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第十五章 分式
一、单选题：
1．在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒体积较大，直径约为0.000 000 125米，含约3万个碱基， 拥
有RNA病毒中最大的基因组，比艾滋病毒和丙型肝炎的基因组大三倍以上，比流感的基因组大两倍．
0.000000125用科学记数法表示为( )
A．1.25×10-6 B．1.25×10-7 C．1.25×106 D．1.25×107
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法将原数表示为 的形式，其中 ，n是正整数．
【详解】解：0.000000125=1.25×10-7，
故答案选：B
【点睛】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成 的形式，
其中 ，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
2．下列各式 中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】形如 (A、B均为整式，且B中含有字母)的式子叫分式，根据定义解答．
【详解】解：分式有： ，
故选：D．
【点睛】此题考查分式的定义，熟记定义是解题的关键．
3．根据分式的基本性质，分式 可变形为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐一分析即可．【详解】解： 故A，C不符合题意；
故B不符合题意；D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查分式的基本性质，理解分式的基本性质（分式的分子，分母同时乘以或除以同一个不为
零的数或式子，分式的值不变）是解题关键．
4．要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．x≠1或x≠2
【答案】C
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，（x-1）（x-2）≠0，
解得x≠1且x≠2．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母
为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
5．下列分式中，最简分⇔式是（ ） ⇔
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的四则运算法则逐个运算求解即可
【详解】解：选项A：原式= ，不合题意；
选项B、原式为最简分式，符合题意；
选项C、原式= ，不合题意，
选项D、原式= ，不合题意；
故选：B．【点睛】本题考查了最简分式的判断，属于基础题，分子分母先因式分解，能约分的则约分化简．
6．如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
【答案】B
【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，
得 ，
可见新分式扩大为原来的2倍．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．要注意：解此类题
首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7．为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种
20%，结果提前1天完成任务．设原计划每天种树x棵，可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设原计划每天种树x棵，列出实际和原计划完成的天数，根据提前1天完成任务列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天种树x棵，
根据题意得： ，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找准等量关系列出方程．
8．已知 ，则分式 的值为（ ）A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】C
【分析】由 ，得x﹣y=﹣3xy，故可代入原式求解．
【详解】解: 由 ，得y﹣x=3xy ，
∴x﹣y=﹣3xy ，
∴
故选：C．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据 ，得y﹣x=3xy．
9．若关于 的分式方程 无解，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整
式方程求出m的值即可．
【详解】解：
方程去分母得：-（x+m）+x（x+2）=（x+2）（x-2），
由分式方程无解，得到 ，
解得：x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：m=6；
把x=-2代入整式方程得：m=2．
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分
式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．已知 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据分式的运算、完全平方公式的变形即可求解．
【详解】∵
∴ = ．
故选B．
【点睛】此题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用．
二、填空题：
11．当x________时，分式 有意义；当x________时，分式 的值为0．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件及分式值为0的计算方法解答．
【详解】解：由题意得 ，
解得x ，
∴当x 时，分式 有意义；
由题意得 ，
解得x ，
∴当x 时，分式 的值为0，
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查分式有意义的条件：分式的分母不为0；分式值为0的条件：分子等于0，且分母不等于
0，熟记各条件是解题的关键．
12．写出下列分式中的未知的分子或分母：
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】1、观察(1)中等号左右两边的分子有什么变化,借助分式的性质对分母可进行同样的操作即可得到
答案;
2、同理,对于(2)、(3)可借助分式的性质进行变形即可.【详解】解:(1)对 6mn，得 ;
(2) ，得 ;
(3) x，得
【点睛】本题考查分式的通分、约分，解题关键是熟练掌握分式的性质.
13．计算: __________.
【答案】 .
【分析】根据积的乘方和负指数幂的性质、单项式除法法则进行运算，得出最简结果即为所求. 积的乘方，
先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘．任何不等于零的数的-P(P为正整数)次幂,等于这个
数P次幂的倒数,
【详解】原式
=
=（ ）（a4÷a4）(b2÷b-4)c-2
=
【点睛】本题考查积的乘方和负指数幂的性质、单项式除法法则，最后结果一定要化成最简分式.
