图1 图2
（2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，
102
4
最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径 2 .
综上所述，所求圆的半径为6或4.
【变式4-2】如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么 OP的长的取值范围是
.
【答案】3≤OP≤5.
【解析】OP最长边应是半径长，为5；
根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．
∵直径为10，弦AB=8
∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，
52 42 3
由勾股定理得OP= ，∴OP最短为3.
∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.
【总结】关键是知道OP何时最长与最短.
垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
常见辅助线做法（考点）：
1）过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．题型5：垂径定理与计算
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
【答案】解：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
1
∴CE=DE= CD，OC=OA=OB=5，
2
∴OE=OB−EB=5−2=3，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=√OC2−OE2=√52−32=4，
∴CD=2CE=8．
【解析】【分析】连接OC，先利用勾股定理求出CE的长，再根据垂径定理可得CD=2CE=8。
【变式5-1】如图， AB 是 ⊙O 的弦， C 为 AB 的中点， OC 的延长线与 ⊙O 交于点 D ，
若 CD=2 ， AB=12 ，求 ⊙O 的半径．
【答案】解：连接AO，
∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AC=BC=6，
设⊙O的半径为R，∵CD=2，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即：R2=（R-2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
【解析】【分析】连接 AO，设⊙O的半径为 R，则 OA=R，OC=R-2，利用垂径定理的推论得出
OC⊥AB，AC=BC=6，利用勾股定理得出R2=（R-2）2+62，再解方程即可。
【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．
【答案】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝16cm，
1
∴CE＝ CD＝8cm．
2
在Rt△OCE中，OC＝10cm，CE＝8cm，
∴OE=√OC2−CE2=√102−82=6（cm），
∴AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．
【解析】【分析】先利用垂径定理求出CE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用线段的和差
可得AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．
题型6：垂径定理与证明
6.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.
【答案】证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD.
【解析】【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理可得AH＝BH，根据等腰三角形的性质可得CH＝
DH，然后根据线段的和差关系进行证明.
【变式6-1】已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
【答案】解：证明：过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，
∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中
{AO=AO
OD=OE
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）
∴AD=AE，
∴AB=AC.
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，利用垂径定理可证得
AB=2AD，AC=2AE，利用角平分线的性质可证得OD=OE，利用HL可证得Rt△ADO≌Rt△AEO，可
推出AE=AD，由此可证得结论.
【变式6-2】如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证： A´C=B´D【答案】证明：作半径OE⊥AB交圆于E点.
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴A´E=B´E ， C´E=D´E
∴A´E−C´E=B´E−D´E
即： A´C=B´D .
【解析】【分析】作半径OE⊥AB交圆于E点，则OE⊥CD，由垂径定理可得A´E=B´E ， C´E=D´E，
据此证明.
题型7：垂径定理分类讨论问题
7.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如
果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【解析】【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的
交点为 M、N
1 1
由题意知 OM⊥CD， CM=MD= CD=4cm， AN=BN= AB=3cm
2 2
在 Rt△BON中，由勾股定理得 ON=√OB2−BN2=4cm
在 Rt△DOM中，由勾股定理得 OM=√OD2−DM2=3cm
∴MN=ON−OM=1cm②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
1 1
由题意知 PN⊥AB， EP=PF= EF=4cm， AN=BN= AB=3cm
2 2
在 Rt△BON中，由勾股定理得 ON=√OB2−BN2=4cm
在 Rt△EPO中，由勾股定理得 OP=√OE2−EP2=3cm
∴NP=ON+OP=7cm
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当油面没超过圆心O，油面宽为8cm；②当油面超过圆心O，油面宽为
8cm；根据垂径定理及勾股定理分别解答即可.
