文档内容
专题 26.32 《反比例函数》中考常考考点专题（2）
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
【考点一】反比例函解析式
1．（2021·浙江温州·中考真题）如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）
的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，连结 ．若 ，
， ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2019·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点
、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， 轴，点 在函数
的图象上，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．23．（2022·海南·中考真题）若反比例函数 的图象经过点 ，则它的图
象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【考点二】实际问题✮✮反比例函数
4．（2022·江苏扬州·中考真题）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描
述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比
值） 与该校参加竞赛人数 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反
比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2013·浙江绍兴·中考真题）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热
时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后
用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开
机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的
关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时
间可以是当天上午的
A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：506．（2019·湖北孝感·中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平
衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬
动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 和 ，则动力 （单位： ）关于动力臂l
（单位： ）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点三】反比例函✮✮几何综合
7．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，
0），点B在y轴上，若反比例函数y＝ （k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
8．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，点 是 内一点， 与 轴平行，
与 轴平行， ， ， ，若反比例函数 的
图像经过 ， 两点，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 轴，垂足为 ，顶点 在第二象限，顶点 在 轴正半轴上，反比例函数 的
图象同时经过顶点 ．若点 的横坐标为5， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点四】反比例函✮✮一次函数综合➽➸图象判断
10．（2018·四川凉山·中考真题）若mn＜0，则正比例函数y＝mx与反比例函数y＝
在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校模拟预测）已知反比例函数y＝
（k≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y＝－kx＋k的图
象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
12．（2022·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与两坐标轴
分别交于A，B两点， 为线段 的中点，点 在反比例函数 的图象上，则
的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．
【考点五】反比例函✮✮一次函数➽➸图象交点坐标
13．（2017·湖南岳阳·中考真题）已知点A在函数 （x>0）的图象上，点B在直
线 （ 为常数，且k 0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函
≥
数y，y 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为
1 2
A．有 对或 对 B．只有 对 C．只有 对 D．有 对或 对
14．（2021·福建漳州·模拟预测）已知函数 与函数 的部分图像如图所示，
有以下结论：
①当 时， ， 都随x的增大而增大；
②当 时， ；
③ 与 的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数 的最小值是2．则下列结论正确的是（ ）A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
15．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）正比例函数 与反比例函
数 的图象交于点A，B，数学小组在探究时得到以下结论：
①点A、B关于原点对称；②若点 ，则 的解集是 或 ；③k
的值可以为 ；④当 时，k的值是1．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【考点六】反比例函✮✮一次函数➽➸其他综合运用
16．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，点A在直线y＝
x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例
函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，连接AD，若 ，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．12 D．24
17．（2022·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函
数y＝kx与 的图象交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交函数 的图象于
点C，连接AC，则△ABC的面积为（ ）A．2.5 B．5 C．6 D．10
18．（2022·浙江宁波·模拟预测）观察图中给出的直线 和反比例函数
的图像，下列结论中错误的是（ ）
A．
B．当 时，有
C．直线 与坐标轴围成的 的面积是4
D．直线 与反比例函数 的图像的交点坐标为 ，
二、填空题
【考点一】反比例函解析式
19．（2022·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系 中，已知点
是函数 图象上的三点.若 ，则k的值
为___________．
20．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形 中， ，将绕点 点旋转至 的位置，且 在 的中点， 在反比例函数 上，则 的值
