专题12手拉手模型证相似（原卷版）_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_07专项讲练_微专题2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题12 手拉手模型证相似 1．如图， 且 ， ， 、 交于点 ．则下列四个 结论中，① ；② ；③ ；④ 、 、 、 四点在同一个圆上，一 定成立的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知 ．求证： ． 3．如图，在 和 中， ， ． （1） 和 相似吗？为什么？ （2）如果 ，则 成立，据此你能说明 和 相似吗？ 4．如图，在公共顶点为 的 与 中，直角边 ，若 ．求证： ．5．如图， 与 有公共的顶点 ， ， ，且 ．点 、 、 分别为 、 、 的中点． （1）如图1，当 时，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当 时，猜想线段 与 的数量关系，并说明理由． 6． 为等边三角形， 为 边上一点， 为射线 上一点， ， ， ， ， ． （1）求证： ； （2） ，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，若 ，求 的长． 7．在 和 中， ， ， ． 、 分别为 、 的中 点，连接 、 ． （1）如图1，当 时， 的值是 ，直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ；（2）如图2，当 时，求 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数； （3）如图3，当 时，若点 为 的中点，点 在直线 上，请直接写出点 、 、 在同一直线上时 的值． 8．（1）如图①，将 绕点 旋转任意角度得到△ ，连接 、 ，证明： ． （2）如图②，四边形 和四边形 均为正方形，连接 ， ，求 的值． 9．在 中， ， ， ， 为 边上一点，点 ， 分别在边 ， 上， ． （1）如图1，当 为 中点时， ； （2）如图2，若 ，求 的值．10．已知：点 、 、 在同一条直线上， ，线段 、 交于点 ． （1）如图1，若 ， ①问线段 与 有怎样的数量关系？并说明理由； ②求 的大小（用 表示）； （2）如图 2，若 ， ，则线段 与 的数量关系为 ， （用 表示）； （3）在（2）的条件下，把 绕点 逆时针旋转 ，在备用图中作出旋转后的图形（要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 并延长交 于点 ．则 （用 表示）． 11．若 绕点 逆时针旋转 后，与 构成位似图形，则我们称 与 互为“旋 转位似图形”． （1）知识理解： 如图1， 与 互为“旋转位似图形”．①若 ， ， ，则 ； ②若 ， ， ，则 （2）知识运用： 如图2，在四边形 中， ， 于点 ， ，求证： 与 互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高： 如图3， 为等边三角形，点 为 的中点，点 是 边上的一点，点 为 延长线上 的一点，点 在线段 上，且 与 互为“旋转位似图形”．若 ， ，求 的值． 12．（1）问题发现 （1）如图1， 和 均为等边三角形，直线 和直线 交于点 ． 填空：① 的度数是 ；②线段 ， 之间的数量关系为 ； （2）类比探究 如图2， 和 均为等腰直角三角形， ， ， ，直 线 和直线 交于点 ．请判断 的度数及线段 ， 之间的数量关系，并说明理 由． （3）解决问题 如图3，在 中， ， ， ，点 在 边上， 于点 ， ，将 绕着点 在平面内旋转，请直接写出直线 经过点 时，点 到直线 的距离． 13．如图，将 绕点 逆时针旋转 后， 与 构成位似图形，我们称 与 互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是” “旋转位似图形”； 如图1， 和 互为“旋转位似图形”， ①若 ， ， ，则 ； ②若 ， ， ，则 ； （2）知识运用： 如图2，在四边形 中， ， 于 ， ，求证： 和 互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图3， 为等腰直角三角形，点 为 中点，点 是 上一点， 是 延长线上一点， 点 在线段 上，且 与 互为“旋转位似图形”，若 ， ，求出 和 的值． 14．已知正方形 ，动点 在 上运动，过点 作 射线 于点 ，连接 ． （1）如图1，在 上取一点 ，使 ，连接 ，求证： ； （2）如图2，点 在 延长线上，求证： ； （3）如图3，若把正方形 改为矩形 ，且 ，其他条件不变，请猜想 ， 和 的数量关系，直接写出结论，不必证明．15．（1）问题发现： 如图1， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ． ①线段 ， 之间的数量关系为 ； ② 的度数为 ． （2）拓展探究： 如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一直线 上，连接 ，求 的值及 的度数； （3）解决问题： 如图3，在正方形 中， ，若点 满足 ，且 ，请直接写出点 到直线 的距离． 16．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转 变换进行研究．如图（1），已知 和 均为等腰直角三角形，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ． （1）观察猜想 小华将 绕点 逆时针旋转，连接 ， ，如图（2），当 的延长线恰好经过点 时， ① 的值为 ；② 的度数为 度； （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转 ，连接 ， ，设 的延长线交 于点 ，请求出 的值及 的度数，并说明理由． （3）拓展延伸 若 ， ，当 所在的直线垂直于 时，请你直接写出 的长．