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考点 27 函数y＝Asin(ωx＋φ)（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数
学模型．
【知识点】
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝
kπ，k∈Z确定其横坐标．
【核心题型】
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而
非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值
【例题1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，
给出下列三个结论：
① ；②函数 在 上单调递减；
③将 的图象向左平移 个单位可得到 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由函数的最小正周期求出 ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一
判断即可.
【详解】因为函数 的最小正周期为 且 ，所以 ，解得 ，
所以 ；
则 ，故①正确；
当 时， ，因为 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，故②正确；将 的图象向左平移 个单位得到 ，
因为 ，所以结论③正确.
故选：D
【变式1】（2024·北京通州·二模）已知的数 （ ），若 的最
小正周期为 ， 的图象向左平移 个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来
的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则 ；若 在区间
上有3个零点，则 的一个取值为 ．
【答案】 或 6（答案不唯一）
【分析】由 的最小正周期为 ，可求出 ，再根据三角函数的平移
和伸缩变化可求出 ；根据 ，求出 ，结合题意可
得 ，解不等式即可得出答案.
【详解】因为 的最小正周期为 ，所以 ，解得： ，
所以 ， 的图象向左平移 个单位长度后，
可得： ，
再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，所以 ；
因为 ， ，
在区间 上有3个零点，
所以 ，解得： ，
则 的一个取值可以为6.
故答案为： 或 ；6（答案不唯一）.
【变式2】（2024·山东·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
函数 ， 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，且
，将 的图象向右平移 个单位得到 的图象且 ，
的内切圆的周长为 ．则 的面积的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意求出 的解析式，由平移规律得到 的解析式，由 得
到 ，由面积公式和余弦定理 ，借助基本不等式即可求出 的
取值，进而得到面积最小值.
【详解】因为函数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
故 ，即 ，所以 或 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为将 的图象向右平移 个单位得到 的图象，
所以 .
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
且 ，所以 .
因为 的内切圆的周长为 ，
所以 的内切圆的半径为1，
所以 ，所以 ，即 ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，所以 的面积的最小值为 .
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则
这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）将函数 图象上所有点的横坐标伸
长至原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．
(1)求函数 在区间 内的所有零点之和；
(2)若 ，讨论函数 的单调性．
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增，在 上单调递减
【分析】（1）利用三角恒等变换及平移公式化简可得函数 ，利用正弦函数的图
象及性质可得求得 的零点，进而求得结果．
（2）由（1）可得， ， ，结果三角函数性
质计算即可求得结果．
【详解】（1）由题可得， ，
所以函数 ．
根据正弦函数的图象及性质可得， 的零点为 ，
所以函数 在区间 内的所有零点之和为．
（2）由（1）可得， ，所以 ，
所以 ．
令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ．
综上，函数 在 上单调递增，在 上
单调递减．
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的部分图
象如图所示，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则在下
列区间上函数 单调递增的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的图象，棱台三角函数的性质求得 ，进而得到
，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】由函数 的图象，可得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，又由 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，令 ，
解得 ，
所以函数 的单调增区间是 .
故选：C.
【变式1】（2024·海南·模拟预测）如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为
2，位移 与时间 满足函数 ，点 在该函数的图象上，且位置如图所示，则 .
【答案】
【分析】由函数图象求出函数解析式，再确定 与 的比值.
【详解】由图象可知： ， （ ），所以 ，
由 ，又 ，所以 .
又 ， .
所以 .
故答案为：
【变式2】（2024·湖北武汉·二模）函数 的部分图象如图所示，
则 .
【答案】【分析】令 ，解出 ，根据图中零点得到方程解出即可.
【详解】令 ，则 ，
根据图象得 为函数零点，零点左右函数为上升趋势，
则 ，
则 ，因为 ，则 ， ，
故答案为：
【变式3】（2023·河北·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，
其中 ，且 .
(1)求 与 的值；
(2)若斜率为 的直线与曲线 相切，求切点坐标.
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）在 中，由射影定理得 长，即 个周期，从而待定 ，再由
求解 即可；
（2）设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线斜率，求解切点坐标.【详解】（1）
如图，过点 向 轴引垂线交于点 ，
由正弦曲线的性质知 ，
由射影定理知 ，而 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，由 ，解得 .