为________________．
21．（2022·山东威海·中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，
点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经
过点C，则k的值为 _____．
【考点二】实际问题✮✮反比例函数
22．（2015·山东青岛·中考真题）把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体
铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为
________.
23．（2013·广西柳州·中考真题）有下列4个命题：
①方程 的根是 和 ．
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD= ，则CD=3．
③点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2=0，若点P也在 的图象上，则
k=﹣1．
上述3个命题中，真命题的序号是___．
24．（2020·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 和双曲线 ，在直线上取一点，记为 ，过 作 轴的垂线交双曲线于点 ，过 作 轴
的垂线交直线于点 ，过 作 轴的垂线交双曲线于点 ，过 作 轴的垂线交直线于点
······，依次进行下去，记点 的横坐标为 ，若 则 ______．
【考点三】反比例函✮✮几何综合
25．（2022·山东济宁·中考真题）如图，A是双曲线 上的一点，点C是OA
的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是
___________．
26．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点
A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数 的图像经过点
C，E．若点 ，则k的值是_________．27．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点 （0，4），
（3，4），将 向右平移到 位置， 的对应点是 ， 的对应点是 ，函数
的图像经过点 和 的中点 ，则 的值是______．
【考点四】反比例函✮✮一次函数综合➽➸图象判断
28．（2022·福建省福州屏东中学模拟预测）一次函数 分别与 轴、 轴交于
A、 两点，点 为反比例函数 （ ）图象上一点，过点 作 轴的垂线交
直线 交于 ，作 交直线 于 若 ，则 的值为______．
29．如图，过原点且平行于 的直线与反比例函数 （ , ）的图像相交
x于点C，过直线 上的点 ，作 轴于点B，交反比例函数图像于点D，且
，那么点C的坐标为______.30．（2022·重庆八中三模）不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球
上分别标有－1，2，3，4四个数，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k，不放回，将
袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b，两次抽取完毕后，则直线 与反比例函
数 的图象经过的象限相同的概率为______．
【考点五】反比例函✮✮一次函数➽➸图象交点坐标
31．（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，直线 与双曲线 交于
两点，若 的面积为4，则k的值为 ___________．
32．直线 与双曲线 交于 和 两点，则 的
值为_________．
33．（2017·山东菏泽·中考真题）直线 与双曲线 交于 和两点，则 的值为_________．
【考点六】反比例函✮✮一次函数➽➸实际问题
34．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数 （k≠0）与正比例函数y＝mx
（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D， ，则
k＝__．
35．（2021·山东烟台·九年级期末）如图，已知一次函数 与反比例函数
的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，-3）两点，连接OA，OB．
△AOB的面积为________．
36．（2022·浙江·九年级开学考试）如图，直线 与反比例函数 的图象
相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作 轴交反比例函 的图象于
点E，连结 ，点B为y轴上一点，满足 ，且 恰好平行于x轴．若 ，则k的值为________．
三、解答题
37．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于A、B两点，求 的面积．
38．（2022·山东淄博·中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，
2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
(1) 分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2) 连接OA，OB，求 AOB的面积；
△
(3) 直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．39．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图
象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．
(1) 求点 的坐标和反比例函数的解析式；
(2) 点 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接 ， ，求 的面积．
40．（2022·四川资阳·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 和点 ．
求一次函数的表达式；
(1) 结合图象，写出当 时，满足 的x的取值范围；
(2) 将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，
使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．41．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y
＝ （x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点
C、点D．
(1) 根据图像直接写出不等式 ＜ax+b的解集；
(2) 求反比例函数与一次函数的解析式；
(3) 点P在y轴上，且S AOP＝ S AOB，请求出点P的坐标．
△ △
42．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情
况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的
1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所
排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示
前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物
的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1) 在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2) 在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3) 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为
什么？
参考答案
1．B
【分析】设OD=m，则OC= ，设AC=n，根据 求得 ，在Rt AEF
△
中，运用勾股定理可求出m= ，故可得到结论．
解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=∵ 轴于点 ， 轴于点 ，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为 ，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵ 轴
∴A（ ，n）
∴ ，解得，n= ，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt AEF中， ，
△
由勾股定理得，
解得， （负值舍去）
∴
故选：B
【点拨】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，
注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
2．【答案】A
【分析】根据题意可以求得 OA和 AC的长，从而可以求得点 C的坐标，进而求得 k的
值，本题得以解决．
【详解】 等腰直角三角形 的顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ，
CA⊥x轴， ，
，， ，
点 的坐标为 ，
点 在函数 的图象上，
，
故选 ．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．C
【分析】先利用反比例函数 的图象经过点 ，求出k的值，再分别计
算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 的图象
是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数
的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为 ，则令甲 、乙 、丙 、丁 ，
过甲点作 轴平行线交反比例函数于 ，过丙点作 轴平行线交反比例函数于
，如图所示：
由图可知 ，
、乙 、 、丁 在反比例函数 图像上，
根据题意可知 优秀人数，则
① ，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
② ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③ ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数 乙学校优秀人数 丁学校优秀人数 丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比
例函数的图像与性质是解决问题的关键．
5．A
解：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟．
设一次函数关系式为：y=kx+b，
1
将（0，30），（7，100）代入y=kx+b得k=10，b=30．
1 1
∴y=10x+30（0≤x≤7）．令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为： ，
将（7，100）代入 得k=700，∴ ．
将y=30代入 ，解得 ．∴ （7≤x≤ ）．
令y=50，解得x=14．
∴饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤ 时间
段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣ ×3=15，位于14≤x≤ 时间段内，故
可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣ ×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤ 时间
段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣ ×2= ≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤
时间段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣ ×2= ≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤
时间段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
6．B
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案.解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂
分别是 和 ，
∴动力 (单位： )关于动力臂 (单位： )的函数解析式为： ，
则 ，
故选B．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的
关键.
