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6.3 实数
考点一：无理数
√2
无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有 π的数；有规律但不循环的数。） 如 ，
√3
等
考点二：实数：
有理数和无理数统称实数。
考点三：实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表
示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
技巧归纳：
1、a是一个实数，它的相反数为 -a
2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。）题型一：实数的概念与分类
1．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）下列各数是无理数的是（ ）
A． B．7 C． D．
2．（2022春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）下列数中- ， ， - ， 0， -
， ，- ， ， 3.14 无理数个数（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
3．（2022春·湖北咸宁·七年级统考期末）关于实数，下列说法错误的是（ ）
A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数
题型二：实数和数轴问题
4．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（
）
A． B． C． D．
5．（2023秋·福建莆田·七年级统考期末）如图，实数 ﹣1在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）如图，把半径为 的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆
沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
题型三：实数的大小比较7．（2023秋·重庆·七年级校考期末）比较实数0， ，2， 的大小，其中最小的实数为（ ）
A．0 B． C．2 D．
8．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）设实数a、b、c满足 ，且 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·七年级课时练习）若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型四：无理数的估算
10．（2023春·广东江门·七年级统考期末）若 ，则估计h的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）若正数 满足 ，则下列整数中与 最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2022秋·浙江丽水·七年级统考期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
题型五：无理数的整数和小数部分
13．（2023春·七年级课时练习）如果 、 分别是 的整数部分和小数部分，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2022春·山东德州·七年级校考期中）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．15．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如果 ，那么正整数m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六：实数的运算
16．（2023春·七年级课时练习）若 、 为实数，则下列说法正确的是（ ）
A． 是无理数 B．有理数与无理数的积一定是无理数
C．若 、 均为无理数，则 一定为无理数 D．若 为无理数，且 ，则
17．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
18．（2022春·重庆江津·七年级校考阶段练习）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不
为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果 ，其中m、n为有
理数，x为无理数，那么 且 ．
(1)如果 ，其中a、b为有理数，那么 ___________， ___________．
(2)如果 ，其中a、b为有理数，求 的值．
题型七：与实数有关的规律问题
19．（2022秋·七年级单元测试）观察下列等式： ， ， ， ， ，……根据
其中的规律可得 的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
20．（2022秋·四川巴中·七年级校考阶段练习）有理数 ，我们把 称为 的差倒数，如： 的差倒数是
， 的差倒数是 ．如果 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依
此类推．
(1)填空： ， ．
(2)试探寻规律，找出 的值21．（2022秋·浙江宁波·七年级统考期中）先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想 ______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可 表示不超过a的最大整数，如 ， ，计算：
的值
一：选择题
22．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）若整数a满足 ，则整数a是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）在数 ， ， ， ， ，5中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（2023秋·福建福州·七年级期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且 ，则化简
的结果为（ ）A． B． C． D．
25．（2023春·广东江门·七年级统考期末）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
A． B． C． D．
26．（2022春·安徽六安·七年级校考阶段练习）下列实数： 、 、0、 、 、0.1212212221…（每相邻两
个1之间依次多1个2），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）把下列各数填入相应的集合里：
， ， ， ， ， ， ， ．
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
28．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”连接起来． ， ，0， ，
．
29．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循
环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，而 ，于是可以用 来表示 的小数部分．请解
答下列问题：
(1) 的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值．一、单选题
30．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）数轴上的两点A、B分别表示实数 和 ，则A、B两点之间的
距离为（ ）
A．1 B． C． D．
31．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）根据以下程序，当输入 时，输出的结果是（ ）
A．0 B．1 C． D．
32．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）下列说法中，不正确的个数有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；② ；③近似数 万精确到百分位；
④ 的小数部分是 ；⑤ ；⑥ 的相反数是 ；
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
33．（2022秋·山东东营·七年级校考期末）如图，点 、 、 分别是同一数轴上的三个点，且 ， 、
两点对应的实数分别是1和 ，则点 位于下列哪两个相邻整数之间（ ）
A．3和4 B．2和3 C．1和2 D．4和5
34．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时， ；②
当n为偶数时， （其中k是使 为奇数的正整数）．两种运算交替重复进行，例如，取 ，则第
1次“F”运算为 ，第2次“F”运算为 ．第3次“F”运算为 …，若
，则第2022次“F”运算的结果为（ ）
A．1 B．4 C．2021 D．二、填空题
35．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）比较大小： ________ （用“＞”或“＜”或“＝”连接）
36．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则
_____．
37．（2023春·七年级课时练习）在实数 ， ，4， ， ， 中，设有a个有理数，b个无理数，
则 ________．
38．（2023秋·陕西西安·七年级西安市五环中学校联考期末）若 为任意实数，则 的最小值是______．
39．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 ， 为两个连续整数，且 ，则 ___________．
40．（2022秋·安徽黄山·七年级统考期末）若规定 表示不超过a的最大整数，例如 ．若 ，
，则在此规定下 的值是______．
41．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）已知 ， 为实数，下列说法：①若 ，且 ， 互为相反数，则
；②若 ， ，则 ；③若 ，则 ；④ ，则 是
负数，其中正确的是______.
