文档内容
重难点突破 17 圆锥曲线中参数范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：弦长最值问题........................................................................................................................2
题型二：三角形面积最值问题..........................................................................................................11
题型三：四边形面积最值问题..........................................................................................................16
题型四：弦长的取值范围问题..........................................................................................................22
题型五：三角形面积的取值范围问题..............................................................................................28
题型六：四边形面积的取值范围问题..............................................................................................36
题型七：向量数量积的取值范围问题..............................................................................................40
题型八：参数的取值范围..................................................................................................................45
03 过关测试.........................................................................................................................................521、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．
求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如 ，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即
所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数” ；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非
常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在
或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
题型一：弦长最值问题
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上､
下顶点分别为 ，四边形 的面积为 且有一个内角为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若以线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，过点 的直线与椭圆 交于 两点（点 在点 的
上方），线段 上存在点 ，使得 ，求 的最小值.【解析】（1）由题意可得 ，可得 ，
，或 ，
所以椭圆的方程为： 或 ；
（2）由以线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，得 ，
所以椭圆 的标准方程为： ，
因为 ，所以点 在椭圆 外，
设 ，
当直线 的斜率存在时， ，
由 ，可得 ，解得 ，（*）
设直线 ，
联立 ，整理可得： ，
由 ，
整理可得： ，解得 或 ，
且 ，
代入 整理可得 ，
代入直线 的方程，得 ，
可得 ，
当直线 的斜率不存在时， ，则 ，
由 ，得 ，也满足方程 ，
所以点 在直线 （在椭圆 内部）上，设点F (1,0)关于直线 的对称点为 ，
2
则 解得 ，
所以 ，
此时点 在椭圆 内，符合题意，
所以 的最小值为 .
【典例1-2】过点 的直线 与椭圆 交于点A和B，且 ．点 ，若O为
坐标原点，求 的最小值．
【解析】
解法一：由 且 ，得 ，
说明P，Q关于椭圆 调和共轭，则Q在 对应的极线上，此极线方程为 ，即
，
故|OQ|的最小值就是点O到直线 的距离 ．解法二：构造同构式
设点Q，A，B的坐标分别为 ，
由题设有 ，则 ，
又Q，A，P，B四点共线，故可设 ．
则 . .
① ②
点A(x ,y )在椭圆 上，将①代入椭圆方程，整理得
1 1
③，
点B(x ,y )在椭圆上，将②代入，整理可得 ④，
2 2
由③④知μ，－μ是方程 的两根，
由韦达定理得 ，点Q的轨迹方程为 ，
故|OQ|的最小值就是点O到直线 的距离 ．
解法3：定比点差法
设 ，由 ，得 ，
同理，由 ，得 ，
∴ ，（*）
由 ，作差整理得 ，
代入（*）式有 ，∴点Q的轨迹方程为 ．
故|OQ|的最小值就是点O到直线 的距离 ．
【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别是 ，双曲线 的顶
点恰好是 、 ，且一条渐近线是 ．
(1)求 的方程：(2)若 上任意一点 （异于顶点），作直线 交 于 ，作直线 交 于 ，求 的最
小值．
【解析】（1）由椭圆 得：左右焦点分别是 ，
因为双曲线 的顶点恰好是 、 ，设双曲线 的方程为： ，
所以 ，
又由一条渐近线是 ，可得 ，所以 ，
即双曲线 的方程为： ，
（2）
设直线 的方程为： ，与椭圆 联立得：
，
可设A(x ,y ),B(x ,y )，则
1 1 2 2
则 ，
同理可设直线 的方程为： ，与椭圆 联立得：
，
可设 ，则
则 ，
再由直线 的方程为： 与直线 的方程为： 联立解得：，
由于这两直线交点就是点 ，则把点 的坐标代入双曲线 的方程得：
，化简得： ，
点 （异于顶点），所以 ，即 ，
则
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值 .
【变式1-2】已知曲线 ： .
(1)若曲线 为双曲线，且渐近线方程为 ，求曲线 的离心率；
(2)若曲线 为椭圆，且 在曲线 上.过原点且斜率存在的直线 和直线 （ 与 不重合）与椭圆
分别交于 ， 两点和 ， 两点，且点 满足到直线 和 的距离都等于 ，求直线 和 的斜率
之积；
(3)若 ，过点A(0,−1)的直线与直线 交于点 ，与椭圆交于 ，点 关于原点的对称点为 ，
直线 交直线 交于点 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为曲线 ： 为双曲线，
若焦点在 轴，则 ，又渐近线方程为 ，则 ，即 ，解得 或 （舍去），
此时曲线 的离心率 ；
若焦点在 轴，则 ，又渐近线方程为 ，
则 ，即 ，解得 （舍去）或 ，
此时曲线 的离心率 ，
综上可得曲线 的离心率为 或 .
（2）依题意 ，解得 或 ，
当 时曲线 ： ，符合题意；
当 时曲线 ： ，符合题意；
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，为不失一般性设 ，
则根据点到直线的距离公式可得 ，
化简得 ，
同理可得 ，
所以 ， 是一元二次方程 的两实数根， ，
则有 ，
又点 ，所以 ．（3）当 时曲线 ： ，
不妨设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 ，则 ，
即 ，
因为点 关于原点的对称点为 ，所以 ，
此时 ，
所以直线 的方程为 ，
当 时，解得 ，即 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，
所以 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．故|MN|的最小值为 ．
【变式1-3】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且
，过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，所以 ，
的周长为 ，所以 ，
所以 ，
故 的方程为 ．
（2）易知 的斜率不为0，设 ，
联立 ，得 ，
所以 ．
所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 的方程为 或 ．
（3）由（2）可知 ，
因为 的斜率是 的斜率的2倍，所以 ，
得 ．所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
题型二：三角形面积最值问题
【典例2-1】已知椭圆C： ＝1（ ）的右焦点F的坐标为 ，且椭圆上任意一点到两点
的距离之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为 ，试问 的面积是否
存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知： ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4，
所以 ，即 ， ，所以椭圆的标准方程为： .
