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第十五章 分式知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不能算是分式了，如：
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式
如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝ 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
二．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
三．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
四．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知
条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
五．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符
号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
六．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
七．通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简
公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中
不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
八．最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
九．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高
次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字
母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
十．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把
分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形
式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
十一．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约
分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
十二．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
十三．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
十四．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
十五．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
十六．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
十七．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
十八．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
十九．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和
追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
二十．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位
等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
03 题型归纳
题型一 分式的识别
例题：（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）下列代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义：掌握分式的定义是解题的关键．如果 、 不等于零）表示两个整式，
且 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 称为分子， 称为分母，根据分式的概念判断即可．
【详解】解：A．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意；
B．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意；
C．该代数式符合分式的概念，该选项符合题意；
D．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意；
故选：C．
巩固训练1．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义．分式需同时满足三个条件：（1） 的形式；（2）分子、分母都是整式；
（3）分母中含有字母．根据分式的定义，逐个判断得结论．
【详解】解：选项B、C、D的分母中都不含字母，故它们都是整式，
是分式，故A符合题意．
故选：A．
2．（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）在式子 ， ， ， ， ， 中，分式的个
数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，
如果不含有字母则不是分式．注意 不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．
【详解】解：分式有： ， ， 共3个．
故选：B．
3．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式 ， ， ， ， ， ，
， 中，分式共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】分式的判断【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，
如果不含有字母则不是分式．
【详解】解： ，
在 ， ， ， ， ， ， ， 中，
分式有 ， ， ， ， 共5个，
故选：A．
题型二 分式有无意义的条件
例题：（23-24九年级下·全国·期末）要使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据“分式有意义，则分母不为零”列式求解即可．
【详解】根据题意得： ，
，
故选：A．
巩固训练
1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）分式 有意义，x满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：A．2．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）若式子 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分
母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）对于分式 ，下列说法错误的是（ ）
A．不论x 取何值，分式都有意义 B．分式的值大于0
C．不论x 取何值，分式的值都不为0 D．当 或 时，分式无意义
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是熟知分式有意义的条件是分母
不为零．根据分式有意义的条件判断即可求解．
【详解】∵ ， ，
无论x取何值， 、 都为正数，
故无论x取何值，分式 都有意义，且分式的值为正数，不为0，
故A、B、C说法正确，D说法错误，
故选：D．题型三 判断分式变形是否正确
例题：（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了利用分式的基本性质对分式进行变形，解题关键是熟练掌握分式的基本性质．根
据分式的基本性质进行变形，再进行判断即可．
【详解】A． ，故A错误，不符合题意；
B． ，故B正确，符合题意；
C． ，故C错误，不符合题意；
D． ，故D错误，不符合题意．
故选：B．
巩固训练
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项计算即可判断求解，掌握分式的基本性质
是解题的关键．【详解】解： 、 原变形错误，该项不符合题意；
、 原变形错误，该选项不符合题意；
、 原变形错误，该选项不符合题意；
、原式 原变形正确，该选项符合题意；
故选： ．
2．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求
出答案．
【详解】A、 ，故此项正确；
B、 为最简分式，不能继续化简，故此项错误；
C、 ，故此项错误；
D、 ，故此项错误；
故选：A．
3．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，下列各式变形正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式的基
本性质．
【详解】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意；
故选：B．
题型四 利用分式的基本性质判断分式值的变化
例题：（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若 ， 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不
变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质， ，
的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【详解】解：A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，符合题意；
D． ，不符合题意；
故选：C．
巩固训练
1．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）将分式 中的 都变为原来的3倍，那么分式的值变为原
来的（ ）
A． 倍 B．3倍 C．不变 D． 倍
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】把 变成 ，再化简，即可得出答案．本题考查了分式的基本性质的应用，能理解题意
是解此题的关键．
【详解】解：∵将分式 中的 都变为原来的3倍,
∴ ，
故选：A．
2．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）根据分式的基本性质，把分式 中的分子、分
母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不改变 B．缩小2倍
C．扩大4倍 D．扩大2倍
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把 中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，则
，相比即可得出答案．
【详解】解：把 中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，
则 ，
把分式 中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值不变，
∴
故选：A．
3．（22-23八年级上·山西临汾·期末）把分式 的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值
（ ）
A．为原分式值的 B．为原分式值的
C．为原分式值的10倍 D．不变
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键．
将所给分式里的x、y换成 、 ，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解．
【详解】解析：x、y均扩大为原来的10倍后，
∴
故选：A．
题型五 最简分式
例题：（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】最简分式、约分
【分析】此题考查了最简分式的判断、分式的化简等知识.把分式化简后根据最简分式的定义进行判断即可.
