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第十五章 分式易错训练
01 易错总结
目录
易错题型一 分式值为0时求值，忽略分母不为0..................................................................................................1
易错题型二 整式与分式混合运算易错....................................................................................................................3
易错题型三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0.................................................................................6
易错题型四 解分式方程不验根...............................................................................................................................11
易错题型五 分式方程无解与增根混淆不清..........................................................................................................18
易错题型六 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值......................................21
02 易错题型
易错题型一 分式值为0时求值，忽略分母不为0
例题：（23-24八年级下·全国·期中）若分式 ，则 x= ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查的是分式的值为 的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为 ；分母不
为0.这两个条件缺一不可．
【详解】解：∵分式 ，
∴ ，解得x=2，
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）若分式 的值为0，则x的值为 ．
【答案】1【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查分式的值为零的条件．
根据“分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0，分母不为0”列式计算即可求解．
【详解】解：由题意可得 ，解得 ，
故答案为：1．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）若分式 的值为 ，则 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．直
接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案即可．
【详解】解：若分式 的值为 ，
则有 且 ，
解得 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，分式 的值为0．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）当 时，分式 的值为零．【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题主要考查分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件．根据分式的解
为0的条件，即可得到答案.
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为： .
易错题型二 整式与分式混合运算易错
例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
巩固训练1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简
即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
2．（2024·陕西西安·一模）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简，掌握分式的混合运算法则，即可解题．
【详解】解：．
3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键；
（1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结
果．
【详解】（1） ；
，
；
（2）
=．
4．（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除混合运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运
算的运算法则是解决问题的关键．
（1）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；
（2）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分，最后通过整式
乘法计算即可得到答案；
（3）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；
（4）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，因式分解，再将除法转化为乘法，约分，最后通分、利
用同分母的分式减法运算计算后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ；
（3）解： ；（4）解：
．
易错题型三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
例题：（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）先化简 ，然后从 ，0，2，3中选
一个合适的数代入求值．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同
分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式 ，
，
，，
，
因为 ， ， ，即 不能为 ，0，3
所以；当 时，原式 ．
巩固训练
1．（2024·江西九江·模拟预测）化简分式 ，并从2， ，0选择一个适当的x的值
代入求值．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条
件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把
所给字母的值代入计算．
【详解】解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ．
2．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）先化简： ，并在 ，0，1，2这5个
数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值．【答案】 ，
【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，代入求值，运用分式的性质，乘法公式，进行计算，根据分式
的分母不能为零，确定取值，代入计算即可．
【详解】解：
，
∵当 ，2时，原分式无意义，
∴x可以是0或1，当 时，原式 ．
3．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）先化简： ，再从 ， 中选择一个
合适的m值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ．
【知识点】分式化简求值
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从 ， 中选择一个使得原分式有意义的值代
入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：，
或 时，原分式无意义，
，
当 时，原式
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，再从 ，0，1这三
个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】 ， 时，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最
后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ ，∴当 时，原式 ．
5．（2024·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值： ，其中x从 ， ，1，3中选
择一个适当的数．
【答案】 ，当 时，原式
【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内的，同时把除法转化为乘法，然后约分，最后选择合
适的x代入求值即可．
【详解】解：
，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴取 ，
当 时，原式 ．
6．（2024·四川广安·模拟预测）先化简，后求值： ，然后在 ，0，1三个数中
选一个适合的数，代入求值．
【答案】 ，当 时，原式
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式化简求值，注意计算的准确性以及分式有意义的条件．【详解】解：原式
由题意知 且 ，
，
当 时，原式 ．
7．（2024九年级下·内蒙古通辽·专题练习）先化简，再求值： ，然后从 中
选出一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】 ，取 ，原式
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】的范围本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对分式有意义的条件的理解以及分式运算法
则的掌握．
利用分式的运算法则对所求的式子中括号里的式子通分，式子中的除法化为乘法，进行化简，并根据分式
有意义的条件判断x的取值范围，从而代入合适的值进行运算即可．
【详解】解：
∵ 且x为整数
∴ ， ， ，0
又∵ ， ，∴ ， ，
∴当 时，原式 ．
易错题型四 解分式方程不验根
例题：（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）解分式方程
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程.
（1）两边同乘以 得到整式方程，解方程并检验即可；
（2）两边同乘以 得到整式方程，解方程并检验即可.
【详解】（1）
方程两边同乘以 得， ，
解得，
当 时， ，
∴ 是分式方程的解；
（2）
两边同乘以 得， ，
解得当 时， ，
∴ 是增根，分式方程无解.