（2）由题意可知直线 的斜率不为 ，且斜率不可能不存在（否则 重合），所以设直线 的方程为：
，
与椭圆的方程联立，得 ，消去 ，得 ，
所以 ，
设 ， ，则 ，
由根与系数的关系，得 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
即直线 与 轴交于一个定点，记为 ，
则 ，等号成立当且仅当 .
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，
下顶点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 面积的最大值．
【解析】（1）令椭圆 的半焦距为c，由离心率为 ，得 ，解得
，
由三角形面积为 ，得 ，则 ， ，
所以 的方程是 .
（2）（i）由（1）知，点 ，设直线 的方程为 ，设 ，
由 消去x得： ，则 ，
直线 与 的斜率分别为 ， ，
于是
，整理得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不符合题意，因此 ，
直线 ： 恒过定点 .
（ii）由（i）知， ，
则 ，
因此 的面积
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
【变式2-1】（2024·广东珠海·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且
，点 在椭圆 上，直线 ．
(1)若直线 与椭圆 有两个公共点，求实数 的取值范围；
(2)当 时，记直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 为椭圆 上两动点，求 的最大
值．【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，则 ，故 ，
而 在椭圆上，故 ，
故 ，故椭圆方程为： ，
由 可得 ，
故 即 即 .
（2）当 时，直线 ，故 ，
由题设可得 为位于直线 的两侧，不妨设 在直线 上方， 在直线 的下方，
当过 的直线与直线 平行且与椭圆相切时，
到直线 的距离最大及 的面积最大，
当过 的直线与直线 平行且与椭圆相切时，
到直线 的距离最大及 的面积最大，
由（1）可得相切时 即 ，
当 时，切点的横坐标为 ，切点坐标为 ，在直线 上方，
此时 到 的距离为 ，
当 时，切点的横坐标为 ，切点坐标为 ，在直线 下方；
此时 到 的距离为 ，
又
故 .
【变式2-2】点A，B分别是椭圆 的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负， 的中点是M，当P位于下顶点时 的面积为1，椭圆离心率为 .
(1)求椭圆方程；
(2)记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值.
【解析】（1）
由题意得 ， ， ，
联立解得a=2， ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）
，其中 是下顶点， ，
注意到 ，设 ，
所以 ，
由复合函数单调性可知，当 时， 有最小值1，注意到 ，所以 的最小值为1，
即 的最小值为1.
【变式2-3】已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 的左，右焦点与短轴两个端点构成
的四边形面积为 .(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，过点 作 轴的垂线交椭圆 交于
另一点 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆 的焦距为 ，则 ，即 ，则 ， ，
由 的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 ，得 ，
即 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）显然 ，设 ，则 ，
由 消去 得 ， ，
则 ，
又 ，而 与 同号，
因此
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 .
题型三：四边形面积最值问题
【典例3-1】记椭圆 的左，右顶点和左，右焦点分别为 ， ， ， ，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线 交l于点 ，作直线 交l于点 ，记直线
与 的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求 ；
(3)求四边形 面积的最大值．附：椭圆 在点 处的切线为 （P
在椭圆上）．
【解析】（1）设点P(x ,y )，则 ，则 .
0 0
由题知，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，联立直线 和 的方程有 ，
设 ，则 代入 ，得到 ,
点Q的轨迹方程为 ．
（2） ，
同理可得 ， ， ，
由对称性，可设 ， 时，则 ， ；
所以 ，此时 ； 时，由对称性可设 ，
设l与x轴交于点M，则 由初中几何有， ，
代入有 ，此时 ．综上所述， ．
（3）由（2）同理可证明 ，记四边形 ， ， 的面积分别为 ， ， ，
则 ，
由前面知， ， ，
当且仅当 时取等；在 中，有 ，代入数据有 ， ，
当且仅当 时取等， ，
当且仅当 时取等．
综上所述，四边形 面积的最大值为 ．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，长
轴长为 ，焦距长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点A(0,3)，点 为椭圆 上一点，求 周长的最大值；
(3)直线 与椭圆 交于 两点，且 关于原点的对称点分别为 ，若
是一个与 无关的常数，则当四边形 面积最大时，求直线 的方程.
【解析】（1）由题意得， ，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）依题意， , 如图①所示，
所以 ,且 .
因为 ,
当且仅当 为 的延长线与椭圆相交时取等号，
所以 的周长最大值为 .
（3）设 ，如图②所示，由 得， ，
所以 ， ，
所以
，
因为
，
所以 ，
因为 与 无关，
所以 ，即 ， ，
此时， ，
所以，
，
由题意可知，四边形 为平行四边形，
因为点 到直线 的距离 ，
所以，
所以 ，
因为 ，
所以 ，四边形 面积最大，
故直线 的方程为 或 .
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆 外切，同时与圆
内切，记圆心M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为 ；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若 ，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．
【解析】（1）圆 ，圆 ，
设圆 的半径为 ，
由已知得 ， ，从而 ，
故圆心 的轨迹为以 为焦点的椭圆（不含左顶点），
又 ，
从而轨迹 的方程为 .