【详解】A. ，故选项不是最简分式，不合题意；
B. ，选项是最简分式，符合题意；
C. ，故选项不是最简分式，不合题意；
D. ，故选项不是最简分式，不合题意；
故选：B
巩固训练
1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【分析】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且
观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、 ，该分式不符合最简分式的定义，故本选项不符合题意；
B． ，该分式的分子、分母中含有公因，则它不是最简分式，故本选项不符合
题意；
C． ，该分式的分子、分母中含有公因数2，则它不是最简分式，故本选项不符合题意；
D． 该分式的分母为 ，所以该分式的分子、分母中没有公因式，则它是最简分式，故本
选项不合题意；故选：D．
2．（24-25九年级上·四川资阳·开学考试）下列各式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【分析】本题主要考查最简分式，根据最简分式的定义判断即可，解题的关键是掌握一个分式的分子与分
母没有公因式时，叫最简分式．
【详解】解：A、 ，故选项不符合题意；
B、 ，故选项不符合题意；
C、 ，故选项不符合题意；
D、 是最简分式，故选项符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【分析】本题考查最简分式定义，根据最简分式的定义逐项验证即可得到答案，熟记最简分式定义：分式
的分子与分母除1以外再没有其他公因式，是解决问题的关键．
【详解】解：A、 ，故 不是最简分式，不符合题意；
B、 ，故 不是最简分式，不符合题意；
C、 ，故 不是最简分式，不符合题意；
D、 是最简分式，符合题意；故选：D．
题型六 最简公分母
例题：（23-24八年级下·全国·期末） 与 的最简公分母是 ．
【答案】 /
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的
积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是
各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就
可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的
幂的因式都要取最高次幂．据此求解即可．
【详解】解：分式 与 的分母分别是 、 ，故最简公分母是 ．
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·全国·期末）分式 与 的最简公分母为 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查的是最简公分母，当各分母都是单项式时，即有最简公分母就是各系数的最小公倍数，
相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案．
【详解】解：∵分式的分母 ， 都是单项式，
∴分式 与 的最简公分母是 ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）分式 的最简公分母是 ．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】根据最简公分母的确定方法问题可解，本题考查了分式的最简公分母的概念，详解时注意以下步
骤：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：因为 ， ， 中的常数项系数的最小公倍数是 ， 的最高次幂是 ， 的最高次幂是
， 的最高次幂是 ，
所以三分式的最简公分母是 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式 、 的最简公分母是 ，通分为 ．
【答案】 、
【知识点】最简公分母、通分
【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出
最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴分式 、 的最简公分母是 ，
∴ ， ，
故答案为： ； 、 ．
题型七 已知分式恒等式，确定分子或分母
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若 ，则 _________， _________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
巩固训练
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知 ，则 _________________．
【答案】7
【分析】根据题意可进行通分，即 ，
然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
①+②得： ；
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若 恒成立，则A-B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得 ，
∴
∴A-B＝2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求
解．
题型八 分式加减混合运算
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
【详解】（1）解： ，
=
=
=1；
（2）解：
.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
巩固训练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）分式 的分母相同，直接相减进行计算；
（2）分式 的公分母为 ，先通分，在进行计算；
（3）直接进行通分，在进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进
行计算：分母不变，分子相加减；
（2）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（3）把 看成是一项，为 ，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（4）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减
混合运算法则及因式分解是解题的关键．
题型九 分式乘除混合运算
例题：（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）分式计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可；
（2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可．
【详解】（1）解∶ 原式
；
（2）解：原式
．
巩固训练
1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘法、分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可．（1）约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
2．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【知识点】分式乘法、分式除法、分式乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）按照分式的乘法法则进行计算即可；
（2）按照分式的除法法则进行计算即可；
（3）将除法变成乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；（3）
．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)
(2)
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（3）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
（4）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序．最后结果分子、分母
要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
题型十 含乘方的分式乘除混合运算
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．
巩固训练
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；
（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） • ÷ ；
（4） ．【答案】（1） ；（2）1；（3） ；（4）
【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法；
（2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法；
（3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法；
（4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可．
【详解】解：（1）原式= ）= ；
（2）原式= =1；
（3）原式= = ；
（4）原式= = ．
【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关
键．
题型十一 分式化简求值