【变式7-1】已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（ ）
A．6 B．2√21
C．6或2√21 D．以上说法都不对
【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．
【解答】解：如图，
①若CD＝8，
1
则CF= CD＝4，
2
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝3，
∵EF＝1，
∴OE＝2，
则AE=√21，
∴AB＝2AE＝2√21；
②若AB＝8，1
则AE= AB＝4，
2
∵OA＝OC＝5，
∴OE＝3，
∵EF＝1，
∴OF＝4，
则CF＝3，
∴CD＝2CF＝6；
综上，另一弦长为6或2√21，
故选：C．
【变式7-2】已知 O的直径CD＝100cm，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的
长为（ ）
⊙ ⊙
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
【分析】分两种情况，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出
OM的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵ O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
1 1
∴⊙ AM= AB= ×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
2 2
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM=√OA2−AM2=√502−482=14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC=√AM2+CM2=√642+482=80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝50﹣14＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC=√AM2+CM2=60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．题型8：垂径定理翻折问题
8.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长
为 ．
【答案】4 √3
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，
1
Rt△OAD中，OD=CD= OC=2，OA=4，
2
根据勾股定理，得：AD= √OA2−OD2 =2 √3 ，
由垂径定理得，AB=2AD=4 √3 ，
故答案 ：4 √3 ．
【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根
据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，即可求出AB的长度．
【变式8-1】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长.
【答案】解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA.1
根据题意得：OD＝ OA＝1cm，
2
再根据勾股定理得：AD＝ √0A2−0D2 ＝ √22−12 ＝ √3 cm，
由垂径定理得：AB＝2 √3 cm.
【解析】【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长.
【变式8-2】如图, AB 是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦 CD⊥AB 于点E, AB=10,BE=3 .
将阴影部分沿着弦 AC 翻折压平，翻折后，弧 AC 对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系
为 .
【答案】点在圆外
【解析】【解答】解：如图，连接OC，作OF⊥AC于F，交弧 AC 于G，
∵AB=10,BE=3 ，
∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,
∵CD⊥AB ,
∴CE2=OC2−OE2=52−22=21 ，
∴AC2=CE2+AE2=21+72=70 ，
∵OF⊥AC，
1
∴CF= AC,
21 15
∴OF2=OC2−CF2=52− ×70= ,
4 2
15 5 2
∵ >( ) ，
2 2
5
∴OF> ,
2
5
∴FG< ,
2
∴OF>FG ,
∴点O与弧G所在圆的位置关系是点在圆外.
故答案是：点在圆外.
【分析】连接OC，作OF⊥AC于F，交弧 AC 于G，判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位
置关系.
题型9：垂径定理的应用-拱桥问题
9.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此
圆弧形拱桥？并说明理由．
【答案】（1）解：设圆心为O，连接OC，OB，
∴OC⊥AB，
1
∴BD= AB=6，
2
设拱桥的半径r米，则OD=r-4，
在Rt△OBD中
OD2+BD2=OB2即（r-4）2+62=r2
解之：r=.6.5.
（2）解：此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥，理由如下，
如图，连接OE
∵船舱顶部为长方形，并高出水面3m，
∴DF=3，
∴CF=4-3=1，∴OF=OC-CF=6.5-1=5.5，
在Rt△EOF中
EF=√OE2−OF2=√6.52−5.52=2√3≈3.46，
∴NE=2EF=2×3.46=6.92＜7.8，
∴此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥.
【解析】【分析】（1）设圆心为O，连接OC，OB，利用垂径定理求出BD的长，设拱桥的半径r
米，可表示出OD的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）连接OE，利用已知船舱顶部为长方形，并高出水面3m，可得到DF的长，根据CF=CD=DF，
可求出CF的长，从而可求出OF的长，利用勾股定理可求出EF的长，根据NE=2EF，可求出NE的
长，再根据货船宽为7.8m，将NE与7.8比较大小，可作出判断.
【变式9-1】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，
是否要采取紧急措施？
【答案】（1）解：连接OA，
1
由题意得：AD = AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
2
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）解：连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）.
∴A′B′＝32（米）.
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施.1
【解析】【分析】（1）连接OA，由垂径定理得AD= AB=30（米），AD⊥AB，然后在Rt△ADO
2
中，由勾股定理求解即可；
（2）连接OA′，则OE＝OP-PE＝30米，由垂径定理得A'B'=2A'E，AE⊥A'B'在Rt△A′EO中，由勾股
定理可得A′E，从而得出A'B'的长然后与30进行比较即可判断.