（2）（i）设 ， ， ，直线 的斜率为 ，
由直线TP与TQ的斜率之积为 ，则 存在且 ，
则 ，只需证 且 .
联立 ，消 得 ，
整理得： ，
， ，
以 代 得 ，
故 .
又 ，
，
故 三点共线.
（ii）由（i）知 ，则 ，
的方程： ，从而 ，
则 ，
由 ，当且仅当 取等号，
故 ，即四边形 面积的最大值为 .【变式3-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C： ( )的中心在原点 ，右焦点 ，椭
圆与 轴交于 两点，椭圆离心率为 ，直线 与椭圆C交于点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧 上动点，当四边形 的面积最大时，求P点坐标.
【解析】（1）设 ，又离心率 ，则 .
，则 .
法一：则C： ， 点代入得 ，
法二：则 ， 点代入得 ，
所以C方程为： .
（2）因为 ，而 的面积为定值，所以只要 的面积最大.
设 ，则 ①.
， ，则线段AM长度为定值.
由图知，P在直线 的上方，直线 ： ，
P到直线 的距离为
只需求 的最大值.
法一：设 ，代入 得： ，
因为 ，得 .
当 时，联立①，解得： ， .
法二：因为
.所以 ，
当且仅当 时， .
所以当四边形 的面积最大时，此时点P坐标为 ( ).
题型四：弦长的取值范围问题
【典例4-1】已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分
别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同
侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时， PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
△
(2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程;
(3)求 的取值范围.
【解析】（1）
设 ,
故直线CD的方程为
由 ,得 , 所以
不妨设 ，
由△PF₁F₂是等腰直角三角形可得
所以直线 方程为： ，同理可得 方程为： ，
所以交点 ，
由△PF₁F₂是等腰直角三角形面积为1可得解得 ，
又 在直线 上，
所以 ,
所以 ，又 ，
所以
所以椭圆方程 .
（2）
由图形对称性可得： ，
所以 ，
设 ,
将 和椭圆 得方程联立得
所以
,
故直线 直线
（3）
易得 点关于原点对称，
由(2)知 ,则直线 ，直线 ,
将两式相乘得 ，
其中 ，
故点P的轨迹方程为： ，即
设 则
当 时， ,
当 时， , ,
,
综上， ,
故 .
【典例4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C： 上一点，O为坐标原点，线段OP的垂
直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线 与圆 的交点，求a；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）联立方程： ，解得 或 ，
即点 为 或 ，将点 代入双曲线C： 可得 ，解得 ，
所以 .
（2）先证：在双曲线 上一点 处的切线方程为 .
因为点 在双曲线 上，则 ，
显然直线 过点 ，
即 ， ，
联立方程 ，消去y可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
所以在双曲线 上一点 处的切线方程为 .
设 ， ，则 ，
可得线段OP的垂直平分线为 ，即 ，
设直线 与双曲线C切于点(x ,y )，则直线 ，
1 1
则 ，即 ，且 ，即 ，整理可得 ，
又因为 在双曲线C上，则 ，即 ，
可得 ，解得 （舍负），
则 ，
令 ，则 ，可得 ，
令 ，则关于x的方程 有正根，
即关于t的方程 在 内有根，
设 ，
若 ，即 ，则 ，不合题意；
若 ，即 ，则 ，解得 ，不合题意；
若 ，即 ，则 ，解得 ；
综上所述： ，
则 ，即 .
【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线 ： 的一个焦点与抛
物线 ： 的焦点 重合，且 被 的准线 截得的弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若过 的直线与 的上支交于 ， 两点，设 为坐标原点，求 的取值范围.
【解析】（1）由题可知， 的坐标为(0,2)，
则 .
易知 的方程为 ，不妨设 与 相交于点 ， ，
则 ，整理得 ，则 ，
可得
故 的方程为 .
（2）由题可知，直线 的斜率一定存在，
设 ： ，A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， .
1 1 2 2
联立方程组 整理得 ，
则 ，
, .
由 ， 在 轴的上方，所以 ， ，
可得 .
，则 .
由 ，得 ，
则 ，
故 的取值范围为 .题型五：三角形面积的取值范围问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心
率为 ，且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过 且不垂直于坐标轴的直线 交 于 两点，点 为 的中点，记 的面积为 的
面积为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为点 在椭圆上，所以 .
即 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）
解法一：
由（1）得 ，依题意设 ，
由 消去 ，得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
设 ，则 ，，
由 得， ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 且 ，
则 ，解得 ，且 ，
所以 ，所以 的取值范围为(0,2).
解法二：
由（1）得 ，依题意设 ，
由 消去 ，得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
所以 ，
设 ，则 ，
，令 且 ，
则 代入 可得，
消去 得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，且 ，
所以 ，所以 的取值范围为 .
【典例5-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线 ： 的离心率为2，点 在
上， 、 为双曲线的下、上顶点， 为 上支上的动点（点 与 不重合），直线 和直线 交于
点 ，直线 交 的上支于点 .
(1)求 的方程；
(2)探究直线 是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设 ， 分别为 和 的外接圆面积，求 的取值范围
【解析】（1） ，点 在 上，
故 ，
又 ，
， ，
的方程为 .
