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专题19 瓜豆小题
1．如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动
点，连接 ，以 为斜边在 的上方作 ，且使 ，连接 ，则 长的
最大值为 ．
2．如图， ， ，当点 在 上运动时，作等腰 ， ，则 ，
两点间距离的最小值为 ．
3．如图，正方形 的边长为2， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连
接 ，以 为底向右侧作等腰直角 ，连接 ，则 的最小值为 ．
4．如图，已知点 是第一象限内的一个定点，若点 是以 为圆心，2个单位长为半径的圆上的
一个动点，连接 ，以 为边向 右侧作等边三角形 ．当点 在 上运动一周时，点
运动的路径长是 ．5．如图，正方形 的边长为8， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连
接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为 ．
6．如图，菱形 的边长为4， ， 是 的中点， 是对角线 上的动点，连接
，将线段 绕点 按逆时针旋转 ， 为点 对应点，连接 ，则 的最小值为 ．
7．已知边长为6的等边 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在点 运动的过程中，当线段 长度的最小值时，
的长度为 ．
8．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 在线段
上从点 至点 运动，连接 ，以 为边作等边三角形 ，点 和点 分别位于 两
侧，则点 运动的路程长是 ．
9．如图，在 中， ， ， ，点 在以 为直径的半圆上运动，
由点 运动到点 ，连接 ，点 是 的中点，则点 经过的路径长为 ．10．如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连
接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为 ．
11．如图，已知点 ， ， ，动点 在线段 上，点 、 、 按逆时针顺
序排列，且 ， ，当点 从点 运动到点 时，则点 运动的路径长为 ．
12．如图，在 中， ，点 在 边上， ， ，点 是边 所在直
线上的一动点，连接 ，将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值
为 ．
13．如图， 的直径 ， 为 上动点，连结 ，将 绕点 逆时针旋转 得到，连结 ，则 的最大值为 ．
14．如图，矩形 中， ， ，点 为对角线 上一动点， ， ，
于点 ，连接 ，当 最小时， 的长为 ．
二．解答题（共4小题）
15．如图，在等边 中， ， ，垂足为 ，点 为 边上中点，点 为直线
上一点．当点 为 中点，点 在边 上，且 ，点 从 中点 沿射线
运动，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，当 最小时，直接写出
的面积．
16．若 ，以点 为圆心，2为半径作圆，点 为该圆上的动点，连接 ．
（1）如图1，取点 ，使 为等腰直角三角形， ，将点 绕点 顺时针旋转
得到 ．
①点 的轨迹是 （填“线段”或者“圆” ；
② 的最小值是 ；（2）如图2，以 为边作等边 （点 、 、 按照顺时针方向排列），在点 运动过程
中，求 的最大值．
（3）如图3，将点 绕点 逆时针旋转 ，得到点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
17．如图， 的半径为2， 到定点 的距离为5，点 在 上，点 是线段 的中点，若
在 上运动一周．
（1）点 的运动路径是一个圆；
（2） 始终是一个等边三角形，直接写出 长的取值范围．
（1）思路引导
要证点 运动的路径是一个圆，只要证点 到
定点 的距离等于定长 ，由图中的定点、定
长
可以发现 ， ．
18．如图①，二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，
连接 ，点 是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．
（2）当点 不与点 、 重合时，作直线 ，交直线 于点 ，若 的面积是 面
积的4倍，求点 的横坐标．
（3）如图②，当点 在第一象限时，连接 ，交线段 于点 ，以 为斜边向 外作
等腰直角三角形 ，连接 ， 的面积是否变化？如果不变，请求出 的面积；如
果变化，请说明理由．