【变式9-2】中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部
分是AB，拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米.
（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；
（2）求拱桥AB所在圆的半径.
【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求；
（2）解：如图，取 A´B 的中点D，连结OD交AB于点E，连结OA，则 OD⊥AB ，且
AE=EB=4 ，
由题意得， DE=3 ，
设圆的半径为r，
在 Rt△AEO 中， AE2+EO2=OA2 ，
即 42+(r−3) 2=r2 ，
25
解得 r= .
6
25
即拱桥AB所在圆的半径为
6【解析】【分析】（1）在弧AB上任意取异于点A,B的点C，根据垂径定理，该圆的圆心应即在线段
AC,又在线段BC的垂直平分线上，故利用尺规作出线段AC,BC的垂直平分线，两线的交点就是弧AB
所在圆的圆心；
（2） 如图，取 A´B 的中点D，连结OD交AB于点E，连结OA，根据垂径定理可知 OD⊥AB ，
且 AE=EB=4 ， 设圆的半径为r， 在 Rt△AEO 中 ，利用勾股定理建立方程，求解即可。
题型10：垂径定理的应用-油管问题
10.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，
如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【解析】【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的
交点为 M、N
1 1
由题意知 OM⊥CD， CM=MD= CD=4cm， AN=BN= AB=3cm
2 2
在 Rt△BON中，由勾股定理得 ON=√OB2−BN2=4cm
在 Rt△DOM中，由勾股定理得 OM=√OD2−DM2=3cm
∴MN=ON−OM=1cm
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
1 1
由题意知 PN⊥AB， EP=PF= EF=4cm， AN=BN= AB=3cm
2 2
在 Rt△BON中，由勾股定理得 ON=√OB2−BN2=4cm在 Rt△EPO中，由勾股定理得 OP=√OE2−EP2=3cm
∴NP=ON+OP=7cm
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当油面没超过圆心O，油面宽为8cm；②当油面超过圆心O，油面宽为
8cm；根据垂径定理及勾股定理分别解答即可.
【变式10-1】在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
（1）若油面宽AB=16dm，求油的最大深度．
（2）在（1）的条件下，若油面宽变为CD=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？
【答案】（1）解：作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，
1
∴AF= AB=8，
2
由勾股定理得，OF= √OA2−AF2 =15，
则GF=OG-OF=2dm；
（2）解：连接OC，
∵OE⊥CD，
1
∴CE= EF=15，
2
OE= √OC2−CE2 =8，
则EF=OG-OE-FG=7dm，
答：油的最大深度上升了7dm．
【解析】【分析】(1)作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理求出AF的长，根据
勾股定理求出OF，计算即可；(2)连接OC，根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出答案．
【变式10-2】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
1
【答案】（1）解： OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA， ∴AF=
2
AB=300 mm，由勾股定理得，OF= √OA2−AF2 =400 mm， 则GF=OG﹣OF=100mm
（2）解： 连接OC， ∵OE⊥CD， ∴CE=400 mm，OE= √OC2−CE2 =300 mm， 则EF=OG﹣OE
﹣FG=100 mm， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF=700 mm. 答：此时油面上升了100毫米或
700毫米．
【解析】【分析】（1） OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA， 根据垂径定理得出AF的长，由
勾股定理算出OF的长，最后根据 GF=OG﹣OF 即可算出答案；
（2） 连接OC， 根据垂径定理得出CE的长，根据勾股定理算出OE的长，由 EF=OG﹣OE﹣FG 算
出EF的长， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF 的长，综上所述即可得出答案。
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为
（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
1
∴OH= OP=1，
2
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= √OC2−OH2 = √15 ，
∴CD=2CH=2 √15 ．
故答案为：C．
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理得出HC=HD，在Rt△OPH中，根据含30°
1
的直角三角形的边之间的关系得出OH= OP=1，在Rt△OHC中，根据勾股定理算出CH的长，从
2
而得出答案。
2．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 √3 ，则∠D等于（ ）
A．20∘ B．25∘ C．30∘ D．35∘
