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专题17 圆中相似
1．如图， 中 ， ，点 在 边上，以 为直径画 与
交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长度．
【解答】（1）证明：连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
经过 的半径 的外端，且 ，
是 的切线．
（2）解： ，
，
，
，， ，
，
，
，
是 的半径，且 ，
是 的切线，
，
的长度是3．
2．如图， 是 的直径， 是 上一点，连接 ，过 外点 作 于点 ，交
于点 ，连接 ， ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径为6，求 的长．
【解答】（1）证明： ，
．
．
，
．
．，
．
，
．
．
即 ．
．
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 是 的直径，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
是 的直径，
．
，
设 ，则 ，
，
．
解得： ．
，．
， ．
．
由（1）知： ，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
．
．
．
．
3．如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 ，
， 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
【解答】解：（1）连接 ，是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
（2） 点 是 中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图：， ，
于点 ，
设 为 ，则 为 ，根据勾股定理，
，
解得： ，
，
是中位线，
．
4．如图，在 中， ， ， 是 边上一点，作 的外接圆 ，
是 的直径，且 与 交于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．
【解答】（1）证明：连接 ，， ，
，
，
，
，
，
为 的切线；
（2）解：由（1）知， ， ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，的半径长为 ．
5．如图，点 在 的平分线上， 与 相切于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2） 与 相交于点 ，直线 交 于点 ，若 ， ，求 的半径．
【解答】（1）证明：连接 ，过点 作 于 ．
是 的切线，
，
平分 ， ，
，
是 的切线．
（2） ， ，
，
，
，
， 是 的切线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
6．如图， 是 外一点， 是 的切线， 是切点， 是 上一点，且 ，延长
分别与 、切线 相交于 、 两点．
（1）求证： 是 的切线；
（2） 为 的中点， 交 于点 ，若 ， ，求 的值．
【解答】（1）证明：连接 ，如图，是 的切线，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 与 交于 ，连接 ，如图，
在 中， ， ， ，
，
，
设 ，则 ， ，在 中， ， ，
，解得 ，
，
与 为 的切线，
平分 ，
垂直平分 ，即点 为 的中点，
为 的中点，
为 的中位线，
， ，
，
，
，
设 ， ，则 ，
，
．
7．如图， 为 的直径， ， 交 于点 ， 于 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
直线 是 的切线；
（2）解：连接 ，
为 的直径，
，
，
， ，
，
的面积 ，
，的长为 ．
8．如图，半圆 与 的 边相切于点 ，与 ， 边分别交于点 ， ， ，
是半圆 的直径．
（1）求证： 是半圆 的切线；
（2）若 ， ，求 和 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，
半圆 与 的 边相切于点 ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
是半圆 的半径，
是半圆 的切线；
（2） ，
，
在 中， ， ，，
，
在 中， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
的长为6， 的长为 ．
9．如图，已知 是 的直径， 是 上一点， 的平分线交 于点 ，交 的切
线 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的值．
【解答】（1）证明：连接 ，，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：连接 ，
是 的直径，
，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
，
，．
10．如图，在 内接于 ， ， ，将斜边 绕点 顺时针旋转一定的
角度得到 ，过点 作 于点 ， ， ，连接 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 交 于点 ，连接 ．求证： ．
【解答】证明：（1） 为 的外接圆，
为斜边 中点， 为直径，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
（2）延长 交 于点 ，连接 ．
于点 ，
，
绕点 旋转得到 ，
，
在 与 中
，，
， ，
，
为 中点，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
平分 ，即 ，
， ，
，
，
，
，
．
11．如图， 是 的内接三角形， ， ，连接 并延长，交 于
点 ，连接 ．过点 作 ，使 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；（2）若 ，求线段 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是 的切线；
（2）解：如图，过点 作 交 于 ，， ，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
， ， ，