当 时，由 ，且由已知图象及五点对应法，
得 ，
由 ，则当 时， ；
所以有 ， ；
（2）
由（1）知 ，设切点 ，
∴
则 ，∴ ，则 ，
∴ 或 ，且 ，∴故其切点坐标为 或
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进
行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题
抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
命题点1 图象与性质的综合应用
【例题3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 的最小正周
期为 ，且 的图象关于点 中心对称，给出下列三个结论：
① ；
②函数 在 上单调递减；
③将 的图象向左平移 个单位可得到 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由题意先求出 ，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得
出答案.
【详解】因为函数 的周期为 ，所以 ，
又图象对称中心为 ，即 ，
则 ，有 ，由 ，所以 ，故 ，
此时 ，结论①正确；
当 时， ，函数 单调递减，结论②正确；
将 的图象向左平移 个单位可得图象对应的函数为 ，
因为 ，所以结论③正确．
故选：D.
【变式1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数 ，
且 的最小正周期为 ，给出下列结论：
①函数 在区间 单调递减；
②函数 关于直线 对称；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】先将函数 化简为最简形式，然后利用周期求出 的值，再利用正弦函数的性
质进行判断即可求解.
【详解】因为函数 ，
又 的最小正周期为 且 ，所以 ，解得 ，所以 .
因为 ，所以 ，因为 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，故①正确；
令 ，解得 ，所以直线 是函数 的一条对称
轴，故②正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度可得到
，故③错误，
所以正确的结论序号为：①②.
故选：A.
【变式2】（2024·青海西宁·模拟预测）将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到
原来的3倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 的最小正周期为 ，
.
【答案】 /
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得 ，结合 和求出 即
可求解.
【详解】由题意知， ，
则 的最小正周期 ，.
故答案为： ；
【变式3】（2023·山西·模拟预测）已知函数 的
部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在
上的值域.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由图可知 ，根据最小正周期求得 ，由图象经过点 求得
，即可得出 ；
（2）利用图象平移规律得 ，根据三角函数的性质求得值域.
【详解】（1）由图可知 ，的最小正周期 ，则 ，即 .
因为 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）结合题意可得 .
因为 ，所以 .
当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 .
故 在 上的值域为 .
命题点2 函数零点(方程根)问题
【例题4】（2023·河南·模拟预测）若关于 的方程 在 内有两个不
同的解 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得 ，进而求得 .
【详解】关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，即 （ ，取 为锐角）
在 内有两个不同的解 ，
即方程 在 内有两个不同的解 ．
不妨令 ，由 ，则 ，
所以 ，
所以 ．则 ，
即 ，
所以 ．
故选：D．
【变式1】（2022·陕西渭南·一模）若关于 的方程 在 上
有实数根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件
关系,进行求解即可.
【详解】 ，
，
即 ，
，即 ，
， ，
设 ，则 在 上有实数根，
， 在 的图像有交点，如图由于
由图象可知， ，即
故答案为：
【变式2】（2022·全国·模拟预测）若方程 在 上的两个
不等实根为 ， ，则 ．
【答案】 /0.2
【分析】利用二倍角公式及正弦函数的两角差公式化简原方程，利用正弦函数的对称性得
到 的关系式即可求解.
【详解】解：
，
当 时， ．由题意可得 ，根据正弦
函数的对称性得 ，即 ，则 ，所以
．故答案为： .
【变式3】（2023·上海宝山·二模）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和单调区间；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)最小正周期 ；单调递增区间为 ；单调递减区间为
.
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入
法求函数单调区间；
（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数 的取值范围．
【详解】（1） ，
则函数 的最小正周期 ；
令 ，解得 ，
可得函数 的单调递增区间为 ·
令 ，解得 ，
可得因数 的单调递减区间为 ；（2）由（1）可知， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ， ， 由 增大到1，
当 ， ， 由1减小到 ，
若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，则实数 的取值范围为
命题点3 三角函数模型
【例题5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩
天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为
120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转
到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距
离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【答案】A
【分析】以轴心 为坐标原点，与地面平行的直线为 轴建立平面直角坐标系，根据题意，
求得函数 ，令 时，即可求解.
【详解】设座舱距离地面的最近的位置为点 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数 表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为 ，直径为 ，且转一周大约需要 ，
周期 ， ，所以 ，
即 ，
当 时，游客在点 ，其中以 为终边的角为 ，
所以 ，
当 时，可得
所以，摩天轮的座舱 后距离地面高度约为 .
故选：A.
