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专题21 相似应用
1．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在
阳光下，分别测得该建筑物 的影长 为16米， 的影长 为20米，小明的影长 为
2.4 米，其中 、 、 、 、 五点在同一直线上， 、 、 三点在同一直线上，且
， ．已知小明的身高 为1.8米，求旗杆的高 ．
【解答】解：解法一： ，
，
，
，
，即 ，
，
同理得 ，
，即 ，
，
（米 ；
解法二：如图，过点 作 于 ，交 于 ，，
，即 ，
，
即 （米 ，
答：旗杆的高 是3米．
2．如图，利用标杆 测量楼高，点 ， ， 在同一直线上， ， ，垂足分
别为 ， ．若测得 ， ， ，楼高 是多少？
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
答：楼高 是 ．
3．如图，一块材料的形状是锐角三角形 ，边 ，高 ，把它加工成正方
形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 、 上，这个正方形零件的边长是多少？
【解答】解： 四边形 为正方形，
，
；
设正方形零件的边长为 ，则 ， ，
，
，
，
解得： ．
答：正方形零件的边长为 ．
4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边
的一棵大树，将其底部作为点 ，在他们所在的岸边选择了点 ，使得 与河岸垂直，并在
点竖起标杆 ，再在 的延长线上选择点 ，竖起标杆 ，使得点 与点 、 共线．
已知： ， ，测得 ， ， ．测量示意图如图所示．请
根据相关测量信息，求河宽 ．
【解答】解： ，
，，
，
，
经检验： 是分式方程的解，
答：河宽 的长为17米．
5．小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度 ，他在楼门前水平地面上
选择一条直线 ， ，在 上距离 点8米的 处竖立标杆 ， ，他沿着
方向走了2米到点 处，发现他的视线从 处通过标杆的顶端 正好落在遮雨玻璃的 点处，
继续沿原方向再走2米到点 处，发现他的视线从 处通过标杆的顶端 正好落在遮雨玻璃的
点处，求遮雨玻璃的水平宽度 ．
【解答】解：连接 ，过 作 于点 ，延长 交 于 ，交 于 ，则
， ，
，
，
，，
，
，
，即 ，
，
答：遮雨玻璃的水平宽度 为 ．
6．5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近
平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立 100周年升起了共青团旗帜，
李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度 ，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在
处竖立一根标杆 ，地面上的点 、标杆顶端 和点 在一条直线上， 米，
米， 米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板 ，使长直角边 与水平地面平行，调
整位置，恰好在 点时点 、 、 在一条直线上， 米， 米， ，已
知 ， ， ，点 、 、 、 在同一水平直线上，点 在 上，求
旗帜的宽度 ．
【解答】解：如图，延长 交 于 ，则 ， ，
， ，
，
，，即 ，
，
同理得： ，
，
，
，
（米 ．
答：旗帜的宽度 是1.3米．
7．小丽和小明想测量河对岸一建筑物 的高度．如图，他们先在地面上放一面平面镜 ，小丽
在射线 上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到建筑物的顶端 ，此时她与镜子的
距离 米，然后小明在距离建筑物6米处安装了一个测倾器 ，测得 ，若小丽
的眼睛距离地面高度 米， 米， ， ， ，点 ， ， ，
在同一条直线上．请你利用这些数据，求建筑物的高度 ．（结果精确到0.1米，参考数据
， ．
【解答】解：由题意得： 米，
， ， ，
，
在 中， ， 米，
，
（米 ，
（米 ，， ，
，
，
即 ，
解得： （米 ，
答：建筑物的高度 约为6.2米．
8．毕业季临近，我校为学生搭建了“理想之门”，希望同学们跨越理想之门，走向成功之路．
“理想之门”最高处直立于点 之上，周围有圆柱体底座，不能直接测量到 点，小明想利用所
学的数学知识测量 的高度．阳光下，他在点 处放一镜子（处于“理想之门”的影子中），并
作一标记，来回走动，走到点 时，看到“理想之门”顶点 在镜面中的像与镜面上的标记重合，
这时，测得小明眼睛与地面的高度 米， 米．然后，小明从点 沿 方向走了1
米，到达“理想之门”影子的末端 处，此时，测得小明身高 米，影长 米，求
“理想之门”的高 ．
【解答】解：由题意可得： ，
， ，
故 ， ，
则 ， ，
即 ， ，
解得： （米 ，
故“理想之门”的高 为 米．
9．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑 的高度．如图所
示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端 处竖立一根高2米的标杆 ，此时测得
标杆 的影子 为2米；然后，在 处竖立一根高2.5米的标杆 ，小婷从 处沿 后退0.8米到 处恰好看到点 、 在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离 米， 米，
已知 ， ， ， ，点 、 、 、 、 在同一水平直线上，
请根据以上数据求出秦始皇雕塑 的高度．
【解答】解：设 米，
高2米的标杆 的影子 为2米，
米，
过 作 于 ，交 于 ，
则四边形 ， 是矩形，
米， 米，
米，
米， 米，
，
，
， ，
解得： ，
米，
答：秦始皇雕塑 的高度为14米．
10．阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山 的高度，如图，亮
亮在地面上的点 处，眼睛贴地观察，看到假山顶端 、教学楼顶端 在一条直线上．此时他起身在 处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点 处，测得 米，亮
亮的身高 为1.6米．假山的底部 处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得
知， 米，点 、 、 、 在一条直线上， ， ， ，已知教学
楼 的高度为16米，请你求出假山的高度 ．
【解答】解： ， ，
，
，
，即 ，
解得 ．
， ，
，
，
，即 ，
解得 ，
假山的高度 为8米．
11．如图，为了测量平静的河面的宽度，即 的长，在离河岸 点3.2米远的 点，立一根长为
