文档内容
24.3-24.4 弧、弦、圆心角 圆周角
考点一：弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做__圆心角_.
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等_，所对的弦也_相等_.
（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
考点四：圆周角
（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.
（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的___一半____.
（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的__一半___.
（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_____直角________，90°的圆周角所对的弦是____直径___________.
（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_____圆内接多边形 ________，这个圆叫
做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的____对角互补__________.
题型一：弧、弦、圆心角关系求解
1．（2022·全国·九年级）如图，BD是 的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若 ， ，
则 的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学三模）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且 ．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若 ，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是
⊙O上的两点，且 ，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm
题型二：：弧、弦、圆心角关系求证
4．（2022·安徽滁州·九年级期末）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、
N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：① = ；②OM=ON；③PA=PC；
④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·山东德州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；② ；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝ AB；④若M为 的中点，
则D为OB中点；所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝
25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③ ＝ ；④AD＝2OE
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
题型三：求圆弧的度数问题
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
8．（2011·河南·中考模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠C= 45º，AB=4，则⊙O的半径为【 】A．2 B．4 C．2 D．
9．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，梯形ABCD中， ，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O
相切于A点 若 ，则 的度数为何？（ ）
A．116 B．120 C．122 D．128
题型四：圆周角定理
10．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
两条弧；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④圆是轴对
称图形，直径所在的直线是圆的对称轴．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，等腰 内接于 ，其中 ，下列结论不一定成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠CDB=26°，则
∠AOC的度数（ ）A．108° B．154° C．118° D．128°
题型五：等（同）弧所对圆周角问题
13．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB=24°
，则∠ADC的度数为（ ）
A．124° B．114° C．116° D．126°
14．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，CD是 的直径， 上的两点A，B分别在直径CD
的两侧，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·四川广元·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝
44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55° B．64° C．65° D．70°
题型六：90°所对的圆周角是直径问题
16．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，若∠A＝
30°，则∠B的度数为（ ）A．70° B．90° C．40° D．60°
17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，
PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6 B． ﹣3 C． ﹣4 D． ﹣4
18．（2021·山西实验中学模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝
18°，D为 的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．36° B．44° C．52° D．55°
题型七：圆内接多边形问题
19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，
∠BDC＝75°，则∠C的度数为（ ）A．55° B．60° C．65° D．70°
20．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．90°
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的
长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
题型八：圆心角、圆周角的综合问题
22．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．(1)如图1，若 为120°， 为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
23．（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，点F是
延长线上的一点，且 平分 ， 于点E．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
24．（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，
且OD⊥AC，OD与AC交于点E．
(1)若∠CAB＝20°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝8，AC＝6，求DE的长．
一、单选题
25．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
26．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是 的中点，若⊙O的半径为
5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
27．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点， ，弦