例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式
，当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
巩固训练
1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值： 其中 满足方程 ．
【答案】 ，
【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形 得， ，代入计算即可求
解．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等
知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值： ，其中：
【答案】 ；
【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可．【详解】解：
；
当 时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键．
题型十二 零指数幂、负整数指数幂
例题：计算： ．
【答案】1
【详解】解： ，
故答案为： ．
巩固训练
1．计算： ．
【答案】
【详解】解： .
2．计算： ．【详解】解： ．
3．计算： ．
【详解】 ．
题型十三 用科学计数法表示绝对值小于1的数
例题：若一粒米的质量约是 ，将数据 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0
的个数所决定．
【详解】解： ，
故答案为：
巩固训练
1．经测算，一粒芝麻的质量约为 ，数据 用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ．
故选：D．2．纳米是一种长度单位，1纳米 米，冠状病毒的直径约为120纳米，将120纳米用科学记数法表示
为 米．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法的运用，负指数的运用，同底数幂的运算，科学记数法的表示为
，确定 的值的方法是：原数变为 时，小数点移动的位数与 的绝对值相同．
当小数点向右移动时， 为负数；当小数点向左移动时， 为正数；最后根据同底数幂的运算法则即可求
解．
【详解】解： 纳米= ，
故答案为： ．
3.我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子
随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为 秒，将 用科学记数法表示应为
．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
【详解】解： ，
故答案为： ．
题型十四 分式方程的定义
例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于 的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程，D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：D．
巩固训练
1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A． 是一元二次方程，故选项不符合题意；
B． 不是方程，故选项不符合题意；
C． 是分式方程，故选项符合题意；
D． 是一元一次方程，故选项不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程
叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A.是分式方程，不符合题意；
B. 不是分式方程，符合题意；
C. 是分式方程，不符合题意；
D. 是分式方程，不符合题意．
故选：B．3．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于 的方程① ，② ，③ ，④
中，是分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即
可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：① ，③ ，④ 是整式方程；② 是分式方程；
故选：A．
题型十五 解分式方程
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2)分式方程无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解一元一次方程的基本步骤成为解题的关键．
（1）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可；
（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．（2）解： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
巩固训练
1．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）解分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解；
（2）解： ，
，
，，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解；
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查的知识点是解分式方程，将分式方程转化为整式方程的是解此题的关键，注意要验根．
【详解】（1）解： ，
方程两边同时乘以 ，得： ，解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解，
（2）解： ，
方程两边同时乘以 ，得： ，解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解．
3．（24-25八年级上·全国·期末）解分式方程：
(1) ；(2) ；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验．
（1）先去分母变分式方程为整式方程 ，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程 ，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验
即可；
（3）先去分母变分式方程为整式方程 ，然后解整式方程，最后对方程的解进行检
验即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
检验：把 代入 得： ，∴ 是原方程的解；
（3）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解．
题型十六 解分式方程错解复原问题
例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下
各题：
解分式方程：
解： ……………………第一步
……………………第二步
………………………第三步
……
(1)第二步的解题依据是______；
A．分式的性质 B．等式的性质 C．单项式乘以多项式法则
(2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______；
(3)请写出该分式方程的正确解答过程．
【答案】(1)B
(2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号
(3)见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算．
（1）根据去分母的基本原理进行解答即可；（2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可；
（3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可．
【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确；
故选：B．
（2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号
后，括号内的第二项没有变号．
（3）解： ，
整理得： ，
去分母得：
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
巩固训练
1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：去分母，得 …………第一步
去括号，得 …………第二步
移项、合并同类项，得 …………第三步
解得， …………第四步
则原分式方程的解为 …………第五步
(1)第一步的依据是________________________________；
(2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
【答案】(1)等式的基本性质(2)五，没有对分式方程的根进行检验
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质；
（2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一步的依据是等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质；
（2）解：观察可知，上面的解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根
进行检验，
故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验．
2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程 的过程：
