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专题20 胡不归小题
1．如图：在矩形 中， ． ， 为边 上任意一点，连接 ，则
的最小值为
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图，
连接 ，
在矩形 中， ． ，
作 ，
过点 作 于点 ， 交 于点 ．此时 最小，最小值为 的长，
答： 的最小值为 ．
故选： ．
2．如图， 是圆 的直径， ，弧 ，点 是弦 上的一个动点，那么
的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解： 的度数为 ，
，
是直径，
，
，
作 ， 于 ， 于 ，连接 ．
，
，
在 中， ，
，根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小，最小值为 ，
，
，
在 中，
， ，
，
的最小值为 ，
故选： ．
3．如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上一点，点 是矩形内一点，
，则 的最小值是
A．3 B．4 C．5 D．
【解答】解：过 作 ，交 于 ， 于 ，
四边形 是矩形，
， ，
， ，，
，
点 是边 上一点，
，
即 的最小值是 ，
，
四边形 是矩形，
，
即 的最小值是3；
故选： ．
4．如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一个动点，
则 的最小值是
A． B． C． D．10
【解答】解：如图，作 于 ， 于 ．
，
，
，设 ， ，则有： ，
，
或 （舍弃），
，
， ， ，
（等腰三角形两腰上的高相等），
， ，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
方法二：作 于 ，交 于点 ，则点 满足题意．通过三角形相似或三角函数证得
，从而得到 ．
故选： ．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交
于点 ，若 是 轴上一动点，点 在 轴上，连接 ，则 的最小值是A．4 B． C． D．
【解答】解：过点 作 于 ，过点 作 于 ．
二次函数 的图象与 轴交于点 ，
，
二次函数的解析式为 ，令 ， ，
解得 或3，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为 ，
的最小值为4．
故选： ．
二．填空题（共11小题）
6．如图， 为菱形 内一点，且 到 、 两点的距离相等，若 ， ，则
的最小值为 ．
【解答】解：如图，连接 ，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
四边形 是菱形，
， ，
， 都是等边三角形，
， ，
， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
最小值为 ．
故答案为 ．
7．在平面直角坐标系中，已知， ， ， ，若 为线段 上一动点，则
的最小值为 ．
【解答】解：如图，
取一点 ，连接 ，作 于点 ， 于点 ，
在 中，
，
，即
当 时， 的值最小，最小值为 的长．
即
．
所以 的最小值为 ．
故答案为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 点，且与 轴的正半轴交于点
， 点为该抛物线对称轴上一点，则 的最小值为 6 ．
【解答】解：连接 、 ， ，作 于 ， 于 ，如图，
时， ，解得 ， ，
的坐标为 ， ，，
的坐标为 ， ，
，
而 ，
，
为等边三角形，
，
，
垂直平分 ，
，
，
当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 的长，
而 ，
的最小值为6．
故答案为：6．
9．如图， 中， ， ， ， 为边 上的一动点，则
的最小值等于 ．【解答】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
，
当点 ，点 ，点 三点共线且 时， 有最小值，即最小值为 ，
故答案为：
10．如图，在菱形 中， ， ，点 是对角线 上的一个动点．则
的最小值等于 ．
【解答】解：过点 作 交于点 ，连接 、 ，
四边形 是菱形，
、 关于 对称，
，，
，
，
，
的最小值为 ，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
11．如图，平行四边形 中， ， ， ， 为边 上的一动点，则
的最小值等于 3 ．
【解答】解：如图，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 于 ．
在 中， ， ， ，
，四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为3，
的最小值为3．
12．如图，菱形 的边长为6， ．点 是对角线 上一点（不与端点 重合），
则 的最小值为 ．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
四边形 是菱形，且 ，
，
，
，
，
，，
，
当点 ， ， 三点共线且 时，
的值最小，最小值为 的长，
的最小值为 ．
故答案为： ．
13．如图， 中， ， ， 于点 ，点 是线段 的一个动点，
则 的最小值是 ．
【解答】解：如图，作 于 ，
，
，
，设 ， ，
，
，
，
或 （舍去），， ，
，
，
，
当 、 、 三点共线时， ，
此时 ，则根据垂线段最短性质知 值最小，
此时 ．
14．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，对称轴与
轴交于点 ，若点 为 轴上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
【解答】解：
，
当 时， ，当 时， 或 ，该函数的对称轴是直线 ，
二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，对称轴与 轴交于点
，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，作 于点 ，交 轴于点 ，
， ， ，
，
即 ，
，
点 和点 关于点 对称，
的最小值就是 的长，
，
，
，
，
，
，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ， ．点 是在边 上的动点，则
的最小值是 ．【解答】解：过 点作 交于 的延长线于点 ，
，
，
，
当 时， ，
此时 ，取最小值，
， ，
， ，
，
，
故答案为： ．
16．在平面直角坐标系中， ， ， 点为 轴上一点，则 的最小值为
．
【解答】解：作 ， 垂直于 ，可知， ，当 、 、 三点共线时，最小，最小值为 长，
因为， ， ，
所以， ，
则 ，则 ，
同理可得： ，
则 ， ，
，
故答案为 ．
三．解答题（共4小题）
17．如图， 为正方形 对角线 上一动点，若 ， 的最小值是多少？
【解答】解：将 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，， ， △ ，
是等边三角形， ， ， ，
，
，
当 ， ， 在一条直线上， 有最小值，最小值是 的长，
，
，
， ，
，
，
的最小值是 ．
18．在平面直角坐标系， ，直线 经过 ，点 在直线 上运动，求
最小值．
【解答】解： 经过 ，
，
，
，过 点作 轴的垂线与 轴交于点 ， 点作 轴的平行线，过 点作该平行线的垂线，两条线
相交于点 ， 与直线 的交点为 ；
直线 与 轴的交点 ， ，
，
，
，
，
，
，
当 、 、 三点共线时， 值最小，
，
，
值最小为 ．
19．如图，正方形 的边长为4，点 是正方形内部一点，求 的最小值．【解答】解：延长 到 ，使得 ，则 ，在 的内部作射线 ，使
得 ，使得 ，连接 ， ， ．
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，，
，
的值最小，最小值为 ．
20．如图， 在平面坐标系内，点 ， ， ．点 为 轴上动点，求
的最小值．
【解答】解：如图，取 ，连接 ，作 ， 于 交 轴于 ．
， ， ，
， ， ， ，
，
，
，
，
当 与 重合， 与 重合时， 最短，最小值即为 的长，在 中， ，
的最小值为 ．