三、解答题
42．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）（1）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求
的值．
（2）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4，求 的平方根．
43．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无
限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差
就是这个数的小数部分，又例如： ，即 ，所以 的整数部分为2，小数部分为 ，请解
答：
(1) 的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
(3)已知：x是 的整数部分，y是其小数部分，请直接写出 的值的相反数．
44．（2022秋·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，
而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，∵ ，∴ ．于是
可以用 来表示 的小数部分，又例如：∵ ，即 ，∴ 的整数部分是2，小数部分
是 ．请解答下列问题：
(1) 的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是 的整数部分，b是其小数部分，求 的值．
45．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期末）已知 为不相等的实数，且 均不为 ，现定义有序实数对
的“真诚值”为： ，如数对 的“真诚值”为： ，数对
的“真诚值”为： ．
(1)根据上述的定义填空： ， ；
(2)数对 的“真诚值” ，求 的值．1．D
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【详解】解：A、 不是无理数，故本选项不符合题意；
B、7不是无理数，故本选项不符合题意；
C、0.080080008不是无理数，故本选项不符合题意；
D、 是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．
2．A
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”进行解答即可．
【详解】 是分数，属于有理数； 开不尽方，是无理数； =-2，属于有理数；
0是整数，属于有理数； 开不尽方，属于无理数； =2，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数； 是循环小数，属于有理数；
3.14是小数，属于有理数；
综上：无理数一共有3个；
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练地掌握无理数的定义是解题的关键．常见的无理数有：无限不循环
小数、有规律但不循环的数、开不尽方的数、含 的数．
3．D
【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意；
C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意；
D、带根号的数不一定都是无理数，例如： 是有理数，选项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4．D
【分析】根据数轴上点的位置可知 ，根据a，b，c，d之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置可得： ，∴ ， ， ， ，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．C
【分析】估算 ，进而结合数轴即可求解
【详解】解：∵
∴实数 在数轴上的对应点可能是 点
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，估算 的大小是解题的关键．
6．C
【分析】根据半径为 的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，再由圆的周长公式得出周长为 ，
分两种情况，即可得答案．
【详解】解：由半径为 的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，
故滚动一周后A点与1之间的距离是 ，
故当A点在1的左边时表示的数是 ，当A点在1的右边时表示的数是 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
7．B
【分析】利用正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行比较即可．
【详解】解：∵ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握比较的方法是解题的关键．
8．D
【分析】根据 可知， ， 异号，再根据 ，以及| | | | | |，即可确定 ， ， 在数轴上的位置，
而| | | | | |表示数轴上的点到 ， ， 三点的距离的和，根据数轴即可确定．
【详解】∵
∴ ， 异号
∵
∴ ，
又∵ ，以及∴
表示到 ， ， 三点的距离的和．当 在表示 点的数的位置时距离最小，即
最小，最小值是 与 之间的距离，即 ．
故选D．
【点睛】本题解决的关键是根据条件确定 ， ， ， 之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问
题．
9．C
【分析】先估算出 和 的值的范围，再进行比较即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
10．B
【分析】先估算出 的范围，进而求出 的取值范围，即可．
【详解】解：∵ ，即： ，
∴ ，即： ；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握无理数的估算方法，是解题的关键．
11．C
【分析】估算 的大小即可求解．
【详解】解：∵正数 满足 ，
∴ ，
∵
∴ 接近4，故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，正确的估算 的大小是解题的关键．
12．C
【分析】根据数轴得出M点表示的数在2到3之间，且大于2.5，分别估算出 的大小，再逐个判断即
可．
【详解】解：从数轴可知：M点表示的数在2到3之间，且大于2.5，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴选项A和选项D不符合题意；
∵ ，
∴选项B不符合题意，选项C符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，能分别估算出 的大小是解此题的关
键．
13．A
【分析】小数的组成包括整数部分和小数部分，根据无理数值的大小的估算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分是 ，则小数部分是 ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法以及实数的运算法则是解题的关
键．
14．A
【分析】根据1＜2＜4可得1＜ ＜2，求出3＜ ＜4可得a、b的值，然后代入计算即可．
解答：
【详解】解：∵1＜2＜4，∴1＜ ＜2，