四边形 是矩形，
又 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
．
12．如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点 ，过 作 的垂线，垂
足为 ．（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（2）解： 是 的直径，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
．13．如图， 是 的内接三角形， ， 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求证：点 是 的黄金分割点；
（3）若 ， ， ，求 的直径．
【解答】（1）证明：如图①，连接 并延长与 交于点 ，连接 ，
，
，
是 直径，
，
，
，
，
即 ，
为 的切线；
（2）证明： ， ，
，
，
，，
，
点 是 的黄金分割点；
（3）解：如图②，连接 并延长与 交于点 ，连接 ，
由（2）可知 ，
，
， ， ，
， ，
， ，
，
过点 作 于 ，设 ，则 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
解得 ，
， ，
是 直径，
，
，
，
，，
，
，
，
的直径为 ．
14．如图， 是 的外接圆，点 是 的中点，过点 作 分别交 、 的延
长线于点 和点 ，连接 、 ， 的平分线 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【解答】解：（1）证明：连接 ，如图，点 是 的中点，
，
，
，
，
为 的切线；
（2）设 、 交于点 ，
， ， ，
，
，
点 是 的中点，
，
又 ，
，，即： ，
，
的平分线 交 于点 ，
，
，即： ，
．
15．如图， 是 的直径，点 在线段 上，过点 作 交 于点 ，延长 到
， 是 上一动点（不与 、 重合），连接 、 、 ，给出下列信息：①点 为
中点；② ；③ 是 的切线．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题，试判
断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 ① 、 ，结论是 （只要填写序
号）．
（2）在（1）的情况下，若 ，求 的长．
【解答】解：（1）第一种情况：条件：①②，结论：③，成立，利用如下：
证明：连接 ， ，
点 是 的中点， ，
，
又 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
即 ，是 的切线；
（1）第二种情况：条件：①③，结论：②，理由如下：
证明：连接 ， ，
是 的切线，
，
，
点 是 的中点， ，
，
又 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（1）第三种情况：条件：②③，结论：①，成立，理由如下：
证明：连接 ， ，
是 的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
点 是 的中点；
（2）连接 ，
点 是 的中点，
，，
，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
．
16．如图1， 为 的直径， 为 上一点，连接 ，过 作 于点 ，过点 作
，使 ，其中 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）如图2，点 在 上，且满足 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
若 ， ，求线段 的长．【解答】证明：（1）连接 ，如图，
，
．
，
．
，
．
．
即： ．
是 的切线．
（2）过点 作 于 ，如图，
则 ．
， ，
．
， ，．
， ，
， ．
．
．
， 为公共边，
．
．
．
设 ，则 ．
，
．
解得： ．
．
在 中，
．
，
， ．
．
是圆的内接四边形，
．
．
．
．
．
17．如图所示， 、 是 上的点， 是 外一点，且 ， ．连接 并延长，与 延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1）连接 ，如图，
是 上的点，且 ，
是 的切线，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是 的切线；
（2） ，
而 ，
，
，
．18．如图，在 中， 为直径，点 为圆上一点，延长 到点 ，使 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）分别过 、 两点作直线 的垂线，垂足分别为 、 两点，过 点作 的垂线，垂足
为点 ．求证： ．
【解答】（1）证明：连接 ，如图所示，
，且 ，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2） ，且 ，
为等边三角形，
，
又 ，
，
，
又 ，
是 的角平分线，
， ，，
又 ，
，
．
， ， ，
，
又 ，
是 的角平分线，
， ，
，
， ，
，
，即 ，
又 ， ，
．
19．如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点 ．
（1）若 为 的中点，证明： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径 的长．
【解答】（1）证明：连接 ， ，是 的直径，且 在 上，
，
，
为 的中点，
，
，
是 的切线，
，
，
，
，
即 ，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
即 的半径 的长是4．
20．如图，以 为直径的 经过 的顶点 ，过点 作 交 于点 ，交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，在 的延长线上取一点 ，连接 ，使
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径是3， ，求 的长．
【解答】解：（1）证明：如图，连接 ，
是直径，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
又 是 的半径，
是 切线．
（2）由（1）得 ，
，，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 中 ，
，
．
