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第 03 讲 公式法
课程标准 学习目标
1. 掌握一元二次方程根的判别式，能够判断一元二次方程根的
①一元二次方程根的判别式 情况以及根据根的情况求值。
②用公式法解一元二次方程 2. 掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，能够熟练的运用该
方法解一元二次方程。
知识点01 一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式：
用配方法解一元二次方程 ，可将方程化成 。由配方法
解方程可知，根据 与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定 与0的大小关系只
需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。
用符号 来表示。
①若 。
②若 。③若 。
【即学即练1】
1．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【即学即练2】
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．必有实数根
D．没有实数根
【即学即练3】
3．关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且k≠0 D． 且k≠0
知识点02 公式法解一元二次方程
1. 求根公式：
由 可知， 。 。我们把
它叫做一元二次方程的求根公式。
① 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
即 ； 。
② 时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③ 时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 的值带入相应的求根公式求解。
【即学即练1】4．一元二次方程x2+x﹣1＝0根的判别式的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【即学即练2】
5．若关于x的一元二次方程的根为 ，则这个方程是（ ）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
【即学即练3】
6．用公式法解方程：﹣2x2+3x﹣1＝0．
题型01 利用根的判别式判断根的情况
【典例1】一元二次方程4x2+4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【变式1】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
【变式3】已知a，b，c为常数，点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，则关于x的
方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根C．没有实数根
D．无法判断
【变式4】定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【变式5】定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的
加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的
方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
题型02 根据根的情况求未知字母的值或范围
【典例1】若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】 已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＞2且a≠1
【变式2】若一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＜ C．k≤ 且k≠1 D．k≥
【变式3】对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根，
则k的取值范围（ ）
A． B．k＞﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ 且k≠0 D．
【变式4】关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型03 根据求根公式确定方程【典例1】若关于x的一元二次方程的根为 ，则这个方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0
【变式1】用公式法解一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是 ．
【变式2】若 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
题型04 利用公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（
）
A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7
【变式1】用公式法解方程4x2+12x+3＝0，得（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【变式2】解下列一元二次方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）
【变式3】利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2．
题型04 根的判别式与一元二次方程的根的综合应用
【典例1】关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根．
（1）求解m的取值范围．
（2）若m为正整数，求此时方程的根．【变式1】已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0．
（1）若方程的一个实根是3．求实数m的值．
（2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根．
【变式2】已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根．
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（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周
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长．
【变式3】已知关于x的两个一元二次方程：
方程①：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0；方程②： +（k+2）x﹣1＝0．
（1）证明方程①总有实数根，
（2）若方程②有两个相等的实数根，求k的值．
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
2．若一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0
3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣m2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
4．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（ ）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．
5．关于x的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且m≠0 D． 且m≠0
6．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
7．问题：“解方程﹣2x2+3x＝8﹣x”，嘉嘉解得x ＝1.5，x ＝﹣2.5，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算
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的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的解是正确的
B．淇淇说得对，因为b2﹣4ac＝0
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解
D．由b2﹣4ac＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
8．定义新运算a b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3 4＝3×42﹣3×4﹣1，则方程1 x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数股
⊗ ⊗ ⊗
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
9．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x※x＝﹣1，则x的值
为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1
10．若关于x的方程 有唯一解，则该解应在（ ）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是 ．12．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是 x ＝ ，x ＝
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，那么a＝ ．
13．若a2+5ab﹣b2＝0，则 的值为 ．
14．我们规定：若a＝（x ，y ），b＝（x ，y ），则a•b＝x x +y y ．例如a＝（1，3），b＝（2，4），
1 1 2 2 1 2 1 2
则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则
x的值为 ．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的
根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为 ．
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；（用配方法） （2）（x+5）（x+1）＝12；（用配方法）
（3）5x+2＝3x2；（用公式法） （4）x（x﹣3）﹣4＝0．（用公式法）
17．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0．
（1）当m＝3时，求原方程的解．
（2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0．
（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；
（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．19．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三
角形时，求k的值．
20．【综合与实践】
[问题情境]对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），求方程的根的实质是
找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就
说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系．
[操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1．
（2）当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
[实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，求p﹣
q的值．
