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专题16 二次函数中的相似三角形
1．已知，如图二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，
点 ，抛物线的对称轴为 ，直线 交抛物线于点 ．
（1）求二次函数的解析式并写出 点坐标；
（2）点 是 中点，点 是线段 上一动点，当 和 相似时，求点 的坐标．
2．如图，平面直角坐标系中，点 、 、 在 轴上，点 、 在 轴上， ，
， ，直线 与经过 、 、 三点的抛物线交于 、 两点，与其
对称轴交于 ．点 为线段 上一个动点（与 、 不重合）， 轴与抛物线交于点
．
（1）求经过 、 、 三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出满足条件
的点 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线 与 轴相交于 、 ，与 轴相交于点 ，过点 作
轴，交抛物线点 ．
（1）求梯形 的面积；
（2）若梯形 的对角线 、 交于点 ，求点 的坐标，并求经过 、 、 三点的抛
物线的解析式；
（3）点 是直线 上一点，且 与 相似，求符合条件的 点坐标．
4．已知二次函数 的图象与 轴分别交于 、 两点（点 在点 的左边），以
为直径作 ， 与 轴正半轴交于 ，点 为劣弧 上一动点，连接 、 两弦
相交于点 ，连接 ， ，
（1）求点 的坐标；
（2）若 的半径为3时，求 的值；
（3）请探索当点 运动到什么位置时，使得 与 相似，并给予证明．5．如图，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点， 绕点 按逆时针方向旋转
后得到 ，抛物线 经过 、 、 三点．
（1）填空： ， 、 ， 、 ， ；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3） 为抛物线的顶点，在线段 上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知：二次函数 的图象与 轴交于 ，与 轴交于点 ，
（1）求该二次函数的关系式；
（2）求点 的坐标，并判断 的形状，说明理由；
（3）点 是该抛物线 轴上方的一点，过点 作 轴于点 ，是否存在 ，使得
与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线经过 ， ， 三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2） 是抛物线上一动点，过 作 轴，垂足为 ，是否存在 点，使得以 ， ，
为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线 上方的抛物线上有一点 ，使得 的面积最大，求出点 的坐标．8．如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，交 轴于 ， 两点，连
接 ， ，已知 ， ．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1） 为 轴右侧抛物线上一动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，问：是否存在
点 使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
（2）设 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒
一个单位速度运动到 点，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 后停止，当点 的坐标
是多少时，点 在整个运动中用时最少？
9．如图，已知抛物线 （且 与 轴分别交于 、 两点， 点在 点左边，
与 轴交于 点，连接 ，过 点作 交抛物线于 点，0为坐标原点．
（1）用 表示点 的坐标 ， ；
（2）若 ，连接 ，
①求出点 的坐标；
②在 轴上找点 ，使以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求出 点坐标；（3）若在直线 上存在唯一的一点 ，连接 、 ，使 ，求 的值．
10．如图，设抛物线 与 轴交于两个不同的点 、 ，对称轴为直线
，顶点记为点 ．且 ．
（1）求 的值和抛物线的解析式；
（2）已知过点 的直线 交抛物线于另一点 ．若点 在 轴上，以点 、 、 为顶
点的三角形与 相似，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下， 的外接圆半径等于 ．（直接写答案）
11．如图，已知矩形 ，点 ， 分别在 ， 轴上，抛物线 经过 ，
两点，且与 轴交于点 ．动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿射线 方
向运动，设 运动的时间为 （秒 ，射线 交抛物线于 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ，是否存在这样的时刻 ，使得 ？若存在请求出 的值；若不存在，
请说明理由．（3）连接 和 ，若 ，求 的取值范围．
12．如图，抛物线 经过 、 ，点 在抛物线上， 轴，且 平
分 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段 上有一动点 ，过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ，求线段 的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为直角边的直角三角形？如果存在，求
出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
13．如图已知点 和点 都在抛物线 上．
（1）求 、 ；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，若四边形
为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 的交点为点 ，试在 轴上找点 ，使得以点 、 、
为顶点的三角形与 相似．14．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点， 在 的左侧），与 轴交于 ，若
，且 ．
①求抛物线的解析式；
②设抛物线的顶点为 ，点 在抛物线的对称轴上，且 ，求点 的坐标；
③在抛物线上是否存在一点 ，过 作 轴于 ，以 、 、 为顶点的三角形与
相似，若存在，求出所有符合条件的 点坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，一次函数 的图象与二次函数 图象的对称轴交于点 ．
（1）写出点 的坐标 ；
（2）将直线 沿 轴向上平移，分别交 轴于点 、交 轴于点 ，点 是该抛物线与该
动直线的一个公共点，试求当 的面积取最大值时，点 的坐标；
（3）已知点 是二次函数 图象在 轴右侧部分上的一个动点，若 的外接圆直
径为 ，试问：以 、 、 为顶点的三角形与 能否相似？若能，请求出点 的坐标；
若不能，请说明理由．16．如图，已知抛物线 的顶点坐标是 ，且经过点 ，又与 轴交于点 、 （点
在点 左边），与 轴交于点 ．
（1）抛物线 的表达式是 ；
（2）四边形 的面积等于 ；
（3）问： 与 相似吗？并说明你的理由；
（4）设抛物线 的对称轴与 轴交于点 ．另一条抛物线 经过点 与 不重合），且顶点
为 ，对称轴与 轴交于点 ，并且以 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为
顶点的三角形全等，求 、 的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．
17．如图，已知抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点 作 交抛物线于点 ，求四边形 的面积．
（3）在 轴上方的抛物线上是否存在一点 ，过 作 轴于点 ，使以 、 、 三点
为顶点的三角形与 相似．若存在，请求出 点的坐标；否则，请说明理由．18．如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交点
（1）求抛物线的解析式以及顶点 的坐标；
（2）若 是线段 的中点，连接 ，猜想线段 与线段 之间有怎样的数量关系，并证
明你的猜想；
（3）在坐标轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，请直
接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知：如图，抛物线 的顶点坐标是 ，与 轴的交点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（ 2 ） 若 ， ， 是 （ 1 ） 中 抛 物 线 上 的 点 ， ， 垂 足 为 ，
．
①求点 的坐标；
②试判定以 为直径的圆 与 轴有怎样的位置关系，并说明理由．20．已知：如图， ， ，点 的坐标为 ，抛物线过 、 、 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 作 交抛物线于点 ，求四边形 的面积；
（3）在 轴上方 轴左侧的抛物线上是否存在一点 ，过 作 轴于点 ，使以 、 、
三点为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