7．C
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再
根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明 ABO和 BCE全等，
根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出O△E，然后△写出点C的
坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝3，
在 ABO和 BCE中， ，
△ △
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故选：C．
【点拨】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的
判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
8．C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明 COE≌△ABE
△
（AAS），则OE=BD= ；由S BDC= •BD•CF= 可得CF=9，由∠BDC=120°，可
△
知∠CDF=60°，所以DF=3 ，所以点D的纵坐标为4 ；设C（m， ），D（m+9，4
），则k= m=4 （m+9），求出m的值即可求出k的值．
解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB OC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，∵BD y轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD= ，
∵S BDC= •BD•CF= ，
△
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3 ．
∴点D的纵坐标为4 ，
设C（m， ），D（m+9，4 ），
∵反比例函数y= （x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k= m=4 （m+9），
∴m=-12，
∴k=-12 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判
定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
9．【答案】A
【分析】由题意易得 ，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股
定理得 ，求解x，进而可得点 ，则 ，最后根据反比例
函数的性质可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点 的横坐标为5，
∴点 ， ，
∵ ，
∴设DE=x，BE=2x，则 ，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ；
故选A．
【点拨】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反
比例函数与几何的综合是解题的关键．
10．B
【分析】由mn＜0可知，m、n异号，然后分m＞0，n＜0和m＜0，n＞0两种情况进
行讨论，即可得出本题答案．
解：∵ mn＜0，
∴m、n异号，
①当m＞0，n＜0时，正比例函数y＝mx的图像过一三象限且过原点，而反比例函数y＝ 的图像过二四象限；观察A、B、C、D四个选项都不符合要求，故不选；
②当m＜0，n＞0时，正比例函数y＝mx的图像过二四象限且过原点，而反比例函数y
＝ 的图像过一三象限；观察A、B、C、D四个选项，易知选项B符合题意要求；
故选B．
【点拨】本题主要考查了正比例函数及反比例函数的图像所在象限与比例系数k值符
号的关系的问题．理清思路，能分m＞0，n＜0和m＜0，n＞0两种情况分进行讨论，是解
答本题的关键．
11．C
【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的值，进而结合一次函数的性质得出答案．
解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，
∴k＞0，
∴ ，
∴一次函数y=-kx+k的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的性质，正确把握相关性质是解题
关键．
12．B
【分析】根据轴对称图形的性质确定点P位置，再求出CP的长即可．
解：∵一次函数 与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∵ 为线段 的中点，
∴C（1，1）,
∴一次函数 与反比例函数 的图象是关于直线y=x对称，
∵点C在直线y=x上，
∴当点P在直线y=x上时，线段CP最小，
∴点 在反比例函数 的图象上，∴P（2，2），
∴ ，
∴ 的最小值为
故选：B
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的图像与性质及线段最短问题，数形结合是解
题的关键．
13．A
解：设A（a， ），
由题意知，点A关于原点的对称点B（ a， ）在直线y=kx+1+k上，
2
−
则 = ak+1+k，
−
整理，得：ka2 （k+1）a+1=0①，
即（a 1）（ka− 1）=0，
∴a 1=−0或ka 1−=0，
则−a=1或ka −1=0，
若k=0，则a−=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1
对；
若k≠0，则a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选A．
【点拨】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；
关于原点对称的点的坐标．
14．D
【分析】补全函数图像，根据图像即可判断．
解：补全函数图像，如图所示：①当 时， 随x的增大而减小， 随x的增大而增大，故①错误；
②当 时， ，故②正确；
③ 与 的图像的两个交点之间的距离是2，故③正确；
④∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴函数 的最小值是2，故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④，
故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，反比例函数与
一次函数的交点问题，数形结合是解决问题的关键．
15．B
【分析】①根据反比例函数的对称性，可得①正确；②观察图象得当 时，正比