于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则 的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
28．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， = = ，点E是点D关
于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的
最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2021·陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）如图， 的弦 、 相交于点 ，且 ．求证：
．
30．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，AB是 的直径，弦AD平分 ，过点D分别作 ，
，垂足分别为E、F， 与AC交于点G．
(1)求证： ；
(2)若 的半径 ， ，求AG长．
一：选择题
31．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图， 是⊙ 的直径，弦 于
点 ， ，⊙ 的半径为 ，则弦 的长为（ ）A．3 B． C． D．9
32．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图，在 中，已知直径 垂直弦 ， ，那么
的度数等于（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·全国·九年级单元测试）如图， 是直径，点 ， 在半圆 上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图， ABC内接于⊙O，连结OA，OC．若∠ABC=70°，则
∠OCA的度数为（ ） △A．20° B．25° C．30° D．40°
35．（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级期末）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC
的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝( )
A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN
36．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在△ABC中， ， ，点D，E分别在AC和BC上，
，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，则⊙O的直径是（ ）
A． B．2 C． D．5
二、填空题
37．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB
的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数=______．38．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A、B、C、D均在 上，若 ， ，则∠B的度
数为______．
39．（2022·安徽淮南·一模）如图，在扇形BOC中， ，OD平分 交弧BC于点D．点E为半径
OB上一动点，若 ，则 长的最小值为______．
40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点， ，∠B＝116°，则∠D
的度数为______度．
41．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB
的长为3，则AB的长为_____．42．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在 中、三条劣弧 、 、 的长都相等，弦 与 相交于
点 ，弦 与 的延长线相交于点 ，且 ，则 的度数为________．
43．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点N是线段BC的中点，点
E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为_____．
三、解答题
44．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图， 为 的直径， ，连接 ．点在 上， ，求证：
(1) 平分 ；
(2) ．
45．（2022·浙江·金华市第四中学九年级）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为 的中点，
OD与AC交于点E．
(1)证明：
(2)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(3)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
46．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O
的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
47．（2022·全国·九年级）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，
连DF交AB于点G．
(1)求证：CD＝EF；
(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝2 ，求OG的长．
48．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）问题提出(1)如图1，A、B为⊙O外的两点，请在⊙O上画出所有使得AC＋BC的值最小的C点．
问题探究
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4，求BC＋CD的值；
问题解决
(3)如图3，某城市要修建一块草坪，草坪由三条线段AB、BC、CD和圆弧AD周成，计划在圆弧AD段用花来布置
成标志性造型，AB和CD段栽种观赏性树木，BC临湖．已知点E为BC上一点，BE＝CE＝6， 长为4 ，且
上任意一点F，满足∠BFE＝30°，为了降低成本，现计划使得AB＋CD最小，求AB＋CD的最小值．
49．（2022·全国·九年级）（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题
变得非常容易．
例如：如图1，在 ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是 ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点
△ △A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容
易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点
H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．1．C
【分析】先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即
可得到答案．
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴ ，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵ ，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与
判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
2．C
【分析】先由 得出 再利用∠DAB＝30°通过解直角三角形AOE求出OE的长即可得
到CE的长．
【详解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴ (负值舍去)
∴
故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系和勾股定理等知识，熟练掌握树敌太多一口价解答本题的关键．
3．B
【分析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由 可得
=2cm，于是可以求出结果．
【详解】解：如图,连接OD、OC．
，
∠AOD=∠DOC=∠COB， ；
∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；
OA=OD，
△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，
