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专题 04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.......................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离.....................8
三、专项训练.............................................17
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从
而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有
时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平
行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理
面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平
面 的垂线 ，交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是
在直线 上的投影向量 的长度.二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23-24高三下·陕西西安·期中）如图，在圆台 中， 为轴截面，
， ， 为下底面圆周上一点， 为下底面圆 内一点， 垂
直下底面圆 于点 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 为等边三角形，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到 平面 ，再由圆台的性质得到
，即可得到 平面 ，从而得证；
（2）由 利用等体积法求出点 到平面 的距离．【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 垂直下底面圆 于点 ， 垂直下底面圆 于点 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．
又 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）在等腰梯形 中，易知 ，所以 ．
所以 ．
易知 ， ，所以 ．
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱台 中，底面四边形 为
菱形， ， 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若四棱台 的体积为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质得到 ，由菱形的性质得到 ，即可得到
平面 ，即可得证；
（2）设 ，由棱台的体积公式求出 ，取 的中点 ，连接
、 ，即可得到 平面 ，再由 利用等体积法计算可得.【详解】（1）在四棱台 中， 延长后必交于一点，故 共
面，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
连接 ，因为底面四边形 为菱形，故 ，
平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）设 ，又 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
取 的中点 ，连接 、 ，
则 且 ，所以 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 为菱形且 ，所以 为等边三角形，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
设点 到平面 的距离为 ，
所以 ，则 ，解得 ，即点 到平面 的距离为 .
3．（2024·四川·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面ABCD为菱形， ，
侧面 是边长为4的正三角形， .
(1)证明：平面 平面ABCD；
(2)求点A到平面SBC的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）取 中点 ，通过证明 ，即可由线线垂直证明线面垂
直；
（2）根据 ，结合 的面积，即可由等体积法求得结果.
【详解】（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE，
易得 ， ，因为 ， ，
所以 ， ， ，故 ，
又 ， ，
所以 ，故 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD， ，
所以 平面ABCD，又因为 平面SCD，所以平面 平面ABCD.
（2）由（1）知 平面ABCD，且 ，
在 中， ，
所以 ，
故 .
在 中， ， ，
所以SB边上的高 ，
所以 .
设点A到平面SBC的距离为d，
则 ，即 ，解得 ，
所以点A到平面SBC的距离为 .
4．（2024高三·上海·专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， 分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面平行的性质定理，转化为证明平面 平面 ，即可证明线
面平行；
（2）方法一，利用等体积转化 ，即可求点 到平面 的距离；方法二，
同样利用等体积转化 ，即可求解.
【详解】（1）证明 连接 ，∵ 分别为 的中点，∴ ，
∵直线 不在平面 内， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ， ，∴ ，且 .
∴四边形 为平行四边形，即 ，
∵直线 不在平面 内， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（2）方法1：设 到平面 的距离为 ，
因为 平面 ，所以 ，
由于 ，所以四边形 是平行四边形，
由于 ，所以 ，由于 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，则 ，
由 得 ，
即 ；
方法2：∵ ， ，
又 平面 ，∴ ，又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，而 平面 ，∴ .
设 ，则 ， ，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，
得 ，则 .
∵点 为 的中点，∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离为 .题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23-24高三上·山东日照·期中）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 为
底面直径， 为底面圆O的内接正三角形，点 E在母线 上，且 ，
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点M为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】
（1）利用余弦定理与勾股定理推得 ，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与
性质定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量表示得到关于 的表达式，从而求得 的
值，进而利用点面距离公式即可得解.
【详解】（1）
如图，设 交 于点 ，连接 ，由圆锥的性质可知 底面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 是底面圆的内接正三角形，由 ，可得 ， ，解得 ，又 ， ，
所以 ，即 ， ，
所以在 中， ，
在 中，由余弦定理：
，
所以 ，故 .
因为 底面 ， 面 ，所以平面 平面 ，
又 面 ， 面 面 ， ，故 面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）
易知 ，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
设 ，可得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即 ，
令 ， ，
则
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 有最大值4，
即当 时， 的最大值为1，此时点 ，
所以 ，
所以点M到平面 的距离 ，
故当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，点 到平面 的距离为 .
2．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体 的棱长为3，动点
在底面正方形 内，且 与两个定点 ， 的距离之比为 ．(1)求动点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)求动点 到平面 的距离的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）建立平面直角坐标系根据平面上轨迹的求法求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点面距离，再由三角代换求取值范围即可.