例函数图象在反比例函数图象上方，此时 或 ，可得②正确；③根据题意可得
正比例函数 的图象经过第一、三象限，可得③错误；设点A在点B的左侧，
过点B作 轴于点H，根据反比例函数的对称性，可得 ，设点B的横坐标为m，可得 ，再由勾股定理可得 ，再根据点B在 的图象上，
可得 ，从而得到 ，可得④错误．
解：如图，
①正比例函数 与反比例函数 的图象的交点A、B关于原点对称，故
本选项正确；
②∵ ，点A与点B关于原点中心对称，
∴点 ，
当 时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时 或 ，
∴若点 ，则 的解集是 或 ，故本选项正确；
③∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，B，反比例函数图
象在第一、三象限，
∴正比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴ ，故k不可能为 ，故本选项错误；
④如图，设点A在点B的左侧，过点B作 轴于点H，
∵ ，
∴由对称性得 ，
设点B的横坐标为m，∵点B在 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵点B在 的图象上，
∴ ，
∴ ，
将 代入 中，得 ，
∴ ．解得 ，故本选项正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选B．
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比
例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
16．B
【分析】设正方形的边长为a，点A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出
C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA= t，AD= a；由
可得 ，最后根据反比例函数图像的性质即可解答．
解：设正方形的边长为a，点A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）
∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE
∴ ， ，∵ ，
∴ ，即 ，
∵点D在反比例函数 的图像上，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例
函数的性质等知识点，正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关
键．
17．B
【分析】由 可得A，B的坐标，再求解C的坐标，再直接利用三角形的面积公
式进行计算即可．
解：
解得： 或 经检验符合题意；
，=5
故选B．
【点拨】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，坐标与图形的面积，二次根式
的运算，一元二次方程的解法，求解A，B的坐标，再表示C的坐标是解本题的关键．
18．B
【分析】利用待定系数法求出k、b、k，从而可对A进行判断；结合图像可对B进行
2 1
判断；利用一次函数解析式确定A、B点坐标，然后利用三角形面积公式可对C进行判断；
通过观察图像可对D进行判断．
解：把 代入 得 ，则反比例函数解析式为 ，
把 ， 代入 得 ，解得 ，则一次函数解析式为
；
；所以A选项的结论正确；
当 或 时，有 ，所以B选项的结论错误；
当 时， ，解得 ，则 ，
当 时， ，则 ，
，所以，C选项的结论正确；
直线 与反比例函数 的图像的交点坐标为 ， ，所以D选项
的结论正确．故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的
交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无
解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
19． ##0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知 ，m＝n，点B、C关于原点对称，求出
直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据
列式求出 ，进而可得k的值．
解：∵点 是函数 图象上的三点，
∴ ， ，
∴m＝n，
∴ ， ，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，把x＝m代入 得： ，
∴D（m， ），
∴AD＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而当m＜0时，同样可得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解
析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关
键．
20．
【分析】连接 ，作 轴于点 ，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性
质得出 是等边三角形，从而得出 ，即可得出 ，解直角
三角形求得 的坐标，进一步求得 ．
解：连接 ，作 轴于点 ，由题意知 ， 是 中点， ， ，
，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
在反比例函数 上，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化 性质，解题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．24
【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角
之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，
OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．
解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴ ，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
【点拨】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式
的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
22．
解：试题分析：根据题意可得铜块的体积=3×2×1=6 ，则圆柱体的体积=Sh=6
，则S= .