【变式1】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌
田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之
程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如
图，一个半径为4 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为
.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于 的时间为（ ）
A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒
【答案】D【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【详解】假设 所在直线垂直于水面，且 米，如下示意图，
由已知可得 ，
所以 ，处在劣弧 时高度不低于 米，
转动的角速度为 /每秒，
所以水筒P距离水面的高度不低于 的时间为 秒，
故选：D.
【变式2】（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳
步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，
单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为 ，圆上两点A，B始终满足
，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点
的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即 秒时，
点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的
竖直距离关于时间t的函数解析式为 .
【答案】
【分析】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点 的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.
【详解】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速
，
设点 ，圆上两点A、B始终保持 ，
则 ，要使A、B两点的竖直距高为0，
则 ，第一次为0时， ，解得 ，
.
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为
终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴
【变式3】（2023·江西鹰潭·模拟预测）如图，均匀的圆面绕圆心 作逆时针方向的匀速旋
转，圆面上一初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为 ，在旋转
圆面的右侧有一固定相机C（C， 两点在 的两侧），且 ， .(1)记旋转角为 .若 ，求t的取值范围及弦 的长度；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的长.
【答案】(1) ； 米；
(2) 米.
【分析】（1）延长 交圆于D，计算旋转一周的时间，第一次到D和第二次到D的时间，
由此可得t的取值范围，利用圆的性质解 求 ；
（2）求出 时 的值，再由余弦定理求 ，结合余弦定理可求 .
【详解】（1）如图所示，延长 交圆于D，
根据题意可知，旋转一周的时间 秒，
所以第一次旋转到D用30秒，第二次旋转到D用30+60秒，
所以 时，
，
又因为 ，
在 中， ，
（2）由（1）知， 时 ，
在 中 ，由余弦定理易知
，又因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理易知
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）若函数 的部分图象如
图所示， ， 为图象上的两个顶点.设 ，其中O为坐标原点，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由已知条件列出方程组求解得 ，再利用向量求出夹角 ，最后求得
即可.
【详解】由图可知， ，
由题意知 ，解得 .
又因为 ， ，且 ，则 ，
因为 ，所以 .
所以
.
故选：A
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的部分图
像如图所示，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果.
【详解】由图可得 ， ， ，所以 ，
所以 ，因为 在函数的图像上，
可得 ，解得 ，因为 ，所以 ， ，
所以
.
故选：B.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，如图 是直线 与曲
线 的两个交点， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得
，从而得到 的值，再根据 即可得 ，进
而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
当 时， ，即 ， ；当 时， ，即 ， ；
综上： ；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设 ，则 ，
因为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
．
故选：C.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 在区间 上是减
函数，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，
确定 与 的值，两式相减，即可求出 的值.
【详解】由题知 ，
因为 ， ，
所以 ，
又因为 在区间 上是减函数，所以 ，
两式相减，得 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数 （ ， ）满足
，且 在 上单调递减，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 的对称轴为 ， D． 在 上有3个零点
【答案】AC
【分析】先通过条件推知 是 的对称中心，以及 是 的的对称轴，然
后结合 在 上单调递减得出 ， 在 上单调递减，再推知
，至此可直接验证A正确，而验证 是否为0即可判断B，分别解
方程 和 即可判断C和D.
【详解】由于 在 上单调递减， ，故 对应的点是 的对称中心，即 .
同样地由于 在 上单调递减，故最小正周期 .
同时，由于对任意的实数 ，方程 在一个形如 的区间上至多有两个根，
且在有两个根的情况下，这两个根的平均值 对应的直线 一定是 的的对称轴，
而 ， ，从而 ，故
对应的直线 一定是 的的对称轴.
现在，由于 是 的对称中心， 是 的的对称轴，故 是 的对
称轴. 而 在 上单调递减， ，故 ， 在
上单调递减.
再由 是 的对称中心，就知道 ，所以 ，故 .
此时得到 ，代入 得 ，即 .
从而 ，由 知 ，所以 ，即 .
经验证， 满足条件.
然后逐一验证各个选项：我们已经推出 ，故A正确；
由 ，知函数 在 处有定义但不过原点，从而不
可能是奇函数，B错误；
由于 当且仅当 ，即 ，即 ，
故 的对称轴是 ，C正确；
由于 当且仅当 ，即 ，即 ，故
在 上的全部零点是 ，只有2个，D错误.
故选：AC.
