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第十二章 全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、
旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性
质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定
五、全等三角形的证明思路
六、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆
等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、
线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1．证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离
相等.(3) 等式性质.
2．证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证
明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.
3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4．辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质
或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，
通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
七、 角平分线
概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB ∴∠MOP=∠NOP
八、角平分线常考四种辅助线：
1. 图中有角平分线，可向两边作垂线。
2. 角平分线加垂线，三线合一试试看。
3. 角平分线平行线，等腰三角形来添。
4. 也可将图对折看，对称以后关系出现。
03 题型归纳
题型一 全等图形识别
例题：（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．巩固训练
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 全等三角形的概念
例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（ ）
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）全等图形的周长都相等；
（3）面积相等的两个等腰三角形是全等形；
（4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等
2．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（ ）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
3．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等
C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
题型三 全等三角形的性质
例题：（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在 上， ，
(1)试说明： ；
(2)若 ， ，求 的长
巩固训练
1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图， ，其中点A、E、B、D在一条直线上．
(1)若 ，求 的大小；
(2)若 ，求 的长．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知 ，点 在边 上， 与 交于点 ，， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 与 的周长之和．
3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示， ，点 在 边上， 与 交于点 ．
(1)若 ， ，求线段 的长；
(2)若 ， ，求 的度数．
题型四 添加一个条件使两三角形全等
例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在 上，E在 上，且 ，补充一个条件______
后，可用“ ”判断 ．
巩固训练
1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点 在一条直线上，已知 ，请你添加一个适当的条件_________使得 ．（要求不添加任何线段）
2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ，只需添
加一个条件即可证明 ，这个条件可以是________（写出一个即可）．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知 ，要使用“ ”证明 ，应添加
条件：_______________；要使用“ ”证明 ，应添加条件：_______________________．
题型五 用SAS证明两三角形全等
例题：（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知 ， ， ．求证：
．
巩固训练
1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点 、 、 、 在同一直线上， 、 相交于点 ，，垂足为 ， ，垂足为 ，且 ， ．
求证： ．
2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上， ，
， ．求证： ．
题型六 用ASA证明两三角形全等
例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图， ，点 ，点 在 上， ，
求证： ．
巩固训练
1．（2023·校联考一模）如图，点A、 、 、 在同一条直线上，若 ， ，
求证： ．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在 和 中， ，点B
为 中点， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
题型七 用AAS证明两三角形全等
例题：（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在 边 上， ，
， ．求证：
巩固训练
1．（2023·浙江温州·统考二模）如图， ， ， ．(1)求证： ．
(2)当 ， 时，求 的度数．
2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点 是线段 上一点， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
题型八 用SSS证明两三角形全等
例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点 在一条直线上， ，
求证： ．
巩固训练
1．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的中点， ．求证： ．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知 ，点 分别在 上， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
题型九 用HL证明两直角三角形全等
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 和 中， 于A， 于D，
， 与 相交于点O．求证： ．
巩固训练
1．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图，点A，D，B，E在同一直线上，
．(1)求证： ；
(2) ，求 的度数．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，已知 相交于点O， ， 于点M，
于点N， ．
(1)求证： ；
(2)试猜想 与 的大小关系，并说明理由．
题型十 三角形全等的判定与性质
例题：（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
巩固训练1．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在 中， 是 边上的一点， ， 平分
，交 边于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
2．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，
绘制如下图，点 在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，
且 ， ，测得 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求池塘 的长度．
3．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形 中， 于点B， 于点D，
点E，F分别在 ， 上， ， ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求四边形 的面积；
(3)猜想 ， ， 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
题型十一 角平分线的性质定理
例题：（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，点 是 平分线 上一点， ，垂足为 ，
若 ，则点 到边 的距离是 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，在 中， 平分 ， ．若 ，
，则 ．
2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加
油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 中， 和 的平分线交于点D， 于
点E，已知 ， 的面积是5，则 周长是 ．
题型十二 角平分线的判定定理
例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图， 是AD中点， 平分 ．
(1)若 ，求证： 平分 ．
(2)若 ，求证： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在 中，D是 的垂直平分线上一点，过点D作
，垂足为点E，F， ．求证：点D在 的平分线上．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图， 于E，
交 的延长线于点F．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的长．
3．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，在 外作 和 ，使
，且 ，连接 相交于P点．
(1)求证： ；
(2) ______（用含 的代数式表示）；
(3)求证：点A在 的平分线上．
