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第十五章 分式(A·基础巩固)
时间：120分钟 总分：150分
一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列各式中，是分式的是（ ）
x x x
A．x B． C． D． +1
x+2 π 2
【解答】解：A、x是单项式，故A不符合题意．
x
B、 是分式，故B符合题意．
x+2
x
C、 是单项式，故C不符合题意．
π
x
D、 +1是多项式，故D不符合题意．
2
故选：B．
2．医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000136米，将0.000136用科学记数法表示应为（ ）
A．0.136×10﹣3 B．1.36×10﹣3 C．1.36×10﹣4 D．13.6×10﹣5
【解答】解：0.000136＝1.36×10﹣4．
故选：C．
3．下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
x x 1 1 x x x 1 2
A． −3= B． x− y＝5 C． = + D． =1−
2 5 2 3 π 3 2 2+x x
【解答】解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C．方程分母中不含表示未知数的字母， 是常数，故不是分式方程；
D．方程分母中含未知数x，故是分式方程π．
故选：D．
2x+m
4．已知关于x的分式方程 =3的解是x＝3，则m的值为（ ）
x−2
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
2x+m 2×3+m
【解答】解：把x＝3代入分式方程 =3，得 =3，
x−2 3−2
整理得6+m＝3，解得m＝﹣3．
故选：B．
5．下列分式属于最简分式的是（ ）
6xy x−y
A． B．
5x2 y−x
x2+ y2 x2−9 y2
C． D．
x+ y x+3 y
6xy 6 y
【解答】解：A、 = ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
5x2 5x
x−y
B、 =−1，不是最简分式，故本选项不符合题意；
y−x
x2+ y2
C、 ，是最简分式，故本选项符合题意；
x+ y
x2−9 y2
D、 =x−3 y，不是最简分式，故本选项不符合题意；
x+3 y
故选：C．
3 y
6．解分式方程 = −5时，去分母正确的是（ ）
1−y y−1
A．3＝﹣y﹣5 B．3（y一1）＝y（1﹣y）﹣5
C．3＝y﹣5（1﹣y） D．3＝﹣y﹣5（1﹣y）
3 y
【解答】解：解分式方程 = −5，
1−y y−1
去分母得：3＝﹣y﹣5（1﹣y）．
故选：D．
a−1 1−a
7．墨迹覆盖了“计算 ÷ ”＝ ”中的右边计算结果，则覆盖的是（ ）
a a2
A．a2 B．﹣a2 C．a D．﹣a
a−1 a2
【解答】解：原式= ⋅
a 1−a
＝﹣a，
故选：D．
x+ y
8．如果把 中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ）
5xy
A．不变 B．扩大为原来的5倍1
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
5
5x+5 y 1 x+ y
【解答】解： = × ；
5×5x×5 y 5 5xy
故选：C．
9．下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是（ ）
x2−1 2 a b 1 1 x+ y x
① =x+1；②3﹣x• =2；③1÷ × =1；④ + = ；⑤（ −x）
x−1 3−x b a x y xy x+1
x2−x x−x2+x x2−x x(2−x) x+1 2−x
÷ = ÷ = • = ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x(x−1) x−1
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
x2−1 (x+1)(x−1)
【解答】解：① = =x+1，故①正确，
x−1 x−1
2 2x 9−3x−2x 9−5x
②3﹣x• =3− = = ，故②错误；
3−x 3−x 3−x 3−x
③1 a b 1 b b b2，故③错误；
÷ ⋅ = × ⋅ =
b a a a a2
1 1 y+x
④ + = ，故④正确；
x y xy
x x2−x x−x(x+1) x+1 x−x2−x −x2 x
⑤（ −x）÷ = ⋅ = = = ，故⑤错误；