6．（2024·山东日照·二模）已知函数 的部分图象
如图中实线所示，图中圆 与 的图象交于 两点，且 在 轴上，则下列命题正
确的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 在 上单调递减
C．函数 的图象向左平移 个单位后关于直线 对称D．若圆 的半径为 ，则
【答案】ACD
【分析】A选项，先求出 点的横坐标，求出最小正周期，A正确；B选项，求出
，得到特殊点的函数值得到 ，得到函数解析式，整体法得到 在
上不单调递减，B错误；C选项，求出向左平移 个单位的解析式，代入检验
得到C正确；D选项，由 和勾股定理得到 ，代入 求出 ，得
到函数解析式.
【详解】A选项，由对称性可知 点的横坐标为 ，
设 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，
点 在图象上，即点 在图象上，将其代入函数解析式得 ，
又 ，故 ，解得 ，
故 ，
当 时， ，
又 ， 在 上不单调，故函数 在 上不单调递减，B错误；
C选项，函数 的图象向左平移 个单位后得到
，
其中 ，故 关于直线 对称，C正确；
D选项，若圆 的半径为 ，即 ，
又 ，故 ，解得 ，
所以将 代入 中得， ，解得 ，
则 ，D正确.
故选：ACD
三、填空题
7．（22-23高三上·河北·阶段练习）如图是函数
的部分图象，A是图象的一个最高点，D是
图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且 ， 的面积等于 ．若
时，关于x的方程 恰有3个不同的实数根，则m的取值
范围是 ．【答案】
【分析】根据三角函数的图象特征可求解析式为 ，根据 以及
有一共3个交点即可求解.
【详解】由题意可得 ，
设 的最小正周期为T，则 ，即 ．所以 ，又图
象过点 ，则 ，又因为 ，所以 ，所以
，
当 时， ， 在 上先增后减再增，且
，由 ，解得 在 上有2
个不同的实数根，所以 需要有1个实数根，此时 ，或 ，故m的取值范围为 ．
故答案为：
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，将 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到 的
图象，若 在区间 上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合图象求得 的最小正周期，即可求得 ，然后结合图象上的点的坐标
及 可求得 ，得到 的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到
的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m的取值范围．
【详解】设 的最小正周期为T，则由图象知 ，
所以 ，则 ，
由 在 处取得最小值，可得 ， ，
得 ， ．因为 ，所以 ，
所以 ；（或由题意可得 ， ，亦可得 ）
，
由 ，得 ，
所以由题意得 ，解得 ，
即实数m的取值范围是 ．
故答案为： .
9．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，
成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩
天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为 ， ，得到甲乙两人坐上摩天轮
转过的角度，分别列出甲乙离地面的高度 ， ，
然后得到 ，由 的取值范围即可求解.
【详解】设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为 ， ，
则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为 ， ，
则甲距离地面的高度为 ，
乙距离地面的高度为 ，则
因为 ，所以 ，所以 ，
即 .
故答案为： .
四、解答题
10．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 ，根据 的图象关于直线 对称得到 ，即可得到 的解析式；
（2）根据正弦型函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）由图可得， 的最小正周期 ．
因为 ，且 ，所以 ．
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ．
故 ．
（2）由 ，得 ．
当 ，即 时， 取得最大值，最大值为2；
当 ，即 时， 取得最小值，最小值为 ．
故 在 上的值域为 ．
11．（2023·四川绵阳·一模）已知函数 的部分图象
如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，求函数 在上的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象求出 ， ，进而得出 .根据“五点法”，即可求出
的值；
（2）先求出 ，根据已知得出 .结合正弦函数的单调性，
解 ，即可得出答案.
【详解】（1）由图易知 ， ，
所以 ， ．
易知 ，故函数 的图象经过点 ，
所以 ．
又 ，∴ ．
∴ ．
（2）由题意，易知 ，
因为 时，所以 .
解 可得， ，
此时 单调递减，故函数 的单调递减区间为
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．当 时， 的最小值为
B． 在区间 上单调递增
C． 的最小正周期为
D． 的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】先由函数图象得到函数解析式，A选项，整体法求解函数的值域；B选项，整体法
求解函数单调性；C选项，利用 得到C正确；D选项，代入得到 ，D正确.
