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第十五章 分式压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围.........................................................................................1
压轴题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值................................................................................................4
压轴题型三 与分式有关的规律性问题....................................................................................................................9
压轴题型四 与分式方程有关的规律性问题..........................................................................................................18
压轴题型五 与分式及分式运算有关的新定义型问题..........................................................................................24
02 压轴题型
压轴题型一 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围
例题：（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式 的值是非负数，那么x的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
巩固训练
1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式 的值为正，则 的取值范围是( )
A． B． C． D． 且
2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围是 ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
4．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式 的值为正，则 的取值范围为 ．
5．（23-24八年级下·全国·假期作业）当 的取值范围是多少时：
(1)分式 的值为负数？(2)分式 的值为正数？
(3)分式 的值为负数？
压轴题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数 ，使得 是一个正整数，则 可取的个数有
（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式 的值是正整数，则 可取的整数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 及 都是正整数，则所有满足条件的 的值的和是 ．
3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式 的值为整数，则整数x的值为 ．
4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式 的值为正整数，则整数x的值为 ．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）若x取整数，则使分式 的值为整数的x的值有 个．
6．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和
“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分
母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， ，这样的分式就是假分式；再如： ， 这样
的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如
．
解决下列问题：(1)分式 是 （填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式 化为带分式；
(3)先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
压轴题型三 与分式有关的规律性问题
例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
；
按照以上规律，解决下列问题
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并验证其正确性．
巩固训练1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
2．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试） ； ； ；
…
(1)根据上面 个等式存在的规律写出第 个等式；
(2)用含 的代数式表示出第 个等式，并证明．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式： ， ， ， ，…（其中 ）．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．4．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列各式：
， ， ，
(1)由此推测 ________
(2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数）
(3)请直接用（2）的规律计算 的值．
5．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式：
① ，② ，
③ ，
④ ，
……
按照以上规律，解决下面问题：
(1)写出第⑤个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性．
7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明．压轴题型四 与分式方程有关的规律性问题
例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程：
① 的解 ．
② 的解 ．
③ 的解 ．
④ 的解 ．
……
(1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解；
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
巩固训练
1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的两个解是 ．
(2)解方程： ，可以变形转化为 的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的
结论求解．
(3)方程 的解为 ．2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程：
① 的解是 ；
② 的解是 ；
③ 的解是 ；
④ 的解是 ；
(1)请完成上面的填空；
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
(3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解?
3．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：下列一组方程：① ，② ，③
，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由① 得 或 ；由② 得 或 ；由③ 得 或
，
(1)问题解决：请写出第四个方程______________；
(2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________；
(3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程 的一个解是 ，求n的值．
4．（21-22八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程 的解是 ；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 ；
(3)由（2）可知，在解方程 时，可以变形转化为 的形式求值，按要求写出你的变
形求解过程．
(4)利用（2）的结论解方程： ．
压轴题型五 与分式及分式运算有关的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的
和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如 ，
，
则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
① ；② ；③ ；④ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： ______．(3)当x取什么整数时，“和谐分式” 的值为整数．
巩固训练
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算： ，例： ．根
据这种运算法则，完成下列各题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)计算： ．
2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式
组”．
(1)下列3组分式：
① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中属于“友好分式组”的有____________（只填
序号）；
(2)若正实数 互为倒数，求证 与 属于“友好分式组”；
(3)若 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，求分式 的值．3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如 的式子，若 ，则称 为“勤业式”；
若 ，则称 为“求真式”；若 的值为整数，则称 为“至善式”．
(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）；
① ② ③
(2)若 ， ，请判断 为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由；
(3)若 ， ，且x为整数，当 为“至善式”时，求x的值．
4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式
的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若
，则 和 都是
“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为．
(3)应用先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
5．（23-24八年级下·全国·期中）阅读理解:定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称 是 的“ 差分式”．
例如： 我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
① （含 的代数式表示）；
②若 的值为正整数， 为正整数，求 的值．
(3)已知 ，分式 是 的“ 差分式”（其中 为正数），求 的值．
6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称
A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式 ， ，
，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
(1)已知分式 ， ，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明
并求出C关于D的“差常值”．
(2)已知分式 ， ，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，
求 的值；
(3)已知分式 ， ，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整
数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