（2） 斜率存在，设 ： ，与 联立消去 得：
，设P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，， ，
又 ，
设 ，则 ， ，则 ，则 ，
，
，
，
即 ，
化简得 ，
，
（ 舍去），
因为当 时， ，故点 与 重合，不合题意，
： 直线 过定点(0,4)；
（3）在 中，根据正弦定理得： ， 为 外接圆的半径，
在 中，根据正弦定理得： ， 为 外接圆的半径，
，
，故 ，
由于 ， 分别为 和 的外接圆面积，
故 ，则 ，
设 ： ，与 联立消去 得： ，
设P(x ,y )，Q(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
， ，
， ，
因为 ，所以 ， ， ，
.
【变式5-1】（2024·重庆·三模）设圆D： 与抛物线C： 交于E，F两点，
已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l： 与抛物线C交于A，B两点 点A在第一象限 ，动点 异于点A， 在抛物
线C上，连接MB，过点A作 交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线
l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
② 面积的取值范围.
【解析】（1）由圆 ，可化为标准方程 ，
所以圆心 ，半径为 ，
设 与 轴交于点 ，如图所示，
因为圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，且 ，所以在直角 中， ，所以 ，则 ，
又由抛物线C过点 ，即 ，则 ，
所以抛物线C方程为 .
（2）联立方程组 ，解得点 ， ，则 ，
设动点 ，
则直线 的斜率为 ，直线 ，
直线 的斜率为 ，直线 ，
将抛物线C代入直线AN得 ，
解得点 ，则直线BN的斜率为 ，
所以直线 ，
①联立方程组 ，整理得 ，
因为点P在直线l的左边，则 ，即 ，
所以 ，则 ，
又因为 ，且 ，由 ，可得 且 ，
所以点P的轨迹方程为 且 .
②设P(x,y)，则P到直线l的距离 ，
因为 ，则 ，
则 ，又因为 且 ，所以 ，所以
【变式5-2】（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系 中，已知抛物线C： 的焦点为
F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时， .
(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若 ，求
面积的取值范围.
【解析】（1）因为过F的直线l与C交于M，N两点，故直线 的斜率不为0，
不妨设l的方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立l与C的方程，得 ，
∴ ， ，
则 ，
∴由题可知当 时， ，
∴ ，
C的方程为 .
∴
（2）由（1）知 ，
将R的纵坐标2m代入 ，得 ，
易知C的准线方程为 ，又l与C的准线交于点P，
∴ ，则直线OP的方程为 ，联立OP与C的方程，得 ，
∴ ，
Q，R的纵坐标相等，
∴∴直线 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点Q异于原点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
题型六：四边形面积的取值范围问题
【典例6-1】（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线
的距离之比为 ，记 的轨迹为曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点，
．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： ；
(3)若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂线，
垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
【解析】（1）设点 ，因为点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，所以 ，整理得 ，
所以 的标准方程为 .
（2）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则均不为0且不为 ，
①直线 的斜率不存在时，则可设直线 方程为 ， ，
则 且由点A和点B在曲线E上，故 ，
所以 ，
同理可得 ，所以 ；
②直线 斜率存在时，则可设方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，
则 即 ，
且 ， 且 ，
所以
，
同理 ，所以 ，
综上， .
（3）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则斜率大于1或小于 ，
且曲线E的渐近线方程为 ，
故可分别设直线 和直线 的方程为 和 ，且 ，联立 得 ，设A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，
， ，
故 ，
因为P是 中点，所以 即 ，
同理可得 ，
所以P到两渐近线的距离分别为 ，
，Q到两渐近线的距离分别为 ，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形 是矩形，连接 ，
则四边形 面积为
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 .
【典例6-2】（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线 ，点 、 分别为双曲线的左、右焦点，
A(x ,y )、B(x ,y )为双曲线上的点.
1 1 2 2
(1)求右焦点 到双曲线的渐近线的距离；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)若 ，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形 的面积
的取值范围.
【解析】（1）由题，右焦点 ，渐近线方程为 ，
因此焦点 到渐近线的距离为 .
（2）显然，直线 不与x轴重合，设直线 方程为 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
其中， 恒成立，， ，
代入 ，消元得 ， ，
即 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 .
（3）延长 交双曲线于点P，延长 交双曲线于点Q.则由对称性得，
四边形 为平行四边形，且面积为四边形 面积的2倍.
由题，设 ，直线 程为 ，直线 方程 ，
由第（2）问，易得 ，
因为 ，得 ，因而 ，
平行线 与 之间的距离为 ，
因此， .
令 ，则 ，
得 在 上是严格增函数，
故 （等号当且仅当 时成立），
所以，四边形 面积的取值范围为 .题型七：向量数量积的取值范围问题
【典例7-1】椭圆的中心在原点，其左焦点 与抛物线 的焦点重合，过 的直线 与椭圆交于 、
两点，与抛物线交于 、 两点．当直线 与 轴垂直时， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的最大值和最小值．
【解析】（1）由抛物线方程，得焦点 ．
设椭圆的方程： ．
解方程组 得 ．
由于抛物线、椭圆都关于 轴对称，
∴ ， ，∴ ．
∴ 又 ，
因此， ，解得 ，并推得 ．
故椭圆的方程为 ．
（2）由（1）知，
①若 垂直于 轴，则 ，
∴
②若 与 轴不垂直，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为
由 得
∵ ，∴方程有两个不等的实数根．
设 ．
∴，则
综上，
所以当直线 垂于 轴时， 取得最大值
当直线 与 轴重合时， 取得最小值
【典例7-2】（2024·福建厦门·二模）已知 ， ， 为平面上的一个动点.设直线 的斜
率分别为 ， ，且满足 .记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的轨迹方程；
(2)直线 ， 分别交动直线 于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 . 是否存在最大值？
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意设点 ，由于 ，
故 ，整理得 ，
即 的轨迹方程为 ；
（2）由题意知直线 的斜率分别为 ， ，且满足 ，
设直线 的方程为 ，令 ，则可得 ，即 ，
直线 ，同理求得 ，又直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
故
，
当 时， 取到最大值12，
即 存在最大值，最大值为12.