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在 RtΔOCE 中， OC=2，CE=√3 ,则 ∠BOC=60° 则 ∠D =30度.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得出CE的长，利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值找出∠BOC的度数，
进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案。
3．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若 ^AB 的度数为60°，则∠BDC的度
数是（ ）
A．60° B．30° C．35° D．45°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC，
∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴^AB=^BC ，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
1
∴∠BDC= ∠BOC=30°，
2
故选：B．【分析】由垂径定理得出相等的弧，得出∠BOC=∠AOB=60°，再根据圆周角定理求解．
4．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面AB宽为
80cm，管道顶端最高点到水面的距离为20cm，则修理人员需准备的新管道的半径为（ ）
A．50cm B．50 √3 cm C．100cm D．80cm
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
过点O作 OC⊥AB 于点C，边接AO，
1 1
AC= AB= ×80=40
2 2
CO=AO−20 ，
在 Rt△AOC 中， AO2=AC2+OC2 ，
AO2=402+(AO−20) 2 ，
解，得AO=50
故答案为：A
【分析】连接OA作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理
就可以求出了．
5．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则AE的长是：
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3【答案】B
1
【解析】【解答】 AB 为 ⊙O 的直径， CD⊥AB ， ∴CE= CD=4, 在 Rt△OCE 中，
2
OE=√OC2−CE2
=√52−42=3.∴AE=OA−OE=5−3=2.
【分析】要求AE的长，已知圆的半径长，因此只需求出OE的长。根据垂径定理和勾股定理易求解。
6．如图，C、D是以AB为直径、O为圆心的半圆上的两点，OD∥BC，OD与AC交于点E，下列结论
中不一定成立的是（ ）
A．AD=DC B．∠ACB=90°
C．△AOD是等边三角形 D．BC=2EO
【答案】C
【解析】【解答】连接CD，
∵AB为直径，
∴∠ACB= 90° ，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB= 90° ，
∴DO⊥AC，
∴AD=CD，故A. B符合题意；
∵AO=DO，不一定等于AD，因此C不符合题意；
∵O为圆心，
∴AO:AB=1:2，
∵EO∥BC，∴△AEO∽△ACB，
∴EO:AB=AO:BC=1:2，
∴BC=2EO，故D符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得 ∠ACB=90° ，再根据平行可得 DO⊥AC ，根据垂径定理可得
AD=CD ，然后再证明 △AEO∽△ACB ，可得 EO:AB=AO:BC=1:2．
7．下面说法正确的是（ ）
A．圆上两点间的部分叫做弦
B．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
C．圆周角度数等于圆心角度数的一半
D．90度的角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】【解答】解：A、错误．圆上两点间的部分叫做弧．
B、正确．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
C、错误．同弧所对的圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半．
D、错误.90度的圆周角所对的弦是直径．
故选B．
【分析】根据弧、垂径定理、圆周角定理、90度圆周角的性质一一判断即可．
二、填空题
8．经过点A且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是 ．
【答案】以A为圆心，1厘米为半径的圆
【解析】【解答】解：经过点A且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是以A为圆心，1厘米为半径的圆．
故答案为：以A为圆心，1厘米为半径的圆
【分析】根据圆的定义进行解答即可.
9．如图，在圆 O 中有折线 ABCO ， BC=6 ， CO=4 ， ∠B=∠C=60° ，则弦 AB 的长为
．
【答案】10【解析】【解答】如图，作OD⊥AB垂足为D，作OE//AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F，
∵OE//AB，
∴△COE为等边三角形，∴OE＝ CE＝ OC＝ 4，
∵OD⊥AB，EF⊥AB，∴ DF＝ OE＝ 4，BE＝ BC－ CE＝ 2
在Rt△BEF中，∵∠B＝ 60°，
1
∴BF＝ BE＝1，
2
∴BD＝BF＋DF＝1＋4＝5，
由垂径定理，得AB＝2BD＝10，
故答案为：10.
【分析】作OD⊥AB垂足为D，作OE//AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F，利用已知易证
△COE为等边三角形，就可得出OE的长，再利用直角三角形的性质求出BF的长，就可得出BD的
长，然后利用 垂径定理求出AB的长。
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC+∠BOC=180°，BC=2 √3 cm，则
⊙O的半径为 cm.