AD=OD=OA=2cm；
，
AD=CD=BC=OA=2cm；
四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB= cm;
故选：B．
【点睛】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．
4．D
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，∴ = ，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．
5．B
【分析】连接OM，ON，BN，先证明四边形CMND是矩形，得到CM=DN，然后证明Rt△OCM≌Rt△ODN得到
OC=OD，∠COM=∠DON，即可判断①②；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，则CM=2OC，
， ，即可判断③；若M是 的中点，可得
∠AOM=∠MON=∠BON=60°，则△ONB是等边三角形，即可判断④．
【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
又∵OM=ON，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确；
当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，
∵OC=OD，
∴CM=2OC，
∴ ，
∴ ，故③错误；
若M是 的中点，
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD=BD，故④正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质
等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
6．B
【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
【详解】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE， ， ，
∴∠BOC=2∠A=40°， ，
即 ，故③正确；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解 ，再求解 ，从而可得
，再利用周角的含义可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．∴ 的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心
角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
8．A
【详解】解：连接OA，OB
∵∠C=45°
∴∠AOB=90°
又∵OA=OB，AB=4
∴OA= ．
故选A．
9．D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和 求得AM垂直平分BC，进而得
到 的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，的度数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造
等腰三角形，求出 所对的圆周角．
10．A
【分析】根据垂径定理、圆周角定理、轴对称和等弧的知识点一一判断即可．
【详解】解：①平分弦的直径不一定垂直于弦，不一定平分弦所对的两条弧，故原说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原说法错误；
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误；
④圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法正确；
综上所述，正确的说法有1个；
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握相应的知识点是解题的关键．
11．C
【分析】根据等腰三角形的性质可判断A，根据全等三角形的判定与性质可判断B，根据圆周角定理可判断C和
D．
【详解】解：A．∵OB=OC，
∴∠1=∠2，故A正确；
B．∵AB=BC，AO=CO，BO=BO，
∴△AOB≌△COB，
∴∠1=∠4， ∠2=∠ABO，
∴∠1=∠4=∠2=∠ABO，故B正确；
C．∵∠AOB=2∠ACB=2∠1+2∠ACO，故C错误；
D．∵∠AOC=2∠ABC=2∠2+2∠ABO=4∠2，∠1=∠2，
∴∠AOC=4∠1，故D正确．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角定理等知识，熟练掌握圆
周角定理是解答本题的关键．
12．D
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠CDB=52°，然后利用邻补角的定义计算∠AOC的度数．
【详解】解：∵∠BOC和∠CDB都对 ，
∴∠BOC=2∠CDB=2×26°=52°，∴∠AOC=180°-∠BOC=128°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
13．B
【分析】连接BD，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠CAB＝24°，即可得到∠ADC的度数．
【详解】解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝24°+90°＝114°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
14．C
【分析】连接BD，由直径所对的圆周角等于90度可得 ，进而可知 ，再由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图；连接BD，
∵ 是 的直径，
，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90度，掌握圆周角定理和推论是解题的关键．
15．B【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到 ，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝
∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．
【详解】解：∵BC＝CD，
∴ ，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是 ，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
16．D
【分析】根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB=90°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．
17．C
【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求
解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，
此时PC取得最小值，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，
∴OB=OP= AB=4，
由勾股定理得CO= ，
PC=
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外
一点到圆的最小、最大距离．
18．A
【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D＝108°，根据圆心角、弧、
弦三者的关系定理解答即可．
【详解】解：∵BC为圆O的直径，
∴ ，
∴
∵四边形ABCD为圆O内接四边形，
∴ ，
∴
因为D为弧AC中点，
∴
∴AD＝CD．
∴ ．
∴
故选：A
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的对角互补，弧、弦、角关系，以及直径对的圆周角是直角等相关知识点，
根据题意找出相关的角度关系是解题关键．
19．D【分析】根据圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，进行计算即可．
【详解】解：∵AB＝AD＝CD，
∴ ，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，
设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
即3x+75°＝180°，
解得：x＝35°，
