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专题18 阿氏圆小题
1．如图，在 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，点 是
以 为圆心、以 为半径的圆弧上的动点，则 的最小值等于
A．4 B． C． D．
【解答】解：在 上截取 ，连接 ， ， ，
点 、 分别是边 、 的中点，点 是以 为圆心、以 为半径的圆弧上的动点，
，
， ，
，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
的最小值 ，
故选： ．2．如图，已知菱形 的边长为8， ，圆 的半径为4，点 是圆 上的一个动点，
则 的最大值为 ．
【解答】解：连接 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ，过点 作
交 的延长线于 ．
， ， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
， ，
，
在 中， ， ，
，，
，
，
的最大值为 ．
3．如图，正方形 的边长为4， 为 的中点，以 为圆心， 为半径作 ，点 是
上一动点，连接 、 ，则 的最小值为 5 ．
【解答】解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ， ．
四边形 是正方形，
，
， ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，，
，
的最小值为5，
故答案为：5．
4．如图，扇形 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点， ，
是 上一动点，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图，延长 使 ，连接 ， ， ，
， 分别是 的中点，
， ， ，
，且
，
，
，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 的值最小，
，
，
的最小值为13，
的值最小值为 ．故答案为： ．
5．如图所示的平面直角坐标系中， ， ， 是第一象限内一动点， ，连接 、
，则 的最小值是 ．
【解答】解：如图，取点 ，连接 ， ．， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
6．如图，在 中，点 、点 在 上， ， ，点 在 上，且 ，
点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为 ．
【解答】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ．， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
又 在 中， ， ， ，
，
，
的最小值为 ，
答案为 ．
7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆 ， 为圆 上一动点，则 的最小值为
．【解答】
解：设 半径为 ，
， ，
取 的中点 ，连接 ，
，
，
，
，
是公共角，
，
，
，
，
当 、 、 在一条直线上时， 最小，
作 于 ，
，
，
，
，最小值 ，
，
的最小值是 ．
故答案是 ．
8．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，3为半径做 ，分别交
， 于 ， 两点，点 是 上一个动点，则 的最小值为 ．
【解答】解：在 上截取 ，连接 ， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，当 、 、 三点共线时， 的值最小，
在 中， ， ，
，
的最小值 ，
故答案为： ．
9．如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的两个
动点，且 ， 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ．， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
的最小值为 ，
故答案为 ．
10．如图，在 中， ， ，则 的最大值为 ．
【解答】解： ，求 的最大值就是求 的最大值，
过 作 于 ，延长 到 ，使得 ，
，
，
，
， ，
由勾股定理得： ，
，
为定值，
是定值，
点 在 的外接圆上，
，
当 为直径时， 最大，即 ，
，
解得 ，
，
，
故答案为： ．11．如图， 与 轴、 轴的正半轴分别相交于点 、点 ， 半径为3，点 ，点
，点 在弧 上移动，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图，在 轴上取点 ，连接 ，
点 ，点 ，点 ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
当点 在 上时， 有最小值为 的长，
，
故答案为： ．12．【新知探究】新定义：平面内两定点 ， ，所有满足 为定值）的 点形成的图形
是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在 中， ， ，则 面积的最大值为 ．
【解答】解：以 为顶点， 为边，在 外部作 ， 与 的延长线交于
点 ，
， ， ，
，
，
， ，
，
，解得： ，
， ，即点 为定点，
点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆上，如图，过点 作 的垂线，交圆 与点 ，此时点 到 的距离最大，即 的面积最大，
．
故答案为： ．
13．如图所示， ，半径为2的圆 内切于 ． 为圆 上一动点，过点 作 、
分 别 垂 直 于 的 两 边 ， 垂 足 为 、 ， 则 的 取 值 范 围 为
．
【解答】
解：作 于 ，作 于 ，
， ，
，
，
，
，
，，
当 与 相切时， 取得最大和最小，
如图1，
连接 ， ，
可得：四边形 是正方形，
，
在 中，
，
，
在 中，
，
，
，
如图2，由上知： ， ，
，
，
，
．
三．解答题（共2小题）
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上，点 在
上，且点 也在格点上．
的值为 ；
（Ⅱ） 是以点 为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段 绕点 逆时
针旋转得到 ，旋转角为 连接 ， ，当 的值最小时，请用无刻
度的直尺画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【解答】解：（1）由题意 ， ，
，
故答案为： ．
（2）如图，取格点 ， ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 ，点 即为所
求．故答案为：通过取格点 、 ，使得 ，构造相似三角形将 转化为 ，利用
两点之间线段最短即可解决问题．
15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点 、 ，则所有符合 且 的点 会组成一个圆．这个结论最先由
古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在 轴， 轴上分别有点 ， ，点 是平面
内一动点，且 ，设 ，求 的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在 上取点 ，使得 ；
第二步：证明 ；第三步：连接 ，此时 即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）
解：在 上取点 ，使得 ，又 ， ．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图 2，在 中， ， ， ， 为 内一动点，满足
，利用（1）中的结论，请直接写出 的最小值．
【解答】解（1）在 上取点 ，使得 ，
又 ，
．
，
，
，当 取最小值时， 有最小值，即 ， ， 三点共线
时有最小值，
利用勾股定理得 ．
（2） ， ，在 上取一点 ，使得 ，
的最小值为 ．