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点 与点 ，过
点 的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线 ， 分别交直线 于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆C的方程为 且 ，
因为椭圆C过点 与点 ，所以 ，解得 .
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）设直线 ，
由 ，得 ，
即 ，则 .
直线 的方程分别为 .
令 ，则 .
则 ，，
所以
.
因为 ，所以 .
即 的取值范围为 .
所以 存在最小值，且最小值为 .
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线C上动点 到定点 与定直线
的距离之比为常数 ．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为 的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求 的最小
值，并求此时圆T的方程．
【解析】（1）动点 到定点 与定直线 的距离之比为常数
∴ ；化简整理得：
（2）点 与点 关于 轴对称，设 ， ，不妨设 ．
由于点 在椭圆 上，所以 ．
由已知 ，则 ， ，
∴由于 ，故当 时， 取得最小值为 ．
此时 ，
故圆T的方程为 ．
【变式7-3】已知椭圆 经过点 ， 为右焦点， 为右顶点，且满足
（ 为椭圆的离心率， 为坐标原点）
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 且斜率存在的直线 交椭圆 于 、 两点，记 ，若 的最大值和最小值分别为
、 ，求 的值．
【解析】（1）由题意知 ，
因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
，即 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
， ， ，
， ，令 ，
若 ，则关于 的一元二次方程 有解，
则 ，整理可得 ，
设 的最大值和最小值分别为 、 ，
则 、 为一元二次方程 的两不等实根，由韦达定理得 ；
若 ，则 ， 满足不等式 ，但 不是 的最值.
综上所述， ．
题型八：参数的取值范围
【典例8-1】如图，已知抛物线 的方程为 ，焦点为 ，过抛物线内一点 作抛物线准线的
垂线，垂足为 ，与抛物线交于点 ，已知 ， ， .
(1)求 的值；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与曲线 交于不同的两点 ， ，若存在 ，使得
，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ， ，则在 中， ，
由抛物线的定义得， ，
故 ，则 ，即 ，设 ，则 ，解得 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ， ，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）可知抛物线方程为： ，设M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
设 ，联立 ，整理得： ，
因为 ，所以 ，
由韦达定理得 ， ，
因为 ，则 ，故 ，
故 ，
将 代入（*）式得 ，
因为存在 ，使得 ，
所以有 对 有解，
而 ，所以 ，
解得 ，或 ，
因为 ，所以 .【典例8-2】（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C： 过定点 ，过点 的两条动直
线交椭圆于 ，直线 的倾斜角互补， 为椭圆C的右焦点.
(1)设 是椭圆 的动点，过点 作直线 的垂线 为垂足，求 .
(2)在 中，记 ，若直线AB的斜率为 ，求 的最大值.
【解析】（1）因为点P在椭圆C上，所以 ，解得 ；
所以椭圆C的方程为 ，故 ，
设动点 ，则 ，所以 ，
故 ， ，
所以 ．
（2）不妨设 ， 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理得 ，
所以 .
如图，过 作直线 的垂线，垂足为 ，
过 作 于点 ，由（1）的结论可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，得 ，
则 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号，
所以 的最大值为 .
【变式8-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ， 分别为
椭圆 的左、右顶点， 分别为椭圆 的上、下顶点，四边形 的面积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 相交于 两点，直线 与 的交点为 ．
①若直线 的倾斜角为 ，求线段 的长度；
②试问 是否有最大值？如果有，求出 的最大值；如果没有，说明理由．
【解析】（1）由题知 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，
①当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为 ，
由 ，消 得到 ，
所以 ，
所以 .
②由（1）知 ，易知 ，设直线 ，由 ，消 得到 ，
所以 ，
设直线 的斜率分别为 ，且 ，
所以 ，
得到 ，又 ，
当且仅当 ，即 时， 的最大值为 ，
又 ，所以 的最大值为 .
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，且 在抛
物线 的准线上，点 是 上的一个动点， 面积的最大值为 .
(1)求 的方程；
(2)设经过 右焦点 且斜率不为0的直线交 于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，
求 的取值范围.
【解析】（1）焦点 在抛物线 的准线 上，则椭圆半焦距 ，
当点 为短轴顶点时， 面积最大，此时 ，
则 ，
所以椭圆方程为 .
（2）当 轴时，显然 ，当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ， ，
设 ，线段 的中点 ，
则 ，
线段 的垂直平分线方程为 ，
令 ，得 ，显然 ，当且仅当 时取等号，
当 时， ；当 时， ，于是 或 ，
所以 的取值范围是 .
【变式8-3】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率 ．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点 是线段OF上的一个
动点，且 ，求m的取值范围．
【解析】（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为
抛物线方程化为 ，其焦点为 ，则椭圆的一个顶点为 ，即 ．
由 ，解得 ，
∴椭圆的标准方程为 ．
（2）由（1）得 ，则 ，设A(x ,y )，B(x ,y )， ，
1 1 2 2结合题意可设直线l的方程为 ．
由 ，消y得 ，
直线l过椭圆焦点，必有 ，∴ ，
则
， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
两边同除以 ，有 ，
∴ ，
∴
m的取值范围为 ．
∴
1．已知椭圆 的离心率 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 是坐标原点，求 面积的最大值.