∴∠DBC＝35°，
在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，
∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．
故选D．
【点睛】本题考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．A
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B，再利用圆周角定理求出∠CAB即可．
【详解】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
21．D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得
出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出
∠A+∠C=180°是解此题的关键．
22．(1)∠E＝35°
(2)见解析
【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；
（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.
（1）
连接AC，
∵ 为120°， 为50°，
∴ ， ，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）
证明：连接AC、BD，∵ ，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的
关键．
23．(1)见解析
(2)14
【分析】（1）由同弧所对圆周角相等得出∠ACB=∠ADB．根据四边形的外接圆性质，可以得∠ADF=∠ABC．利用
AD平分∠BDF，可以得到∠ADF=∠ADB，从而得出∠ABC=∠ACB，即证明AB=AC；
（2）过A作BD的垂线于点G，构造两个全等三角形 AED AGD和 AGB ACE，得出GD=ED，BG=CE ，
即可求得CD长． △ ≅△ △ ≅△
（1）
∵ AD平分∠BDF ，
∴∠ADF=∠ADB．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ADF=∠ABC，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC ．
（2）如图，过点A作AG⊥BD于点G．
∵ AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴ AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°．
又∵AD=AD，
∴ AED≌ AGD(HL)，
∴△GD=ED△=2．
在Rt AEC和Rt AGB中， ，
△ △
∴ AEC≌ AGB(HL)，
∴△BG=CE．△
∵BD=18，
∴BG=BD-GD=18-2=16，
∴CE=BG=16，
∴CD=CE-DE=16-2=14．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，
等腰三角形的判定等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
24．(1)∠CAD=35°；
(2)DE=4- ．
【分析】（1）由OD⊥AC，求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，进一步计算即可求解；
（2）由勾股定理求出BC，根据垂径定理得出AE=EC，再根据三角形中位线定理求出OE，结合图形进一步计算即
可求解．
（1）
解：∵OD⊥AC，
∴∠AOD=90°-∠CAB=70°，
∵OA=OD，
∴∠OAD= =55°，∴∠CAD=55°-20°=35°；
（2）
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵AB=8，AC=6，
∴BC= ，
∵OD⊥AC，
∴AE=EC，
∵OA=OB=OD=4，
∴OE= BC= ，
∴DE=4- ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、灵活
运用勾股定理是解题的关键．
25．D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A进行判断，根据对称轴的定义对B进行判断，根据垂径定理的推论对C
进行判断，根据圆周角定理的推论对D进行判断．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆
周角定理的推论．
26．D
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得 OAC和 OBC都是等
边三角形，即可解决问题． △ △
【详解】解：连OC，如图，∵C是 的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和 OBC都是等边三角形，
△
∴S AOBC= ．
四边形
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角
形的判定与性质．
27．D
【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三
角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵ ，
∴∠CAB=2∠ABC，
∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=30°，
∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，
∴AH=CH=HG，
∴∠CAH=∠ACE=30°，
∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．
28．B
【分析】根据 = = 和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即
可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得
出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．
【详解】解：∵ = = ，点E是点D关于AB的对称点，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= ×180°=60°，∴①错误；
∠CED= ∠COD= ×60°=30°= ∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；
∵ 的度数是60°，
∴ 的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵ = = = ，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= ×120°=60°，∠CFD= ×60°=30°，
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M
的位置是解此题的关键．
29．详见解析
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【详解】证明： ，
，
，
即 ，
，
；
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
30．(1)见详解
(2)AG= 8．
【分析】（1）连接BD，GD，证明 ，即可得到结论；
（2）先证明 ，可得AE=AF，结合EG＝BF=2，即可得到答案．
（1）
解：连接BD，GD，
∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AC、DF⊥AB，
∴DE=DF，∠DEG=∠DFB=90°，
∵∠GAD=∠FAD，
∴ ，
∴DG=DB，在Rt DEG和Rt DFB中，
△ △
，
∴ （HL），
∴EG＝BF；
（2）
解：∵∠GAD=∠FAD，∠DEG=∠DFB=90°，AD=AD，
∴ （AAS），
∴AE=AF，
∵⊙O的半径r＝6，BF＝2，
∴AE=AF=2×6-2=10，
∵EG＝BF=2，
∴AG=AE-EG=10-2=8．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，圆周角与弧，弧与弦关系，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构
造全等三角形的性质是解题的关键．
31．C
【分析】先根据圆周角定理得到∠COB=60°，再根据垂径定理得到CE=DE，然后利用含30度的直角三角形三边的
关系求出CE，从而得到CD的长．
【详解】解：∵ ，
∴∠BOC=60°，