【详解】由图可知， ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ．
对于A：当 ， ，∴ ，A错误；
对于B： ， ，
由于 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上先增后减，B错误；
对于C： 的最小正周期为 ，C错误；
对于D：当 时， ，故 ，
所以 的图象关于直线 对称，D正确，
故选：D．
2．（2024·陕西渭南·三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，
所得图象关于原点对称，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换，整理变换之后的函数解析式，结合三角函数的奇偶性，
可得答案.
【详解】由题意可知函数 的图象关于原点对称，
则 ，整理可得 ，当 时， .
故选：D.
3．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，
是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车
的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水
车最顶端（图中点B），再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在
的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解题意，可列出时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系，从而可将 代
入即可得出结论.
【详解】以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标
系，水斗从A转到B，则转过的角为 ，从点B开始，记水斗经过时间x（分钟）后距离
水面高度y满足关系； ，又当 分钟时，
．
故选：B．
4．（2024·广东广州·二模）已知函数 的部分图象如图所
示，若将函数 的图象向右平移 个单位后所得曲线关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出 和 ，再根据图象的平移变换，
以及图象的对称性即可得解.
【详解】由 ，得 ，又点 及附近点从左到右是上升的，则
，
由 ，点 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得
，
联立解得 ， ，而 ，于是 ， ，
若将函数 的图像向右平移 个单位后，得到 ，
则 ，而 ，因此 ，
所以当 时， 取得最小值为 .
故选：A
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 的部
分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点 ，则（ ）
A． B．1 C．－1 D．
【答案】A
【分析】先通过图象经过点 列方程求出 ，进而可得 的解析式，再代
入 计算即可.
【详解】由已知得 ，
所以 ，
又图象经过点 ，
则 ，即 ，
又 为单调减区间上的点， 为单调增区间上的点，且在一个周期内，
所以 ，
两式相减得 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
6．（2024·甘肃酒泉·三模）函数 ，其部分图象
如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最值可得 ，最小正周期可得 ，分析可知 为 的最大值点，
进而可得 ，即可得结果.
【详解】设 的最小正周期为 ，
由题意可知： ， ，即 ，
且 ，则 ，
可得 ，
由图象可知： 为 的最大值点，
则 ，解得 ，
且 ，可知 ，所以 .故选：B.
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数 ，将
的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象．若 ， 是关于x的方程
在 内的两个不同的根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，根据图象的平移变换可得 的表达式，再结合题意
利用正弦函数的对称性可得 ，即可求得答案.
【详解】 ，
其中 为辅助角， ， ，
则 ，
当 时， ， ， ，
因为 ， 是关于 的方程 在 内的两个不同根，
所以 ，
因此 ．
故选：C．8．（2024·重庆·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位后，
所得图象关于坐标原点对称，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得 ，解方程即可得
出答案.
【详解】因为 向右平移 个单位后解析式为 ，
又图象关于原点对称，
时， ，
故选：B.
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·三模）已知 是函数 的两个零点，且
的最小值是 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D． 在 上仅有1个零点
【答案】ABD
【分析】依题意可得 的最小正周期 ，即可求出 ，从而得到 解析式，再根
据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】由题意可知，函数 的最小正周期 ， ，
．
对于 ，当 时， ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，将 的图象向右平移 个单位长度得到：
，故C错误；
对于D，当 时， ，仅当 ，即 时， ，
即 在 上仅有1个零点，故D正确．
故选：ABD．
10．（2024·浙江金华·三模）已知 在 上是单调函数，且
的图象关于点 对称，则（ ）
A．若 ，则
B． 的图象的一条对称轴方程为
C．函数 在 上无零点D．将 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为偶函数
【答案】ABC
【分析】利用 在 上单调，可得 ，再根据 的图象关于点
对称，可得 ，进而可得 ，结合每个选项计算可判断其
正确性.
【详解】 ，
当 ，可得 ，又 在 上单调，
所以 ，解得 ，
又 的图象关于点 对称，所以 ，解得 ，
当 时， ，符合题意，所以 ，
对于A：若 ，则可得 分别为函数 的极大值与极小值，
可得 ，故A正确；
，所以 的图象的一条对称轴方程为 ，故B正确；
因为 ，所以 ，所以函数 在 上无零点，故C正确；
将 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为
，
所以 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数不为偶函数，故D不正确.
故选：ABC.11．（2024·河北石家庄·三模）函数 的部分图象
如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B． 的图象关于直线 对称
C．
D．若方程 在 上有且只有5个根，则
【答案】ACD
【分析】根据图象可求得函数 的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.