巩固训练
1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解；
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根
（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可．
【详解】（1）解：去分母得，
解得，
当 时， ，
所以原方程无解；
（2）解：去分母得，
解得，
当 时， ，
所以 是原方程的解；
2．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)原方程无解
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以 得： ，整理得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
则 是增根，
∴原方程无解；
（2）解： ，
方程两边同时乘以 得： ，整理得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
3．（23-24九年级上·全国·开学考试）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：
（1）方程两边都乘 ，得出 ，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘 得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘 得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：
去分母得， ，
解得： ，
经检验：当 是原方程的根，
∴原方程的解为 ．
4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：
（1）方程两边都乘 ，得出 ，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘 得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】（1）解：方程两边都乘 ，得
，
解这个方程，得 ，
经检验， 是原方程的根；
（2）解：方程两边都乘 ，得
．
解这个方程，得 ．
经检验 是增根，原方程无解．
5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)原方程无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得 的值后进行检验即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得 的值后进行检验即可．
【详解】（1）解：原方程去分母得： ，
整理得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
原方程的解为 ；
（2）解：原方程去分母得： ，
整理得： ，
解得： ，检验：当 时， ，即 是分式方程的增根，
原方程无解．
6．（23-24八年级下·全国·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)无解
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．
（1）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可．
（2）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可．
【详解】（1） ，
原方程化为 ，
同时乘以 得：
，
去括号得： ，
解得 ，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的增根．
原分式方程无解．
（2） 化解可得 ，
方程两边同乘 ，得： ，
去括号得： ，解得： ，
经检验 是原方程的解，
因此，原方程的解为 ．
7．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)分式方程无解
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，
（1）两边都乘以 得到 ，解方程并检验即可；
（2）两边都乘以 得 ，解方程并检验即可．
【详解】（1）解：
两边都乘以 得，
解得
当 时， ，
∴ 是分式方程的解
（2）解：
两边都乘以 得，解得
当 时， ，
∴ 是增根，分式方程无解
易错题型五 分式方程无解与增根混淆不清
例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值是 ．
【答案】1或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到 ，由于关于 的
分式方程 无解，分两种情况可求得m．
【详解】解：
去分母，得 ，
．
关于 的分式方程无解，
当 时，原方程无解，
∴ ，
∵最简公分母 ，
，
当 时，得 ，
综上 的值为1或 ．
故答案为：1或 ．
巩固训练1．（23-24八年级下·全国·单元测试）当 时，关于 的方程 有增根．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根，根据解分式方程的一般步骤，化为整式方程，根据分式方程有增根(
使分母为 的 的值)，可得 的值．熟练掌握分式方程的解法，理解增根定义是解决问题的关键．
【详解】解：方程两边都乘以 ，得
，
分式方程有增根，则 ，解得 ，
，解得 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ．
【答案】3
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到 ，由于关于 的分式
方程 无解，则最简公分母 ，求得x，进而可求得m．
【详解】解：去分母，得 ，
．
关于 的分式方程无解，
最简公分母 ，
，
当 时，得 ，
即 的值为3．
故答案为：3．
3．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）关于x的分式方程 有增根，则 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握分式方程增根的产生原因，增根的求法．
分式方程去分母，化成整式方程，根据分式方程有增根，令公分母等于0求出增根，代入整式方程即可求出m值．
【详解】方程 去分母得，
，
∵关于x的分式方程 有增根，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
故答案为：
4．（23-24八年级下·全国·期末）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【答案】4
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先去分母变成整式方程，再根据无解求解即可．
【详解】方程 两边同乘 得 ，
∵关于 的方程 无解，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
5．（2024八年级·全国·竞赛）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或1
【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
去分母，整理得 ，根据分式方程无解可知增根分别为 或 ，分别求解即可．
【详解】分式方程两边都乘以最简公分母 ，得： ，
整理得： ，关于 的分式方程 无解，
当 时，得 ，解得 ，
当 时，得 ，解得 ．
∴ 的值为 或1．
故答案为： 或1．
6．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程 .
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.
试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝
－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的
解使最简公分母等于0或整式方程无解．
易错题型六 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值
例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程 的解为正数，
则k的取值范固是 ．
【答案】 且【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相
关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解 用含 的表达式进行表示，进而令 ，再
因分式方程要有意义则 ，进而计算出 的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，
根据题意 且
∴
∴
∴k的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
巩固训练
1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值
范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．解分式方程得： ，再根据其解的情况求解即可，
注意分母不能为0的条件．掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
化为整式方程为 ，
解得： ．
∵该分式方程的解为正数，
∴ ，且 ，∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于 的方程 的解为负数，则 的取值范
围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把 看作常数，根据分式方程的解法求出 的表达式，再
根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步
骤．
【详解】解： ，
，
，
，
，
∵分式方程的解为负数，
∴ ，解得： ，
又∵ ，
∴ 且 ，解得： 且 ，
综上可知： 且 ，
故答案为： 且 ．
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 的解为非负数，则
a的取值范围 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为 ，再
根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可．【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵关于x的分式方程 的解为非负数，
∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程 的解为正整数，则所
有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，先解分式方程，用a表示方程的解，根据方
程的解是正整数的要求得出a的值，即可得到答案．
【详解】分式两边都乘以 ，得 ，
得 ，
∵该分式方程的解为正整数，
∴ 的值为1或2或3，
∴所有满足条件的整数a的值为2或 或 ，
所有满足条件的整数a的值之和是 ，
故答案为： ．