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立平面直角坐标系，如
图，
设 ，
由 ，得
化简得 ，
即 ，
故曲线C是以 为圆心，2为半径的圆在正方形 内一段圆弧 ．
（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立平面直角坐标系，如图，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ，故 ，
由（1）可设 ，其中 ,
则 ，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
由（1）可令 ，其中 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：第二问中求圆弧上动点到平面距离范围时，首先利用向量法表示出
动点到面的距离是解题的第一个关键点，再根据圆的性质进行三角代换求距离的取值范围
是第二个关键点，本题难度较大，属于难题.
3．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直
径， 为底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 ，
．(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设 交 于点 ，连接 ，利用三角形相似证得 ，从而证得
，进而证得直线 平面 ；
（2）通过 平面 ，证得 平面 ，所以平面 平面 ；
（3）建立空间直角坐标系，设 ，通过向量 和平面 的法向量
建立直线 与平面 所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.
【详解】（1）如图，设 交 于点 ，连接 ，由圆锥的性质可知 底面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 是底面圆的内接正三角形，由 ，可得 ，
，解得 ，
又 ， ，所以 ，即 ， ，又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，直线 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ．
（2）因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（3）易知 ，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设 ，可得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即 ，令 ，
则
，
当且仅当 时，等号成立，所以当 时， 有最大值 ，
即当 时， 的最大值为1，此时点 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离 ，
故当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，点 到平面 的距离为 .
4．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，直四棱柱 的底面为平行
四边形， 分别为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求
D到平面 的距离.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量的夹角得异面直线所成的角求得 的长，
然后由空间向量法求点面距．
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，且 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由题意（1）及几何知识得，
在直四棱柱 中， ，
两两垂直，以A为坐标原点，分别以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建立
如图所示的空间直角坐标系.设 ，
则 ， ， ，
故 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
解得： ，
故
则
设平面 的一个法向量为 ，
到平面 的距离为 ，
所以 即 取 ，得 .
所以 ，
即 到平面 的距离为 .
三、专项训练
1．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 、 分别为
、 的中点，且 ， ， ．(1)证明： 平面 ．
(2)求 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理得出 ，再利用 平面 ，证 ，最后
根据线面垂直的判定定理即可证明 平面 ；’
（2）根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求距离即可.
【详解】（1）因为 、 分别为 、 的中点，所以 为 的中位线，
所以 ， ，因为 ，所以 ；
在 中， ， ， ，所以 ，
所以 ，即 ；
因为 平面 ， 平面 ，所以 ；
又 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 .
（2）
由（1）可知 、 、 两两垂直，
建立如图所示分别以 、 、 为 、 、 轴的空间直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ，设平面 的法向量为 ，则有 ，
即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设 到平面 的距离为 ，则 .
2．（23-24高二下·上海金山·期中）如图，在三棱柱 中，底面 是以 为
斜边的等腰直角三角形，侧面 为菱形，点 在底面上的投影为 的中点 ，且
.
(1)求证： ；
(2)求点 到侧面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）由点 在底面 上的投影为 的中点 ，知 平面 ，
又 平面 ， ，
是以 为斜边的等腰直角三角形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（2） ， 是 中点，侧面 是菱形， ，
是以 为斜边的等腰直角三角形， ，
， ，
由（1）知直线 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐
标系，如图，
则
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得
点 到平面 的距离为： .
3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面
为正三角形， ， ，平面 平面 ，E为棱 上一点（不与
P，B重合），平面 交棱 于点F.
(1)求证： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点B到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质定理证明线线平行；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角确定 点位置，再由空间向量法求点面距．
【详解】（1）证明：因为四边形 为矩形，所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 .
（2）如图，取 的中点O，连接 ，取 的中点G，连接 ，则 .
因为侧面 为正三角形，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以
平面 .
又 平面 ，所以 ，
以O为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如
图，
因为 ，且侧面 为正三角形，所以 .