【详解】对于A，由 ，得 ，即 ，又 ，
，故A正确；
对于C，又 的图象过点 ，则 ，即 ，
，即得 ， ，又 ， ，
所以 ，故C正确；
对于B，因为 ，而 ，故直线 不是函数 的对称轴，故B错误；
对于D，由 ，得 ，
解得 或 ， ，
方程 在 上有5个根，从小到大依次为： ，
而第7个根为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·江苏·模拟预测）将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来
的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 轴对
称，写出一个符合条件的 的值 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得
参数 的值.
【详解】将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不
变），
再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象对应的解析式为
，
由题意 的图象关于 轴对称，
所以 ，解得 ， ，令 ，得 .故答案为： （答案不唯一）.
13．（2024·贵州贵阳·一模）函数 的部分图象如图
所示，已知 ，且 ，则 ．
【答案】1
【分析】先求出 的解析式，再根据 得到 ，从
而得到 的值.
【详解】由函数的部分图象得 ，函数 的周期 ， ，
即 ，由 ，得 ，而 ，
于是 ， ，由 ，得 ，
整理得 ，
因此 或 ，
即 或 与 矛盾，
于是 ， ，
所以 .
故答案为：1【点睛】思路点睛：依据图象求解析式时，要遵循“两看一算”即看周期与振幅，利用对
称轴算初相位，另外，已知三角函数值的关系要求自变量的关系时，要利用诱导公式化成
同名的三角函数的相等关系，再依据终边的位置关系得到自变量的关系.
14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的部分
图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的
2倍，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 的图象．若方程
在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】易得 ，再由点 在 的图象上，代入函数解析式求得
，再利用伸缩变换和平移变换得到 ，作出其图象，
利用数形结合法求解．
【详解】解：由 的部分图象，可得 ．
由图可知点 在 的图象上，则 ， ，
由五点作图法可得 ， ，解得 ，则
．将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的2倍得到
的图象，
再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 的图象．
作出函数 的部分图象如图所示，
由根据函数 的图象知：
当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
即方程 在 上有两个不相等的实数根．
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两条
对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式与单调递减区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
【答案】(1) ，
(2) .
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得 的函数表达式，解方程求得 的值，利用换元思想，
结合三角函数的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：
因为 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以 的最小正周期为 ，即可得 ，
又 为奇函数，则 ，
又 ，所以 ，故 .
令 ，得 ，
所以函数 的递减区间为 .
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
又 ，则 或 ，即 或 .
令 ，当 时， ，
画出 的图象如图所示：
的两个根 对应的点 关于直线 对称，即 ，
有 ，
在 上有两个不同的根 ，
所以 ；
又 的根为 ，
所以方程 在 内所有根的和为 .
16．（2024·福建三明·三模）已知函数 （其中 ）其中图象
的两条相邻对称轴间的距离为 .
(1)若 在 上有最大值无最小值，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 的图象，设 ，求 在 的极大值点.
【答案】(1)
(2) 和
【分析】（1）化简函数 ，利用周期求出 解析式，再结合正弦函数图象求解即可.
（2）先根据图象的平移伸缩变换得到 的解析式，再求导求其极大值点即可.
【详解】（1）
因为图象相邻对称轴间的距离为 ，
所以周期 ，即 ，
因此 ，
当 时，
若 在 有最大值无最小值，由正弦函数图象得
只需 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
（2）将 的图象向右平移 个单位得
再将图象所有点横坐标变为原来2倍得 ，
所以
，
令 得 ，解得 或 或 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的极大值点为 和 .
17．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知函数 的部分
图象如图所示.
(1)
求函数 的解析式；
(2)若函数 在区间 上恰有两个零点 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合五点法作图，由周期得 ，结合最值点可得 ，代入点 的坐标
得A，即可得函数解析式；（2）由题意知 和 的图象有两个不同交点，作出函数
在 上的图象，结合函数的对称性可得 的值．
【详解】（1）设 的最小正周期为 ，则 ，可得 ,
且 ，解得 ，
由图象可知：当 时， 取到最大值，
且 ，则 ，
可得 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，则 ，
且 的图象过点 ，则 ，解得 ，
所以 .
（2）令 ，
由 ，可得 ，
可知 的零点等价于 与 的图象交点横坐标，
且 ，作出 在 内的图象，不妨设 ，如图所示：
由图象可知： ，且 关于直线 对称，所以
.