∴3＜ ＜4，
∴a＝3，b＝ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、代数式求值，正确估算出 的取值范围是解题的关键．
15．C
【分析】先求出 ，即可确定出 ，进而得出 ，则问题得解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵m为正整数，
∴m=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，确定出 是解答本题的关键．
16．D
【分析】A、 不一定是无理数，举例说明；
B、有理数与无理数的积不一定是无理数，举例说明；
C、 、 均为无理数， 不一定还是无理数，举例说明；
D、利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出b的值，即可做出判断．
【详解】解：A、 不一定是无理数，例如 ，错误；
B、有理数与无理数的积不一定是无理数，例如： ，错误；C、 、 均为无理数， 不一定还是无理数，，例如： ，错误；
D、若 为无理数，且 ，得到 ， ，解得： ，正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算即可得到结果；
（2）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、平方根、乘方运算，掌握实数的运算顺序是关键．
18．(1)2，
(2)
【分析】(1)由题意得∶ ，然后进行计算即可解答；
(2)根据已知可得 ，从而可得 ，然后进行计算求出 的值，再代入
式子中进行计算即可解答．
【详解】（1）根据题意得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）原式变形为 ，
，
【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．C【分析】分析71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…，得出个位数字是4个数7，9，3，1循环，由
2021÷4 = 505余1即可得出 的结果的个位数字是7．
【详解】解：∵71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…，
∴个位数字是7，9，3，1循环，
∵2021÷4 = 505余1，
∴ 的结果的个位数字是7．
故选： C．
【点睛】本题考查了规律型尾数特征，解题关键是分析给出的等式规律，判定出尾数规律．
20．(1) ，
(2)
【分析】（1）根据差倒数的定义，运算规则即可求解；
（2）根据差倒数的定义，运算规则，找出规律，由此即可求解．
【详解】（1）解： ， 是 的差倒数，
∴ ，
∵ 是 的差倒数，
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）解： ， ， ，
∴ ， ， ，┈，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键．
21．(1)(2) ，49
【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（2）先总结规律可得 ，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
22．B
【分析】先计算 ， ，然后看哪个平方数在7和15之间即可．
【详解】解：∵7＜9＜15，
∴ ，
∴如果整数a满足 ，则a的值是：3，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
23．B
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解： ，所以无理数有： ， ，共2个．
故选：B
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： 等；开方开不尽的数；以及像
，等有这样规律的数．
24．C
【分析】先根据题意得到 ，然后根据实数的性质进行求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，实数与数轴，正确根据题意得到 是解题的关键．
25．D
【分析】根据数轴上的点位置，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图可知： ；
A． ，A选项错误，不符合题意；
B． ，B选项错误，不符合题意；
C． ，C选项错误，不符合题意；
D． ，D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小，以及式子的符号．熟练掌握数轴的点和实数一一对应，数轴上的点
表示的数，从左到右依次增大，是解题的关键．
26．C
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：在实数： 、 、0、﹣ 、 、0.1212212221…（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理
数有： 、﹣ 、0.1212212221…（每相邻两个1之间依次多1个2），共有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，
等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个
0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
27．见解析
【分析】根据实数分类解答即可．
【详解】解：正数集合：{ ， ，， ，， ，…}；
负数集合：{ ， ， …}；
有理数集合：{ ， ， ， ， ， …}；
无理数集合：{ ， …}．
【点睛】本题考查了实数的分类，关键是掌握无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数；有
理数和无理数统称实数．
28．数轴见解析，
【分析】先在数轴上表示出各数，再比较即可．
【详解】解： ， ，
【点睛】本题考查了用数轴表示有理数和用数轴比较实数的大小，正确用数轴表示出各数是解题的关键．
29．(1)5；
(2)
【分析】（1）参照题目中的解法可知，比 小的最大整数是 的整数部分，用 减去整数部分即为小数部
分；
（2）先求出 ， 的整数部分和小数部分，进而求出a，b，最后代入 即可．【详解】（1）解： ，
，
的整数部分为 ，小数部分为 ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
的整数部分为2，小数部分为 ，
的小数部分 ，
，
，
的整数部分为1，小数部分为 ，
的整数部分为 ，
．
【点睛】本题考查无理数的估算、代数式求值等，解题的关键是读懂题意，掌握无理数的整数部分、小数部分的
求值方法．
30．C
【分析】两个数的差的绝对值即是数轴上两点的距离，据此作答即可．
【详解】根据题意，可得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求解数轴上两点的距离，掌握两个数的差的绝对值即是数轴上两点的距离，是解答本题
的关键．
31．D
【分析】按照程序流程图计算即可．
【详解】解：当输入 时，，不能直接输出，
，可以直接输出 ．
故选D．
【点睛】本题考查程序流程图与实数运算，实数的大小比较等，解题的关键是看懂程序流程图．
32．B
