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培优专题 17 与圆的切线有关的计算与证明
◎类型一：根据切线的性质求线段长
1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
2．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，
DC与⊙O相切于点C．连接BC，AC．
(1)求证：∠A＝∠BCD；(2)若∠D＝45°，⊙O的半径为2，直接写出线段AD的长．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点
D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于△点F．
(1)求证：BC⊥DE；
(2)若AB＝4，∠A＝30°，填空：
①线段AD的长为______；②线段BF的长为______．
4．（2022·江苏南通·二模）如图， 中， ，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交
AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求BF的长．
5．（2022·湖南永州·二模）如图， 是 的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且
AE=AB．(1)求∠ACB的度数；
(2)若 ，求 的半径．
◎类型二：根据切线的性质求角度
6．（2022·天津津南·一模）已知 ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，
∠BAC=36°． △
(1)如图①，若CD平分∠ACB，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE=AC，求∠P的大小．
7．（2022·江苏·九年级单元测试）已知 是 直径， ， 分别切 于点 ， ．(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，延长 到点 ，使 ，连接 ，若 ，求 的度数．
8．（2022·天津东丽·一模）如图，已知AB是 的直径，CD是 的弦，连接AD，BD．
(1)如图1，连接OC．若 ，求 及 的大小；
(2)如图2，过点C作 的切线，交DB的延长线于点E，连接OD．若 ，求 的大小．
9．（2022·天津·一模）已知△ABC内接于 ， ，连接AO并延长，交 于点D，交 于
点E．
(1)如图①，连接CD，若∠BAC=75°，求∠ADC，∠BAD的大小；
(2)如图②，过点C作 的切线，与BA的延长线相交于点F，连接BD，若BE=BD，求∠F的大小．
10．（2022·天津河北·一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．
(1)如图①，连接AC，若 ，求∠ACD的大小；
(2)如图②，E为 上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．
◎类型三：根据性质和判定求图形面积
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交
CE于D，延长CO交 O于B，连接AD、AB，AB是 O的切线．
(1)求证：AD是 O的切线．
(2)若 O的半径为4， ，求平行四边形OAEC的面积．12．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D
两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为 ，求图中阴影部分的面积．（不求近似值）
13．（2021·江苏·景山中学九年级阶段练习）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝
6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
14．（2022·广东·深圳市大鹏新区华侨中学模拟预测）如图，在 中， ， 与 ，
分别相切于点E，F， 平分 ，连接OA．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径是2，求图中阴影部分的面积．
15．（2022·湖北咸宁·模拟预测）如图， 为 的直径， 和过点 上点C的切线互相垂直，垂足
为点D， 交 于点E．
(1)求证： 平分 ；
(2)已知 ，若点E为 的中点，求图中阴影部分的面积．
◎类型四：根据切线的性质求弧长
16．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C
的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝33°，连接BC．(1)求∠B的度数．
(2)若AB＝4，求 的长．
17．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C
的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
(1)求∠B的度数；
(2)若AB＝3，求 的长．
18．（2021·全国·九年级课时练习）如图，直线 ，垂足为P，测得 ．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线 和 相切；
（2）求该圆弧的长．
20．（2019·山西阳泉·一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O 上一点，过点C作⊙O的切线DE，
AD⊥DE于点D，DE与AB的延长线交于点E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若⊙O的半径为2，∠CAB=35°，求 的长.