18．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数
的部分图象，且 ， ．
(1)求 ， 的值；
(2)将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移 个
单位长度，得到函数 的图象，讨论函数 在区间 的零点个数．
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【分析】（1）由周期求出 ，根据 求出 ；（2）首先求出 的解析式，函数 在区间 的零点个数即为函数
的图象与直线 在 上的交点个数，由 的取值范围，求出 的取值范围，
再结合余弦函数的图象即可得解.
【详解】（1）根据题意得， ，故 ， ，故 ．
将 代入，得 ，解得 ，
又 ，故 ．
（2）依题意， ．
函数 在区间 的零点个数即为函数 的图象与直线 在 上
的交点个数．
当 时， ，结合余弦函数图象可知，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
且 ， ， ，
作出函数 在 上的大致图象如图所示．观察可知，当 或 时， 有 个零点；
当 时， 有 个零点；
当 或 时， 有 个零点．
19．（2023·陕西安康·一模）已知函数 的部分
图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横
坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.当 时，方程
恰有三个不相等的实数根， ，求实数a的取值范围以及
的值.
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出 ，得到最小正周期，求出 ，再代入特殊点的坐标，求出 ，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到 ，令 ，换
元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到 ，再根据对称性得到
，相加后得到 ，求出
答案.
【详解】（1）由图示得： ，解得： ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
又因为 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 .
（2） 图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到
，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
，
当 时， ，令 ，则 ，
令 ，在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，
且 ，
,
所以 时，.当 时，方程 恰有三个不相等的实数根.
因为 有三个不同的实数根 ，
且 关于 对称， 关于 对称，
则 ，
两式相加得： ，
即 ，所以 .
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·三模）将函数 的图象向右平移 个单位长度后
得到的图象与 的图象关于原点对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件利用二倍角公式化简求出函数的解析式 ，根据函数的变化规律结合诱导公式即可求得结论.
【详解】令 ，则有 ，
设 向右平移 个单位长度后得到的函数为 ，
则有 ，
根据已知条件 的图象与 的图象关于原点对称，
则有 ，即 ，
所以 ，解得 ,
又因为 ，所以当 时， 取最小值为 .
故选：B
2．（2024·辽宁·三模）已知函数 ，图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．函数 的振幅是 ，初相是
B．若函数 的图象上的所有点向左平移 后，对应函数为奇函数，则
C．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
D．若函数 的图象关于 中心对称，则函数 的最小正周期 的最小值为【答案】C
【分析】根据函数图象得到 ，由 求出 ，即可得到 ，再根
据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由图可知 ，且 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
故函数 的振幅是 ，初相是 ，故A错误；
将 的图象上的所有点向左平移 得到
，
依题意 ，解得 ，故B错误；
若函数 在 上单调递减，则 ，即 ，则 ，解得
，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
即函数 在 上单调递减，则 的取值范围为 ，故C正确；
若函数 的图象关于 中心对称，则 ，
解得 ，
又 ，所以 ，又函数的最小正周期 ，显然 没有最小值，故D错误.
故选：C
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
的部分图象，将 图象上所有点的横坐标
伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合图象，以及周期公式，求出 ，再结合平移伸缩的法则即可求解.
【详解】由图象可知 ，
则 的一个最低点为 ，
的最小正周期为 ，则 ，
，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，
得 的图象，
再将所得曲线向左平移 个单位长度，
得 ，
故 ，
故选：D.
4．（2024·山东聊城·三模）设函数 的图象与函数 的图象关于
轴对称，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数
的图象与 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用轴对称求得函数 ，利用三角函数平移变换得到函数 ，再利用函数
的对称中心计算得到结果.
【详解】由题意得 ，则
.函数 的图象由函数 图形向右平移1个单位得到.
由函数 的图象与 的图象关于点 对称，在定义域内有4个交点.
所以函数 的图象与 的图象的所有交点的横坐标之和为
故选：C.
二、多选题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 则下列结论正确的是
（ ）
A．当 时， 的图象关于 中心对称
B．当 时，将 图象向右平移 个单位长度后的函数图象关于y轴对称
C．当 时， 在 上单调递减
D．设 的周期为T，若 时， ， 为方程 的两个不相等实根，则
【答案】ABD
【分析】由已知可得 结合每个选项条件计算可判断其正确性.