【分析】直接利用实数的性质结合无理数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案．
【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，正确，故此选项不合题意；
② ，正确，故此选项不合题意；
③近似数 万精确到百位，错误，故此选项符合题意；
④ 的小数部分是 ，错误，故此选项符合题意；
⑤ ，错误，故此选项符合题意；
⑥2 2，正确，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数的性质、角度换算、无理数的定义以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关
键．
33．A
【分析】先求出点C表示的数为 ，再估算出 的范围即可得到答案．
【详解】解：∵ ， 、 两点对应的实数分别是1和 ，
∴ ，
∴点C表示的数为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确求出点C表示的数为 是解题的关键．
34．A【分析】计算出n=13时第1、2、3、4、5、6、7次运算的结果，通过计算从第4次开始，结果就只有4、1两个数
循环出现，进而观察规律即可得结论．
【详解】解：当n=13时，
第1次“F”运算的结果是： ，
第2次“F”运算的结果是： ，
第3次“F”运算的结果是： ，
第4次“F”运算的结果是： ，
第5次“F”运算的结果是： ，
第6次“F”运算的结果是： ，
第7次“F”运算的结果是： ，
……
观察以上结果，从第4次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，
且当次数为偶数时，结果是1，次数为奇数时，结果是4，
而2022为偶数，故其结果为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字类的变化规律及有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意中的新定义，严格按照
定义来计算．
35．
【分析】根据实数的性质化简，故可比较．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
【点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的性质．
36．
【分析】根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，进行化简即可．
【详解】解：由图可知： ，
∴ ，∴
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查开方运算，化简绝对值，整式的加减运算．解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的
符号．
37．2
【分析】由题意先根据有理数和无理数的定义得出a、b的值，进而求出 的值．
【详解】解： ，4， ， 共有4个有理数，即 ，
， 共有2个无理数，即 ，
所以 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查有理数和无理数的定义以及算术平方根的运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
38．6
【分析】根据绝对值的意义以及数轴上两点间的距离即可求解．
【详解】解： ，
表示数轴上的点x到表示 的点之间的距离和数轴上的点到表示2的点之间的距离之和，
∴当x在 和2之间时，距离和最小，
即 时， ；
故答案为：6．
【点睛】本题考查绝对值的意义，以及数轴上两点间的距离公式．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．
39．7
【分析】先估算出 的取值范围，得出 ， 的值，进而计算即可得出结论．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，先根据题意估算出 的取值范围是解答此题的关键．40．
【分析】根据 的定义分别求出 的值，再代入计算即可得．
【详解】解：由题意得： ， ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，理解 的定义是解题关键．
41．①②##②①
【分析】根据实数的性质，加减乘法法则逐一判断即可．
【详解】解：①若 ，且 ， 互为相反数，即 ，则 ，说法正确；
②若 ， ，即 ，则 ，说法正确；
③若 ，即 ，则 ，即 ，说法错误；
④若 ，则 不一定是负数，例如 满足 ，但是 是正数，说
法错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了实数的性质以及运算法则，熟知实数的性质是解题的关键．
42．（1）8；（2）
【分析】（1）根据无理数的估算求出a和b的值，然后代入求解即可；
（2）根据平方根的概念得到 ，求出a的值，然后根据算术平方根的概念得到 求出b的值，
最后代入求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是2，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 的平方根是 ，∴ ，解得 ，
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵9的平方根是 ，
∴ 的平方根是 ．
【点睛】本题主要考查了与无理数整数和小数部分有关的计算，算术平方根和平方根，熟知相关知识是解题的关
键．
43．(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小，确定 的值，再代入计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小，进而得出 的大小，确定 的值即可解答．
【详解】（1）解：
的整数部分是3，小数部分是 ，
故答案为： ；
（2）
的整数部分是1，小数部分为
，
的整数部分为3，小数部分为
，（3）
由题意得，
的值的相反数为： ．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
44．(1)4，
(2)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先仿照题意估算出 ，进而得到 ，则可求出 ，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为4，小数部分为 ，
故答案为：4； ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是5，小数部分是 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了与无理数整数和小数部分有关的计算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．45．(1) ；
(2) 或
【分析】（1）根据“真诚值”的定义， 应用的是 计算， 应用的是 计算，由此即可
求解；
（2） ，根据“真诚值”的定义，分类讨论，当 时，当 时，运用不同的计算式子，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ； ．
（2）解：当 时， ，解得， ；
当 时， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上所述，当 时， 或 ．