【答案】2
【解析】【解答】解：如图作OE⊥BC于E.∵∠BAC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠A，∴∠BOC=120°，∠A=60°.∵OE⊥BC，∴BE=EC= √3 ，
∠BOE=∠COE=60°，∴∠OBE=30°，∴OB=2OE，设OE=x，OB=2x，∴4x2=x2+ (√3) 2 ，∴x=1，
∴OB=2cm.故答案为2.
【分析】如图作OE⊥BC于E，根据垂径定理可得BE=EC= √3，∠BOE=∠COE .由
∠BAC+∠BOC=180°结合圆周角定理可得∠BOC=120°，∠A=60°，从而可得∠OBE=30°，继而得出
OB=2OE；设OE=x，OB=2x，在Rt△BOE中，利用勾股定理可得4x2=x2+ (√3) 2 ，求出x的值即可求
出结论.
三、解答题
11．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为 B´C 上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求
直径AB的长．
【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴OD=EF=3，∴AB=6
【解析】【分析】连接OD，由条件可得四边形OFDE是矩形，根据矩形对角线相等可知OD=EF=3，
利用同圆半径相等即可解答。
12．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有
油部分油面高CD。
1 1
【答案】解：连接OA，在直角△OAC中，OA=13cm，AC= AB= ×24=12cm
2 2根据勾股定理得到OC=√132−122=5cm
∴CD=13-5=8cm
答：油面高CD为8cm。
【解析】【分析】根据垂径定理求得AC的长，根据勾股定理求得OC的长即可．
13．某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维
修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图）．
（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=12√3cm，水面最深地方的高度为6cm，请你
求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S．
【答案】解：（1）如图：
（2）过点O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，则CD=6cm．
∵OC⊥AB，
1
∴BD=AD= AB，
2
∵AB=12√3cm，
∴BD=AD=6√3cm，
∵半径为rcm，则OD=（r﹣6）cm，
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
BD2+OD2=BO2，∴(5√3) 2+(r−6) 2=r2，
解得r=12，
∴这个圆形截面的半径为12cm．
1
又∵设弧长AB所对圆心角为θ，则∠DOB= θ，
2
在Rt△BOD中，BD=6√3，OB=12，
BD √3
∴sin∠DOB= = ，且∠DOB为Rt△BOD的一个内角，
OB 2
1
求得∠DOB= θ=60°
2
∴θ=120°
120 1
∵S=S ﹣S = ·π·122− √3×6
扇形OACB面积 △OAB面积 360 2
=48π−36√3（cm2）．
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；
（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出BD、OD的长，在Rt△AOD中，
根据勾股定理求出这个圆形截面的半径，解直角三角函数求得∠DOB=60°，然后根据S=S ﹣
扇形OACB面积
S 求得即可．
△OAB面积
14．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 A´D 所对的圆周角，∠ACD=30°。
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F。若AB=4，求DF的长。
【答案】（1）解：连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵弧AD=弧AD，
∴∠ABD=∠ACD=30°
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°.
（2）解： ∵∠ABD=30°，AB=4
1
∴AD= AB=2
2
∵DE⊥AB，
∴DF=2DE，∠AED=90°
∵∠ADE=90°-∠DAB=90°-60°=30°，
1
∴AE= AD=1
2
在Rt△ADE中，
DE=√AD2−AE2=√4−1=√3,
∴DF=2√3.
【解析】【分析】（1）连接BD，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等
可求出∠ABD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠DAB的度数.
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AD的长，利用垂径定理可证得DF=2DE；再利
用三角形的内角和定理求出∠ADE的度数，即可求出AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出
DE的长，即可得到DF的长.
15．如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的
直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，
∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA是⊙O的切线
（2）解：如图∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠ACF=∠D，
∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC2=AG•AB=12，
∴AC=2 √3
【解析】【分析】（1）连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上
∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明
△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC2=AG•AB=12，从而得到AC=2 √3 ．