【详解】
对于A：当 时， 又 ，所以 的图象关于 中心对称，故A正确；
对于B：当 时，
将 图象向右平移 个单位长度后的函数为
所以 为偶函数，
所以将 图象向右平移 个单位长度后的函数图象关于y轴对称，故B正确；
对于C：当 时， 因为 ，
所以 ，所以 在 上不是单调递减函数，故C错误；
设 的周期为T，若 时，则 ，解得 ，
当 时， 由
则可得 或 ，
所以 ，
当 时， 由
则可得 或 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，则（ ）A．
B． 在区间 上单调递增
C．将函数 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向
右平移 个单位长度，可得函数 的图象
D．函数 的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数 的解析式，再分析判断
ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数 的周期 ，则 ，而 ，
即有 ，由 知， ，因此 ，A正确；
显然 ，当 时， ，因此 单调递增，B
正确；
将 图象上各点横坐标变为原来的 得 ，再将所得图象向右平移 个单位
长度，得 ，
而 ，C错误；由 ，得 ，令 ，则 ，
令 ，显然当 时， ，即恒有 ，函数 在
上无零点，
当 时， ，令 ， ，
函数 在 上都递减，即有 在 上递减，
，
，因此存在 ， ，
当 时， ，当 时， ，有 在 上递增，在
递减，
， ，
于是存在 ， ，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上递减，在 递增， ， ，
从而函数 在 上存在唯一零点，而函数 周期为 ， 在 上单
调递增，如图，
， ， ，从而函数 在 上各有一个零点，又0是 的零点，即函数
在定义域上共有7个零点，
所以函数 的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：
作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出
这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图像如图所
示.若函数 的图像在区间 上有两条对称轴，且 ，则 的
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数图像可得其解析式为 ，再由其对称性，代
入计算，即可得到结果.
【详解】设函数 的最小正周期为 .
由题意得 ，即 ，所以 ，所以 ，又 的图像过点 ，
所以 ，所以 ，
故 ，又 ，所以 ，
所以 .
因为 ，且 的图像在区间 上有两条对称轴，
所以 ，
即 ，所以 .
故答案为：
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的部分图象
如图所示，则 ．
【答案】
【分析】由图象得到 ，并结合 可得 ，再结合图象得到 及 的
大致范围，进而得到 的值，即可得解．【详解】由 得 ，又 位于减区间上，所以 ，
又 ，故 ．
由 得 ，又 位于增区间上，
所以 ，得 ．
设 的最小正周期为 ，则 ，即 ，
得 ．又 ，所以 ，
故 ．
故答案为：
9．（2024·辽宁抚顺·一模）已知 是函数 的两个
零点，且 ，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对
称，且函数 在 内恰有2个最值点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数零点的最小距离可得 ，再利用平移规则和函数奇偶性可求得
，根据函数 在 内恰有2个最值点可限定出 ，即可解得
实数 的取值范围.
【详解】由 可得 或；
根据正弦函数图象性质可知 ，解得 ；
将函数 的图象向左平移 个单位后可得
为偶函数，
则 ，又 可得 ；
因此 ；
当 时，可知 ，
若函数 在 内恰有2个最值点，可知 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得
，再由平移后的函数为偶函数求得 ，得出函数 的解析式后问题便迎刃而
解.
四、解答题
10．（2023·四川泸州·一模）已知函数 的相邻两
对称轴间的距离为 ．
(1)求函数 的解析式；(2)将函数 图象上点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长
度得到函数 的图象，若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简 解析式，根据 的对称轴求出周期从而求出 ，进而求得
的解析式.
（2）根据三角函数图象变换求得 ，由 ，求得 ，
，
然后构造方程组结合余弦的二倍角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意知：
，
且可得 的周期 ，得： ，
所以： ，
故： .
（2）由题意得： ，因为： ，所以： ，得： ，
因为： ，所以： ，由 ，
所以： ，
所以：
故： .
11．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数
的部分图像如图所示，其中 的图像与 轴
的一个交点的横坐标为 ．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .【分析】（1）利用图像分别求出 ；
（2）利用分离常数法得到 ，求出 在区间 上的值域，即可求解.
【详解】（1）由图知： .
，所以 ，所以 .
所以 .
由 ，且 ，
所以 .
所以 .
（2）令 得： .
对于 ， ，
则 .
由 的图像和性质可得： 在区间 上的值域为 .
所以函数 在区间 上存在零点，有 .