解： ……第一步，
……第二步，
……第三步，
， ……第四步，
经检验： ， 是原方程的解．
(1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（ ）
A．不等式的基本性质 B．等式的基本性质 C．分式的基本性质
(2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿；
(3)请求出该方程的正确解．
【答案】(1)B
(2)一；去分母时，第二项没有乘以
(3)
【分析】（1）在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质，（2）第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以 ，
（3）根据解分式方程的方法，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法．
【详解】（1）解：在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质，
故答案为：B，
（2）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以 ，
故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以 ，
（3）解：
，
经检验： 是原方程的解，
故答案为： ．
3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程 ．
解： ……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
检验：当 时，
所以， 是原方程的根．
问题一：
①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质
②从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
问题二：该方程的正确解是 ；问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议．
【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是 ；问题三：
除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法．
问题一：①在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质；
②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2；
问题二：根据解分式方程的方法解方程即可；
问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可．
【详解】解：问题一：
①在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质，
故答案为：A；
②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2；
故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2
问题二：
方程两边同乘 ，得： ，
去括号，得： ，
移项并合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
故答案为：
问题三：
除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验．
题型十七 列分式方程
例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧 吨煤，则根据题意列方程
为___________．
【答案】
【分析】设甲厂每天烧 吨煤，则乙厂每天烧 吨煤，根据甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的
天数相同列出方程即可．
【详解】解：设甲厂每天烧 吨煤，则乙厂每天烧 吨煤，根据题意得：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，并用未知数表示出等量关
系式．
巩固训练
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，
该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时
间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
【答案】
【分析】设实际每天植树 棵，则原计划每天植树 棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植
树320棵所需时间相同”列出分式方程即可．
【详解】解：设实际每天植树 棵，则原计划每天植树 棵，
根据题意，得 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题
译为白话文是：把一份文件送到900里（1里 千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的
时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为 天，则可列方程为______．
【答案】
【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为 天，则慢马送的时间为 天，快马送的时间为 天，
根据题意，得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
题型十八 分式方程的实际应用
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载
速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时
间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒 兆，根据题意可得等量
关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间 秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解
即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒 兆，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
则 ，
答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意
找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．
巩固训练
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪
亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖
面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．【答案】今年龙虾的平均亩产量 ．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，根据去年与今年的养
殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量 ．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，
甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐
款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防疫物
资每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注： 、
两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱 种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种防
疫物资
【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有 人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可得出结论；
（2）（2）设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款
140000元．列出方程，求解出 ，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．【详解】（1）解：设乙公司有 人，则甲公司有 人，
由题意得
，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
∴ ．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）解：设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，由题意得
，整理得 ．
又因为 ，且 、 为正整数，
所以 ， ．
答：有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱 种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种
防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方
程是解题的关键．