【解析】（1）椭圆 过点 ，得 ①，
， ，即 ②，
由①②联立解得 ，则椭圆方程为
（2）当直线 垂直于 轴时， 三点共线，不能构成三角形，
故直线 的斜率存在，则设直线 为： ，
设 ，
联立 ，得 ，
则 ，即 或 ，
，
则 ，
点 到直线 的距离为 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，即 时等号成立，
故 面积的最大值为 .
2．（2024·新疆·三模）已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过抛物线 ： 焦点的直线交抛物线于M，N两点， 的最小值为4.连接 ， 并延长分别交
于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限， 与 的面积分别记为 ，
.
(1)求 和 的方程；
(2)记 ，求 的最小值.
【解析】（1）设直线 的方程为 ，设M(x ,y )，N(x ,y )，联立 ,
1 1 2 2
整理得 ，所以 ，
所以当 时，|MN|有最小值 ，所以 ，解得 ，
又因为离心率为 ，所以 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 .
（2）
由（1）可得 ， ，所以 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，解得 ，
同理可设直线 的方程为 ，可解得 ，.
所以当 时， 有最小值 .
3．（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 、 ，上、下顶点分
别为 、 ，四边形 的面积为 且 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段 上存在点M使得 ，
求 的最小值.
【解析】（1）由题意 即 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆E的方程为 ；
（2）因为 ，所以点 在椭圆E外，设 ，
当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，
联立 得 ，
由 得 ，
解得 或 ，所以 ， ，
由 得 ，所以 ，
则 ，消去k得 ；
当直线 斜率不存在时， 也满足 ，
所以点M在直线 上且在椭圆E的内部，设 关于直线 对称点 ，则 ，解得 ，
所以 ，此时直线 方程为 ，
由 得 ，点M在椭圆内部，使得 的最小值为 .
4．在平面直角坐标系 中，已知椭圆E： 的离心率为 ，右焦点F到椭圆E上任意
一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接
， 交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设 ， ，求 的最大值．
【解析】（1）由题意得 ， ，
所以椭圆E的方程为 .
（2）①由（1） ， ， ，故可设直线 ，
联立 ，
则 ，设 ，则 ， ， ，
由题意可知直线 与直线 斜率存在，
则 ， ，
联立
，
所以 ，故点Q在定直线 上.
②由上以及 ， 得：
， ，
故 ， ， 即 ， ，
所以 ，
因为 ，故 ，所以 最大值为 ，即 的最大值为 .
5．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆 ： 的左、右焦点别为 ， ，离心率为 ，
过点 的动直线 交 于 ， 两点，点 在 轴上方，且 不与 轴垂直， 的周长为 ，直线
与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ，点 为椭圆 的下顶点，如图.(1)求 的方程：
(2)若过 作 ，垂足为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 的最大值.
【解析】（1）由椭圆定义可知 ，|BF |+|BF |=2a，
1 2
所以 的周长为 ，所以 ，
又因为椭圆离心率为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以椭圆的方程：
（2）(i)设点A(x ,y )，B(x ,y )， ， ，
1 1 2 2
则直线 的方程为 ，则 ，
由 得， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
又 ，
同理， ，
由 ， ， 三点共线，得 ，所以 ，
直线 的方程为
由对称性可知，如果直线 过定点，则该定点在 轴上，
令 得，
，
故直线 过定点 .
（ii）由题意知点 ，点 的轨迹为以F (1,0)， 为直径的圆（除 ， 外），
2
圆心为 ，半径为 ，故 .
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系 中，椭圆 与双曲线
．
(1)若 的长轴长为8，短轴长为4，直线 与 有唯一的公共点 ，过 且与 垂直的
直线分别交 轴， 轴于点 两点，当 运动时，求点 的轨迹方程；
(2)若 的长轴长为4，短轴长为2，过 的左焦点 作直线 与 相交于 两点（ 在 轴上方），分别
过 作 的切线，两切线交于点 ，求 面积的最小值．
【解析】（1）因为 的长轴长为8，短轴长为4，所以 ， ，
联立方程 ，得 ，
又 与 有唯一的公共点 ，所以 ，
即 ， 的横坐标为 ，
把 代入 中， ，所以 ，
过 且与 垂直的直线为 ，则 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
即 ，所以 的轨迹方程为 ．
（2）
因为 的长轴长为4，短轴长为2，所以 ，
，左焦点 ，
当 斜率为0时， 分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点，
当 斜率不为0时，设 ，由 得 ，
设 ，则 ，
，
椭圆在 轴上方对应方程为 ，
则点 处切线斜率为 ，
点 处切线方程为 ，即 ，
同理可得点 处的切线方程为 ，
由 得 ，
代入①得 ，
所以 ，所以 ，
而 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
则当 时， ．
所以 面积的最小值为 .