考点：反比例函数的应用
23．①②③④解：试题分析：①解方程可知，方程 的根是 和 ．此命
题正确．
②∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， AD=4，BD= ，
∴根据射影定理CD 2=AD×BD，解得CD=3．故此命题正确．
③∵点P（x，y）的坐标x，y满足x2+y2+2x﹣2y+2=0，
∴（x+1）2+（y﹣1）2=0，解得：x=﹣1，y=1．∴xy=﹣1．
∵点P也在 的图象上，∴k=﹣1．故此命题正确．
综上所述，真命题的序号是①②③.
24．
【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A、B 、A、B 、
1 1 2 2
A、B …，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确
3 3
定出a 即可
2020
解：当a=2时，B 的横坐标与A 的横坐标相等为2，A（2，3），B (2， ) ；
1 1 1 1 1
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为 ，代入y=x+1，得x= ，可得A（ ，
2 1 2
）；
B 的横坐标和A 的横坐标相同为 ，代入 得，y= ，得B ( ， ) ；
2 2 2
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为 ，代入y=x+1，得x= ，故A（ ， ）
3 2 3
B 的横坐标和A 的横坐标相同为 ，代入 得，y=3，得B ( ，3)
3 3 3
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为3，代入y=x+1，得x=2，所以A（2，3）
4 3 4
…
由上可知，a，a，a，a，a，…，3个为一组依次循环，
1 2 3 4 5
∵2020÷3=673 ，
∴a
2020
=a
1
=2，⋯⋯1
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，
依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
25．4
【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S ACD = S OCD, S ACB =
△ △ △
S OCB,进而可得S ABD = S OBD,根据点B在双曲线 上，BD⊥ y轴，可得
△ △ △
S OBD=4，进而即可求解．
△
解： 点C是OA的中点，
∴S ACD = S OCD, S ACB = S OCB,
△ △ △ △
∴S ACD + S ACB = S OCD + S OCB,
△ △ △ △
∴S ABD = S OBD,
△ △
点B在双曲线 上，BD⊥ y轴，
∴S OBD= ×8=4,
△
∴S ABD =4,
△
答案为：4.
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的 的几何意义，掌握反比例函
数 的几何意义是解题的关键．
26．4
【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明 （AAS），得
到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，
可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
解：作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，
∵四边形 是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
∴
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴点C的坐标为(a，3+a)
∵点E是正方形对角线交点，
∴点E是AC中点，
∴点E的坐标为
∵反比例函数 的图象经过点C，E
∴
解得：k=4
故答案为：4
【点拨】本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的
坐标是解题的关键．
27．6
【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO
的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然
后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案．
解：过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴ ， ，
∴四边形HFGO的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
∴k=6．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是
解题的关键．
28． ##-3.5
【分析】设 ，则 ， ，构建方程求出 的值即可．
解：设 ．
过点 作 轴的垂线交直线 交于 ，作 交直线 于 ，
∴PC 轴, 轴，
点的纵坐标为 ， 点的横坐标为 ，
一次函数 ，
，，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数构
建方程，属于中考填空题中的压轴题．
29．【答案】( )
【分析】由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解
析式可求得C点坐标．
【详解】解：A(1，3)，AB⊥x轴点B，
AB=3， OB= 1，
，
BD=1，
D(1，1)，
点D在反比例函数图象上，
，解得k=1，
反比例函数解析式为 ，联立直线与反比例函数解析式可得
{ √3
x=
解得 3 或 ，
y=√3
C ( )．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及，函数图象的
交点，联立方程组求交点是解题的关键
30．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，直线 与反比例函数 的图象