∵ ，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=30°，
∴OC=2OE，
∵⊙ 的半径为 ，即OC=2，
∴OE=1，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，
勾股定理．
32．C
【分析】连接 ，由等腰三角形的“三线合一”可得 ，从而利用圆周角定理即可求解．【详解】解：连接 ，
直径 垂直弦 ， ，OC=OD，
，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
33．C
【分析】连接BC，由直径所对的圆周角是直角可求得∠B的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得∠ADC的度
数．
【详解】解：连接 ，
是直径，
，
，
，
四边形 是圆的内接四边形，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键．
34．A
【分析】先根据等腰三角形性质得∠OCA=∠OAC，GMF 由圆周角定理求得∠AOC=140°，然后利用三角形内角和
求解即可．【详解】解：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°，
∴∠OCA= =20°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
35．D
【分析】在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出∠ADC+∠B＝180°，由MN
BC，得出∠AMN+∠ADN＝180°，可得到A，D，N，M四点共圆，可得∠MND+∠MAD＝180°再由AE，DE分别平
分∠BAD，∠CDA，A，F，E，D四点共圆，由∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝
∠ADE＝∠AFM，可得出MA＝MF，即得出MN＝MF+NF＝MA+ND．
【详解】解：如图，在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF
∴∠NFD＝∠NDF，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵MN BC，
∴∠AMN＝∠B，
∴∠AMN+∠ADN＝180°，
∴A，D，N，M四点共圆，
∴∠MND+∠MAD＝180°，
∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠END+2∠DFN＝∠END+2∠DAE＝180°，
∴∠DFN＝∠DAE，
∴A，F，E，D四点共圆，
∴∠DEN＝∠DAF，∠AFM＝∠ADE，
∵∠MND+∠MAD＝180°，
∴∠MAF+∠DAF+∠MND＝180°∴∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND
＝180°﹣∠DEN﹣∠MND
＝∠EDN＝∠ADE
＝∠AFM，
∴MA＝MF，
∴MN＝MF+NF＝MA+ND．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了四点共圆，解题的关键是正确作出辅助线，利用四点共圆求解．
36．C
【分析】作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，然后证明△DFG≌△EFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即
可求出DE的长度．
【详解】解：作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，如图
则四边形BCGF是矩形， ， ，
∵ ，点F是AB的中点，
∴ ，
∴四边形BCGF是正方形，
∴∠GFH=90°，
∵DE是直径，则∠DFE=90°，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△DFG≌△EFH，
∴DF=EF，
∵在直角△DFG中， ， ，
∴ ，
在直角△DEF中，；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，证明
DF=EF．
37．55°##55度
【分析】连接OC，根据C是弧DB的中点，∠DCB＝110°，得出∠OCB的度数，然后证明OC和OB相等，即可
使用等边对等角求出∠ABC的度数．
【详解】连接OC，
∵C是弧DB的中点，∠DCB＝110°，
∴∠DCO=∠BCO=110°÷2=55°，
∵AB是圆的直径，O是圆心，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB=55°，
故答案为55°．
【点睛】本题考查了与圆有关的性质、等腰三角形相关的性质，正确作出辅助线并使用该性质进行证明是解决本
题的关键．
38．57.5°
【分析】根据平行线的性质得出∠ODC=∠AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出
∠ODA=∠OAD= （180°-∠AOD）=57.5°，求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC=180°，
再求出答案即可．
【详解】解：连接AD，∵∠AOD=68°，AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=65°，
∵∠AOD=65°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD= （180°-∠AOD）=57.5°，
∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=57.5°，
故答案为：57.5°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识
点，能求出∠ADC的度数是解此题的关键．
39．
【分析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，利用轴对称的性质，得出当点E
移动到点E'时， 长最小，此时的最小值为CD'的长度．
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′= ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质及圆心角与圆弧的关系是正确计算的前提，理解轴对称解
决路程最短问题是关键．
40．128
【分析】连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．【详解】解：连接AD．
∵ ，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故选：128．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
41．
【分析】首先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，然后解直角三角形求出AB的长．
【详解】根据题意可知，
，
∠AOB=2∠ACB= ，
又知OA=OB=3，
故答案为: ．
【点睛】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键.
42． ##70度
【分析】连接 ，由弧 、 、 的长相等，可得 ，设 ，在
中，根据三角形内角和定理建立方程，解方程求得 的值，进而即可求解．
【详解】解：连接 ，弧 、 、 的长相等，
，
设 ，
，
，
，
在 中， ，
解得 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，三角形的外角与内角和，掌握弧与圆周角的的关系是解题的关键．
43． ##
【分析】作 关于 的对称点 ，取 中点 ，连接 ， ， ，由题意可得出 点的运动轨迹，同
时通过作点 关于 的对称点 的方式可以将 进行转换，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，作 关于 的对称点 ，取 中点 ，连接 ， ， ．
可得 ，
在以 为直径的圆上，
，
为直角三角形，点M在以CD为直径的圆上，
为 斜边的中点，
，此时当 ， ， 三边共线时，有 长度的最小值等于 ，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
，
长度的最小值为 ，
，
的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了轴对称问题、勾股定理、直角三角形斜边中线定理及圆的基本性质，本题的重难点在于
找出 点的运动轨迹，属于中等题．
44．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等弦对等弧可知 ，再根据等弧所对的圆周角相等即可进行证明；