7．（2024·辽宁·模拟预测）动点M到定点 的距离与它到直线 的距离之比为 ，记点M
的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)设A，B为 的左右顶点，点 ，点M关于x轴的对称点为 ，经过点M的直线与直线 相交
于点N，直线BM与BN的斜率之积为 ．记 和 的面积分别为 ， ，求 的最大值．
【解析】（1）设 ，由题意 ，
化简得线 的轨迹方程为 ．
（2）解法1：
， ，设 ，则 ，
所以直线AM与BM的斜率之积为 ．
因为直线BM与BN的斜率之积为 ，
所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为 ，设 ，
由 得 ， ．
由对称性知MN经过x轴上的定点 ，因为 ，由 ，得 ，所以MN经过定点 ．
所以
设 ，因为 ，所以 ．设 ， ，
因为当 时， ，
当 时， ，所以 ．
因此 ，
当且仅当 取等号，取等号时， ， ．
于是当 ， 时， 取最大值 ．
解法2：
， ，设 ，则 ，
所以直线AM与BM的斜率之积为 ．
因为直线BM与BN的斜率之积为 ，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为 ，设 ，
由 得 ， ．
由 ，
知 ，
故点N在 上．
由对称性知MN经过x轴上的定点 ，因为 ，
由 ，得 ，所以MN经过定点 ．
可知MN不垂直于y轴，设 ，
联立 得 ，
因为 ，所以 ，
因此
由 ，得 ，
当 ， 时等号成立，
于是 取最大值 ．
解法3：
可知BM不垂直于x轴，设BM的斜率为k，则 ，
联立 得 ．
由 得 ，从而 ．
所以 的斜率为 ，
故 ．
因为直线BM与BN的斜率之积为 ，
所以 ．由 得 ，从而 ．
所以 ，
当 时， ，所以MN经过定点 ．
因此 ．
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ．
于是当 ， 时， 取最大值 ．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，经过 的直线 与
交于不重合的 两点.
(1)若 的离心率为2，求证：对于给定的 或 ，以 为直径的圆经过 轴上一定点.
(2)若 ， 为 轴上一点，四边形 为平行四边形，求其面积的最小值.
【解析】（1） ，即 ， ，
故可设 ， ， ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2联立 ，得 ，且 ，
所以 ，则 ，
设 ，易知： ，所以 ， ，
有 ，
即 ，
所以 ，得 ，且该解同时满足以上方程，故该圆经过定点 .
（2） 时， ，令 ，
联立 ，得 ，
， ，
设 中点为 ， ，
，又 在 轴上，
所以 ，得 ， ，
由于 斜率为正的渐近线为： ， ，故 在 的异支上，
， ，
所以 ， ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 .
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平
分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【解析】（1）M为 的垂直平分线上一点, 则 ，
则
∴点M的轨迹为以 为焦点的双曲线, 且 ，
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设 ，双曲线的渐近线方程为： ，
如图所示：
则 ①， ②，
+ 得， ，
① ②
- 得， ，
① ②
则 ，得
由题可知 ，则 ，
得 ，即 ，∴直线 的方程为 ，即 ，
又∵点M在曲线H上，则 ，得 ，
将方程联立 ，得 ，
得 ，
由 ，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得 ，同理可得， ，
则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故 的取值范围为 ．
10．（2024·山东济南·二模）已知点 是双曲线 上一点， 在点 处的切线与 轴交于
点 .
(1)求双曲线 的方程及点 的坐标；
(2)过 且斜率非负的直线与 的左､右支分别交于 .过 做 垂直于 轴交 于 （当 位于左顶点
时认为 与 重合）. 为圆 上任意一点，求四边形 的面积 的最小值.
【解析】（1）由题意可知， ，即 ，故 的方程为： .
因为 在第一象限，不妨设 ，则 可变形为 ，
则 ，代入 得： ，所以切线方程为 ，
令 得 ,所以点 坐标为(1,0).
（2）显然直线 的斜率存在且不为 ，
设 ，则 ，
联立方程 ，整理得： ，
，
由 三点共线得： ，即 ，
整理得： ，
所以 ，整理得 ，
满足 ，所以直线 过定点 ，则 且线段垂直于x轴，
令 分别表示 到 的距离，
结合图，显然 ，仅当 为右顶点时两式中等号成立，
所以
，当且仅当 时等号成立.
11．（2024·上海·模拟预测）已知点 在双曲线 的一条渐近线上， 为双曲线的左、
右焦点且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 恰有一个公共点，求直线 的方程；
(3)过点 的直线 与双曲线左右两支分别交于点 ，求证： .
【解析】（1）设双曲线 的渐近线为 ，
因为点 在双曲线的一条渐近线上，所以 ，又 ，故 ，
又 解得 ，故双曲线 的方程为 .
（2）
如图，当直线斜率不存在时， ，满足题意；
如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得，
当直线过点 且平行于双曲线的渐近线 时，直线与双曲线也只有一个公共点，
此时， ，
此时直线方程为： ，即
综上：直线的方程为 或 .
（3）由题，直线斜率存在，
设直线方程为 ，即 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，整理得： ，
则
由弦长公式：
令 ，则 ,则 , ，则
令 , 与 同正负. ，此时 ，则
，即 单调递增，
则 ，且 ，
则 ，使得
则当 ，即 ，则 单调递减.
当 ，即 ，则 单调递增.
则 在 出取得最小值 ,且 ，
故
即 ，原命题得证.
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， 为动点，
满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知过点 的直线 与曲线 交于两点 ， ，连接 ， .
（ⅰ）记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（ⅱ）直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，求 的最小值.
【解析】（1）因为 ，
所以根据双曲线的定义可知点 的轨迹为以 ， 为焦点，实轴长为2的双曲线，
由 ， ，得 ， ，所以 的方程为 .
（2）（ⅰ）设直线 ： （ ）
因为直线过定点 ，所以 .
变形可得 ，即所以
整理得 （*）
设 ，则（*）式除以 得
此时 ， 是方程 的两根，所以 ，
所以 ，得证.
（ⅱ）设直线 ： ，由 ，可得 ；
设直线 ： ，同理可得 ；
.