1.6米的标杆 ，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆 ，电线杆的顶端 在河里的倒
影为点 ，即 ，两岸均高出水平面0.75米，即 米，经测量此时 、 、
三点在同一直线上，并且点 、 、 、 共线，点 、 、 共线，若 、 、 均
垂直于河面 ，求河宽 是多少米？【解答】解：延长 交 的反向延长线于点 ，
则四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
， 米， 米，
米，
， ，
，
，
，
，
，
，
答：河宽 是12米．12．如图，在某次军事演习中，阴影部分为我军地面以下的战壕，前方有两栋高楼 、 ，已
知 米， 米，敌军在高楼 中与我军对抗我军战士在距离点 米的点 处观测，
视线 经过点 落到 上的点 处， 米，点 、 、 在一条直线上．该战士向点
的方向行走12米到点 处观测，请问他此时能否看到高楼 的最高点 ？请通过计算说明理由．
【解答】解：他此时能否看到高楼 的最高点 ，
理由： ， ，
，
，
，
，
米，
（米 ，
连接 并延长交 于 ，
则 ，
，
，
米 米，
他此时能看到高楼 的最高点 ．13．如图，阳阳要测量一座钟塔的高度 ，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，
并在镜子上做一个标记 ，当他站在离镜子 处1.4 的 处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像
与标记 重合．已知 ， ， 在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度 ，
，求钟塔的高度 ．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
，
故钟塔的高度 为 ．
14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口 处立一根垂直于井口的木杆 ，
从木杆的顶端 点观察井内水岸 点，视线 与井口的直径 交于点 ．如果测得 米，
米， 米．请求出井深 的长．【解答】解：由题意得：
，
， ，
，
，
，
解得： ，
答：井深 的长为8米．
15．雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上 处有一处积水，如图，若小李站在
处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端 的影子已知点 、 、
在同一直线上， ， ，小李的眼睛到地面的距离 为1.6米，求树 的高．
，积水水面大小忽略不计）
【解答】解：由题意得： ，
，
米， 米， 米，
即： ，
解得： ，答：树高大约是6.4米．
16．小丽想利用所学知识测量旗杆 的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一
棵大树 ，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于 处时，恰好看到旗杆顶端
、大树顶端 在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离 、 分别
为7米、28米，眼睛到地面的距离 为3.5米，已知大树 的高度为7米， 交 于
点 ， 于点 ， 于点 ，交 于点 ， 于点 ．求旗杆 的高
度．
【解答】解：由题意知 米，
（米 ，
， ，
，
，
，
即 ，
米，
（米 ，
旗杆 的高度为17.5米．
17．小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的 点，沿
着直线 后退到点 ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 的像，量得 米， 米．已
知 、 均与地面 垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即 米），请你求出松树
的高．【解答】解：根据题意，得 ， ，
则 ，
则 ，
即 ，
解得： 米．
答：松树的高为7.5米．
18．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆
，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上，测得
米，将标杆向后平移到点 处，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同
一直线上（点 ，点 ，点 ，点 与古塔底处的点 在同一直线上），这时测得 米，
米，请你根据以上数据，计算古塔的高度 ．
【解答】解：根据题意得， ， ，
，
，
，
，
（米 ，，
米，
答：古塔的高度 约为68.7米．
19．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图： 为路灯主杆， 为路灯的悬
臂， 是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂 与地面 平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶
端 、标杆顶端 和地面上一点 在同一直线上，此时小明发现路灯 、标杆顶端 和地面上另
一点 也在同一条直线上（路灯主杆底端 、标杆底端 和地面上点 、点 在同一水平线上）．
这时小明测得 长1.5米，路灯的正下方 距离路灯主杆底端 的距离为3米．请根据以上信息
求出路灯主杆 的高度．
【解答】解：过点 作 于 ，交 于点 ，
， ，
，
，
，等于 的边 上的高，
， ， ，
，
米． 米，
，
，
，即 ，
（米 ，
（米 ，
答：路灯主杆 的高度为5.4米．
20．小明想通过自己所学的知识测量一段笔直的高架桥 上 段的运行距离，设计了如下的
测量方案：已知在高架桥的一侧有一排居民楼 （楼顶 与高架桥 在同一水平面上，且
与点 正好在同一直线上），测得 米，小明先站在 处，测得视线与高架桥 的垂
直距离 米，小明又站在 处，使得视线与 在一条直线上，此时测得 米，且
，求此高架桥上 段的运行距离．
【解答】解： ，
，
，
，
，设 ， ，
，
在 中， ，
，
（负值舍去），
高架桥上 段的运行距离为75米．
21．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的
墙脚距离 ，窗口高 ，求窗口底边离地面的高 ．
【解答】解： ，
，
．
， ，
．
，
，
，
解得： ，即窗口底边离地面的高为 ．
22．如图， 和 表示两根直立于地面的柱子， 和 表示起固定作用的两根钢筋， 与
的交点为 ，已知 ， ，求点 离地面的高度 ．【解答】解： ，
，
，（相似三角形对应高的比等于相似比），
，
，
，
，
解得 ．
答：点 离地面的高度 为 ．