经过的象限相同的结果有6个，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
∵从袋子中随机抽取一个小球，记标号为 ，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个
小球，记标号为 ，共有12个数组，
∴直线 与反比例函数 的图象经过的象限相同的数组有（2，3），（2，
4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，3），共有6组，
∴k，b直线 与反比例函数 的图象经过的象限相同的概率为 ．
故答案为： ．【点拨】此题考查了用列表法或树状图法求概率及一次函数与反比例函数的性质，熟
练掌握利用列表法或树状图列出所有等可能的结果以及一次函数与反比例函数的性质是解
题的关键．
31．
【分析】根据直线 与双曲线 关于直线 对称，得出 ，
求得 ，根据三角形面积求得点 的坐标，代入一次函数求得纵坐标，即可求解．
解：如图，设 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∵直线 与双曲线 关于直线 对称，
∴ ，
由 ，令 ，得 ，令 得 ，
∴ ,
∴ ，
∵ 的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
代入 得， ，∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数的对称性，三角形的
面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得 的坐标是解题的关键．
32．【答案】-36
【分析】由直线 过点A和B两点，可得 ，又因双曲线 经过 和
两点，可得 ，所以 ，从而可得 ；直线 与双曲线
交于A和B两点，联立两个函数式，求得x的值，所以 ，则可求得结果．
【详解】∵直线 过点 和 ，
∴ ，
∴ ；
∵双曲线 经过 和 两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
∵直线 与双曲线 交于 和 两点，所以 ，即 ，
解得：
∴ ，
∴
故答案为：﹣36．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了点与函数图象的关系，把握点在函
数图象上，则点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
33．-36
【分析】由直线 过点A和B两点，可得 ，又因双曲线 经过
和 两点，可得 ，所以 ，从而可得 ；直线 与双
曲线 交于A和B两点，联立两个函数式，求得x的值，所以 ，则可求得结果．
解：∵直线 过点 和 ，
∴ ，
∴ ；∵双曲线 经过 和 两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
∵直线 与双曲线 交于 和 两点，
所以 ，即 ，
解得：
∴ ，
∴
故答案为：﹣36．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了点与函数图象的关系，把握点
在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
34．-2
【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案．
解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点，
∴点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∵ ，
∴ ，
∵反比例函数图像位于第二象限，
∴k＝-2．
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析
式与面积的关系是解题的关键．
35．8
【分析】将点A（6，1）代入到反比例函数 中求出m的值，即可解出反比例函
数解析式，再将点B（a，-3）代入到反比例函数解析式中求出a的值，得到点B的坐标，
然后用待定系数法求出一次函数解析式，并令 ，求出C点坐标，之后由
计算 AOB的面积即可．
△
解：设直线AB交x轴于点C，将点A（6，1）代入到反比例函数 中，
可得 ，
解得 ，
故反比例函数解析式为 ，
将点B（a，-3）代入到反比例函数解析式中，
可得 ，
解得 ，
故点B坐标为（-2，-3），
将点A（6，1）和点B（-2，-3）代入到 中，
得 ，
解得 ，
故一次函数解析式为 ，
令 ，
可得 ，
解得 ，
即点C坐标为（4，0），所以 ．
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题关键是熟练运用待
定系数法求一次函数和反比例函数解析式．
36．6
【分析】由等腰三角形的性质可得 ，即点C的横坐标是点A横坐标的2倍，
可设点A的坐标，进而得出点C的坐标，由点A、点C的纵坐标得出 ，进而利
用全等三角形得出点E的横坐标为 ，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点E的纵
坐标，再利用三角形的面积可得k的值．
解：如图，过点A作 轴，交 于点F，垂足为M，过点C作 轴，垂
足为N，
∵ ，
∴ ，
由于点A、点C在反比例函数 的图象上，
可设点 ，即 ， ，
∴ ，
∴点 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴点E的横坐标为 ，
又∵点E在反比例函数 的图象上，
∴点E的纵坐标为 ，
即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交
点坐标，利用坐标表示线段的长是解决问题的关键．
37．4
【分析】解析式联立成方程组，解方程组即可得到 两点的坐标，由一次函数解析
式求得直线与y轴的交点C，然后根据 求得即可．
解：解方程组 得 或 ，
所以A点坐标为 ，B点坐标为 ，
设一次函数 的图象交y轴与点C，则 ，
，．
故 的面积为4．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的
交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组
无解则两者无交点．
38．(1)y= x+ ，y= ；(2) AOB的面积为 ；(3)1 的解集是1