由 得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 .
13．（2024·山东日照·三模）已知双曲线 的中心为坐标原点，右顶点为 ，离心率为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 交双曲线右支于 ， 两点，交 轴于点 ，且 ， .
（i）求证： 为定值；（ii）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，若 ，当 时，求实数
的范围.
【解析】（1）设双曲线C： ，由题意得 ， ，
则 ， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）（i）如图：
设M(x ,y )，N(x ,y )， ，
1 1 2 2
由 与 ，得 ，
即 ， ，
将 代入 的方程得： ，
整理得： ①，
同理由 可得 ②.
由①②知， ， 是关于 的一元二次方程 的两个不等实根.
显然 ，由韦达定理知 ，所以 为定值.
（ii）由 ，即 ，
整理得： ，
又 ，不妨设 ，则 ，
整理得 ，又 ，故 ，
而由（2）知 ， ，故 ，
代入 ，
令 ，得 ，
由双勾函数性质可知， 在 上单调递增，
所以 的取值范围是 ，
所以 的取值范围为 .
14．已知双曲线 ： （ ）与双曲线 有相同的渐近线.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 ，点 ， 在双曲线 的左支上，满足 ，证明：直线 过定点；
(3)在（2）的条件下，求点 到直线 距离的最大值.
【解析】（1）双曲线 与双曲线 有相同的渐近线方程，
所以 ，即 ，又 ，从而 ，
所以双曲线 的方程为 ；
（2）显然直线 不与 轴平行，可设其方程为 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则由韦达定理可得 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
整理得 ，即 ，
而显然直线 不经过点 ，所以 ， ，故直线 经过定点 ，得证.
（3）设点 在直线 上的投影为 ，由（2）知直线 经过定点 ，
所以当 与点 重合，即直线 直线 时，点 到直线 距离的最大值，
此时 ，所以点 到直线 距离的最大值为 .
15．（2024·安徽·三模）已知双曲线 的离心率为2，动直线 与 的
左､右两支分别交于点 ，且当 时， （ 为坐标原点）.
(1)求 的方程；
(2)若点 到 的距离为 的左､右顶点分别为 ，记直线 的斜率分别为 ，求
的最小值
【解析】（1）设 的半焦距为 ，
由题意知离心率 ，可得 ，
联立方程组 ，整理得 ，
其中 且 ，
则 ，
解得 ，所以双曲线 的方程为 .
（2）因为点 到 的距离为1，可得 ，则 .
联立方程组 ，整理得 ，其中 ，
且 ，
因为直线 与 的左､右两支分别交于点 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，故 ，
且 ，
因为 ，故 ，
由（1）可知 ，则 ，
故 ，
又由 ，故 ，
即 的最小值为 .
16．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于
两点（ 在第一象限），与 轴交于点 .设直线 的倾斜角分别为 .
(1)若 ，
（i）若 ，求 ；
（ii）求证： 为定值；(2)若 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 的外接圆半径之比的最大值.
【解析】（1）（i） ，所以直线 .
直线 与 联立可得 ，解得 或 ，所以 .
所以 ，所以 ；
（ii）法1：①直线 斜率存在时，可设直线 的方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
由 得
所以 .
当 时，由（i）可得 ；
当 时，设 的斜率分别为 .
.
所以 ，
.
所以 .因为 在第一象限，所以 ，所以 ，所以 .
②直线 斜率不存在时，可得 ，
可得 ，
所以 ，同理可得 .
综上可得， 为定值 ，得证.
法2：① 时，由（i）可得 ；
② 时，设 的斜率分别为 .
设 ，由 在直线上可得 .
与 联立可得 ，
即 ，
所以 就是方程 的两根.
所以 ，
，
因为 在第一象限，所以 ，所以 ，所以 .
综上可得， 为定值 ，得证.
（2）由（1）可得 时， .
① 不存在，则A(0,−1)，由①（i）可得 ，所以 ，
所以 .
② 不存在，则 ，则 ，此时 ，由图可得 .
③法1：若 和 均存在，设 ，则
与双曲线联立可得 .
所以 .
所以 ，
所以 .
设 与 的外接圆半径分别为 ，
从而 .等号当且仅当 时取到.
所以 与 的外接圆半径之比的最大值为2.
法2：若 和 均存在，设 ，则 .
由 三点共线可得 .
所以 ，所以 .
所以.
所以 ，所以 .
设 与 的外接圆半径分别为 ，
从而 .等号当且仅当 时取到.
所以 与 的外接圆半径之比的最大值为2.
法3：若 和 均存在，设 ，则 ，
则 .
记直线 的倾斜角为 ，则 ，所以
所以 .
设 与 的外接圆半径分别为 ，
从而 .等号当且仅当 时取到.
所以 与 的外接圆半径之比的最大值为2.
17．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 与曲线 有4个交点
（按逆时针排列）
(1)当 时，判断四边形 的形状；
(2)设 为坐标原点，证明： 为定值；
(3)求四边形 面积的最大值．
附：若方程 有4个实根 ， ， ， ，则 ，
．
【解析】（1）当 时，四边形 为正方形，理由如下：
此时 ，又 ，
，
由 ，
故四个交点坐标分别为 ，
且 ⊥ ，
为正方形；
（2） ，
将 代入， ，
化简得
，
设 ，
由“公式”知 ，
，
故
．
（3）记 ， ， ， ．
当 在内部时，设 ，
．当且仅当四边形 为正方形 取等．
当 在外部时，设 ，
.
综上，四边形 面积最大值为8．