14． ________．
【答案】
【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂结合实数运算法则计算即可．
【详解】解：原式＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，熟知运算法则是解本题的关键．
15．若方程 的解与方程 的解相同，则 ________．【答案】
【分析】求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a的值．
【详解】解：方程 去分母得：3x＝6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解，
根据题意将x＝2代入第一个方程得：
解得： ，
经检验 是原分式方程的解，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．下图是嘉琪同学计算 的过程.其中错误的是第_____________步，正确的化简结果是
______________________．
【答案】 五
【分析】根据分式的运算法则即可求解．
【详解】∵
==
=
=
=
∴错误的是第五步，
故答案为：五； ．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则．
17．已知 ，则 ______， ______， ______.
【答案】 1 0
【分析】通过通分，把等式右边的分式相加求和，再根据分式恒等原理，比较各项系数，即可求解.
【详解】∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
故答案是：1， ，0.
【点睛】本题主要考查异分母分式的加法法则，通过通分把等式右边分式相加求和，是解题的关键.
18．若方程 的解为正数，则m的取值范围为________．【答案】 且
【分析】先求得方程的解，再把x＞0转化成关于m的不等式，求得m的取值范围，注意x≠2．
【详解】解：去分母得， ，
解得x ，
∵关于x的方程的解为正数，
∴ ＞0，
∴ ，
∵x−2≠0，
∴x≠2，
∴ ≠2，
∴m≠-4，
∴m的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解不等式，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
19．关于x的分式方程 无解，则m的值为_______．
【答案】1或6或
【分析】方程两边都乘以 ，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．
【详解】解： ，
，
，
，
当 时，显然方程无解，
又原方程的增根为： ，
当 时， ，
，
当 时， ，，
综上当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：1或6或 ．
【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．
20．已知a、b为实数，且 ，设 ，则M、N的大小关系是M________
N（填=、>、<、≥、≤）．
【答案】=
【分析】本题只需要先对M、N分别进行化简，再把 代入即可比较M、N的大小．
【详解】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴M＝N，
故答案为：＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可．
三、解答题：
21．解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）无解
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【详解】解：（1）两边同乘（x−2），得：3＋x＝−2（x−2），
去括号得：3＋x＝−2x＋4，
移项合并得：3x＝1，解得： ，
经检验， 是原方程的解；
（2）两边同乘（x−1）（x＋1），得： −4＝ −1，
去括号得： ＋2x＋1−4＝ −1，
移项合并得：2x＝2，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，
则原方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
22．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据负整数指数幂、零指数幂求出a的值，
并代入求值即可得．
【详解】原式 ，
，
，
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法、负整数指数幂、零指数幂，熟记各运算法则是解题关键．
23．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．由于销售商突然急需供货，工厂实际工作效率比原计划提高了50%，并提前5天完成这批零件的生产任务．求该工厂原计划每天加工这种零件多少个？
【答案】该工厂原计划每天加工这种零件1600个．
【分析】设该工厂原计划每天加工这种零件x个，则实际每天加工这种零件（1+50%）x个，根据工作时间
=工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用5天完成这批零件的生产任务，即可得出关于x的分式方程，
解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设该工厂原计划每天加工这种零件x个，则实际每天加工这种零件（1+50%）x个，
依题意，得：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意．
答：该工厂原计划每天加工这种零件1600个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减
少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
【答案】（1）该商店3月份这种商品的售价是40元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总
价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解
之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．
【详解】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：
，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，根据题意得：（40﹣a）× =900，
解得：a=25，
∴（40×0.9﹣25）× =990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．若有理数a,b满足|a-1|+|ab-3|=0,试求 +…+ 的值.
【答案】 .
【分析】有题意可知：a=1，ab=3，所以b=3，将原分式化简，将a和b的值代入即可．
【详解】解：由题意可知：a﹣1=0，ab﹣3=0，∴a=1，b=3，∴b﹣a=2，∴原式= （ ）+ （
）+ （ ）+…+ （ ）
= （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ）
= （ ﹣ ）
=
= ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及拆分的技巧，绝对值的性质，属于中等题型．