又 ，所以
，
设 ，显然 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 得 ，则 ，
取平面 一个法向量为 ，则 ，化简得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
，
所以点B到平面 的距离为 ．
4．（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱 所有棱长均为 ，
，侧面 与底面 垂直， 、 分别是线段 、 的中点．
(1)求证： ；
(2)若点 为棱 上靠近 的三等分点，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明 平面 ，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标系，利用空间距离的向量求法，即可求得答
案;
【详解】（1）连接 ，因为三棱柱 所有棱长均为2，则 为等边三角
形，
因为 为 中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，可得 ，
由题设知四边形 为菱形，则 ，
因为 ， 分别为 ， 中点，则 ，可得 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）连接 ，因为 ， ，所以 为正三角形，所以
，
又侧面 与底面 垂直， 平面 ，侧面 底面 ，
所以 平面 ，所以 ， ， 两两垂直．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ， ，
，
点 为棱 上靠近 的三等分点，故 ，
可得 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，可得 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
5．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥 中.侧面 ⊥底面 ，
为等边三角形，四边形 为正方形，且 .(1)若 为 的中点，证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，证明出线面垂直，得到 ；
（2）证明出 ⊥平面 ，求出 ，根据等体积法求解点到平面的距离.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
为等边三角形， ，
四边形 为正方形， ，
，
又 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∴
（2）连接 ，
因为平面 ⊥底面 ，平面 底面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，且 ，
故 ，
因为 ， ，所以 ，由勾股定理得 ，
设 到平面 的距离为 ，
，
即 ，
解得 .
6．（2024·陕西·二模）在四棱锥 中，
，平面 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）由已知求解三角形可得 ，结合面面垂直的性质可得 平面
，再由线面垂直的判定得 ，再由面面垂直的判定得平面 平面
（2）利用等体积法 ，求点 到平面 的距离
【详解】（1）证明：取 中点为 ，
则 且 ，所以四边形BCDM是矩形，所以 ，
在 中， ，所以 ，所以
又平面 平面 ，平面 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面
而 平面 ，故平面 平面
（2）取 的中点 ，连 ，
由 为 的中点，可得 ，
又由平面 平面 ，平面 平面 ，可得 平面 ，
在直角梯形 中， ，可得 ，
在 中，可得 ，
在 中，由 ，可得 ，
设点 到平面 的距离为 ，
有 ，可得 ，
故点 到平面 的距离为 .
7．（2024·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱 中，底面 是直角梯
形， ∥ ，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判断定定理可得 平面 ，从而得 ，由题
意可知四边形 是正方形，所以有 ，由线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用 求解即可.
【详解】（1）证明： 在直四棱柱 中， 底面 底面
，
．
又 平面 平面 ．
平面 ．
易知四边形 是正方形， ，
又 平面 ,
平面 ．
（2）解： ．
，
．
设点 到平面 的距离为 ，
，解得 ，
点 到平面 的距离为 ．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）在长方体 中， 在线段
上，且满足 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明 平面 ，再由线面垂直的性质定得证；
（2）利用等体积法求 到平面 的距离高即可.
【详解】（1）由题意， ，所以 ，
所以 ，即 ，
又长方体中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 平面
平面 平面 .
（2）延长 到 使 ，如图，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 为异面直线 与 所成的角，设 ，
根据余弦定理 ，解得 ，
所以 .
因为 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
所以 ，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，解得 ，
即 到平面 的距离为2.
9．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，A，B，E，D四点共
面， ， ， ， ， ，F为BC的中点．(1)求证：平面ADF 平面BCE；
(2)求点E到平面ABC的距离．
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【分析】（1）利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理即可得证；
（2）在四边形 内，由 、 ，可得 互补，则由余弦定
理解得 ，进而求出点E到平面ABC的距离．
【详解】（1） ， ，
，
又 ，F为BC的中点，
，
又 ， ，
，
又 ，
.
（2） ， ，
，
连接 ，则 ，解得 ，
如图，在平面 内，过 作 ，连接 ，
则 ，
，在四边形 中，易知 互补，
则 ，
即 ，
解得 ， ， ，
即点E到平面ABC的距离为 .
10．（21-22高二上·北京·期中）在如图所示的几何体中，四边形 为正方形，
， 平面 ，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连结 ，设 ，设 为 的中点，连结 ，推导出四边
形 为平行四边形，从而 ，由此能证明 平面 ．
（2）以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求
出直线 与平面 所成角的大小．
（3）利用向量法可求点 到平面 的距离
【详解】（1）连结 ，设 ，因为四边形 为正方形，所以 为 中点．设 为 的中点，连结 ，
则 ，且 ．
由已知 ，且 ，
所以 ， ．所以四边形 为平行四边形．
所以 ，即 ．
因为 平面DEF， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）由已知 平面 ，所以 ， ，
因为四边形 为正方形，所以 ，所以 两两垂直，
以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系（如图），
因为 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，得 ．
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，因为 ，所以 ．
即直线 与平面 所成角为 ．
（3） ，平面 的一个法向量为 ，
则点 到平面 的距离 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角大小的求法，考查点到面的距离的求法，
属中档题．