（2）连接 、 ，根据等边对等角可得 ， ， ，根据角度之间的
等量代换可得 ，即可得到AB=AC，最后得出AB=BE，即可 ，则 ．
（1）
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
（2）
连接 、 ，∵ 、 、 是 半径，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握同圆同的各个角度关系是解题的
关键．
45．(1)见解析
(2)35°
(3)
【分析】（1）根据D为 的中点，可得OD⊥AC，再由直径随对的圆周角是直角得到BC⊥AC，即可求证；
（2）根据D为 的中点，可得OD⊥AC， ，则 ，再由平行线的性质求出
∠AOD=∠B=70°，即可利用圆周角定理求解；（3）根据勾股定理可得 ，再根据垂径定理可得AE=CE，然后根据三角形中位线定理可得OE的长，即可
求解．
（1）
证明： ∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴ ；
（2）
解：如图所示，连接OC，
∵D为 的中点，
∴OD⊥AC， ，
∴
∵
∵∠AOD=∠B=70°，
∴ ；
（3）
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴ ，OA=OD=2，
∵D为 的中点，
∴AE=CE，
∵OA=OB，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质与判定等知识，
熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
46．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圆
周角定理得出∠BEA=∠ACD，再由同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，即可得出结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．
（1）
证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵ ，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
（2）
解：连接OC，如图所示：
∴∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝ ∠AOC，
∵ ，
∴ ，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴ ，
∴AO＝CO＝5，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、余角的性质、三角形内角和定理，
熟练掌握圆周角定理，作出辅助线，证明△AOC是等腰直角三角形是解决问题的关键．
47．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，利用HL证明Rt OFM≌Rt ODN，可
得FM=DN，进而可得结论； △ △
（2）根据PE：PF=1：3，可以设PE=x，PF=3x，则EF=PE+PF=4x，利用含30度角的直角三角形可得OM=
x，OP= x，然后证明Rt OPM≌Rt OPN，可得PM=PN，再证明 PDF是等边三角形，可得DF=PF=3x，FG=
△ △ △
DF= ，然后根据勾股定理即可求出OG的长．
（1）
证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，
则∠OMF=∠OND=90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，
∴OM=ON，
在Rt△OFM和Rt△ODN中，
∵ ，
∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），
∴FM=DN，
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴EF=2FM，CD=2DN，
∴CD=EF；
（2）
解：∵PE：PF=1：3，
∴设PE=x，PF=3x，
∴EF=PE+PF=4x，
∵OM⊥EF，
∴EM=FM= EF=2x，
∴PM=EM-PE=2x-x=x，
∵PB平分∠DPF，∠DPF=60°，
∴∠FPB=DPB= ∠DPF=30°，
∴OM= x，OP= x，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴PM=PN，
由（1）知：FM=DN，∴PM+FM=PN+DN，
∴PF=PD，
∵∠DPF=60°，
∴△PDF是等边三角形，
∵PB平分∠DPF，
∴PB⊥DF，垂足为G，
∴DF=PF=3x，FG= DF= ，
∴PG= ，
∴OG=PG-OP= ，
∵AB=2 ，
∴OF= AB= ，
在Rt△OFG中，根据勾股定理，得
，
∴ ，
整理，得 =3，
解得x=± （负值舍去），
∴x= ，
∴OG= ．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三
角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是考查学生综合分析解决问题的能力．
48．(1)见解析
(2)
(3)【分析】（1）利用两点之间线段最短求解；
（2）利用AAS证明 ，推出 ， ，进而得出 ，再证四边形
ANCM是正方形，结合AC＝4，利用勾股定理求出正方形ANCM的边长，即可求解；
（3）如图（见解析）作辅助线，找出点F所在圆的圆心，证明 ，推出 ，进而得出
，从而将AB与CD转化为一个三角形的两个边，依靠三角形的三边关系进行求解．
（1）
解：如图所示，连接AB，AB与⊙O的交点 和 为所求C点；
（2）
解：如图，作 于点M，作 交BC的延长线于点N，
则 ，
又∵ ，
∴四边形ANCM是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形ANCM是矩形， ，∴四边形ANCM是正方形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
（3）
解：∵点F在运动的过程中，满足 ，
∴点F可看作是在以BE为弦的圆上运动， 为弦BE所对的圆周角，
∴弦BE所对的圆心角为： ，
以BE为边向上作等边三角形BEO，可得点O为动点F所在圆的圆心，圆O的半径为6．
连接OA，OD，延长EO与圆O交于点G，连接GD．
∵ 长为4 ，半径 ，
∴ ，
又由等边三角形的性质知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当G，D，C三点共线时， 取最小值， 取最小值，最小值为GC．
连接GB，如下图所示：此时，G点与D点重合，A点与B点重合，
∵GE是直径，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 中， ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的应用，等边三角形的性质，勾
股定理解直角三角形等知识点，综合性很强，属于压轴题，第三问难度很大，将 转化为 ，得出
的最小值为GC是解题的关键．
49．（1）45；（2）27°；（3）2 ﹣2
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明 ABE和
DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明 ADG和 CDG全等，根据全△等三角形对
△应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的△中点O，△连接OH、OD，根据直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知
当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝ ∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，
取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝27°，
∴∠BAC＝27°，
（3）如图3，
在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在 ABE和 DCF中，
△ △，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在 ADG和 CDG中，
△ △
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝ AB＝2，
在Rt AOD中，OD＝ ＝ ＝2 ，
△
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
、