x+1 x+1 x+1 x(x−1) x(x−1) x(x−1) 1−x
故正确的是①④，涂涂的得分为40分，
故选：A．
10．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用 B型包
装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．
若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
1080 1080 1080 1080
A． = +6 B． = −6
x x−15 x x−15
1080 1080 1080 1080
C． = −6 D． = +6
x+15 x x+15 x
1080 1080
【解答】解：根据题意，得： = −6．
x+15 x
故选：C．2x−2
11．若分式 的值是负数，则x的取值范围是（ ）
x2+1
A．
B．
C．
D．
2x−2
【解答】解：∵分式 的值是负数，
x2+1
∴2x﹣2＜0，
∴x＜1，
故选：B．
3−2x 9−mx
12．已知关于x的分式方程 + =−1无解，则m的值为（ ）
x−3 3−x
A．1 B．4 C．3 D．1或4
3−2x 9−mx
【解答】解： + =−1，
x−3 3−x
方程两边同时乘以x﹣3，得3﹣2x+mx﹣9＝3﹣x，
移项、合并同类项，得（m﹣1）x＝9，
∵方程无解，
∴x＝3或m﹣1＝0，
∴m﹣1＝3或m＝1，
∴m＝4或m＝1，
故选：D．
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
2x−6
13．使得分式 有意义的条件是 x ≠﹣ 3 ．
x+3
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．1 1
14．分式 和 的最简公分母为： 2 a 2 b ．
2a2b ab
1 1
【解答】解：分式 和 的最简公分母为2a2b．
2a2b ab
故答案为2a2b．
a
15．定义运算：a∗b= ，则方程2*（x+1）＝3*（2x）的解为 x ＝ 3 ．
b
2 3
【解答】解：根据题意可得 = ，
x+1 2x
4x＝3（x+1）
4x＝3x+3
4x﹣3x＝3
x＝3．
经检验x＝3是原方程的解．
故答案为：x＝3．
x+a
16．若关于x的分式方程 =a有增根，则a＝ ﹣ 1 ．
x−1
【解答】解：去分母，得：x+a＝a（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共8小题，共86分）
1
17．计算：( ) −1+(3.14−π) 0+√16−|−2|
2
1 −1
【解答】解：( ) +(3.14−π) 0+√16−|−2|，
2
＝2+1+4﹣2，
＝5．
故答案为：5．
18．计算：
2x 4x
（1） ÷ ．
x+1 x+1（2） a+2 a2−4a+4．
⋅
a2−2a a+2
2x x+1 1
【解答】解：（1）原式= . = ；
x+1 4x 2
a+2 (a−2) 2 a−2
（2）原式= . = ．
a(a−2) a+2 a
19．化简：
a b
（1） + ；
a−b b−a
（2） x2−4 4x ．
−
x2−4x+4 x2−2x
a−b
【解答】解：（1）原式= =1；
a−b
（2）原式 (x−2)(x+2) 4x x+2−4 x−2 1．
= − = = =
(x−2) 2 x(x−2) x−2 x−2
20．计算
2y x
（1）（ ）2• ；
x 4 y3
a−b ab
（2）（ ）3•（ ）2÷（a﹣b）2．
ab a−b
【解答】解：（1）原式 4 y2 x
= ⋅
x2 4 y3
1
= ；
xy
（2）原式 (a−b) 3 a2b2 1
= ⋅ ⋅
a3b3 (a−b) 2 (a−b) 2
1
=
ab(a−b)
1
= ．
a2b−ab2
21．解方程：x 4
（1） = +1；
x−1 x2−1
2 3
（2） = ．
x−2 x
【解答】解：（1）去分母得，x（x+1）＝4+x2﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
所以，原方程的根为：x＝3；
（2）去分母，得2x＝3（x﹣2），
去括号，得2x＝3x﹣6，
移项，合并同类项，得﹣x＝﹣6，
化x的系数为1，得x＝6，
检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）≠0，
∴原方程的解为x＝6．
a+4 4
22．先化简，再求值： ÷( −a−2)，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
a2−4 a+2
a+4 4
【解答】解： ÷( −a−2)
a2−4 a+2
a+4 4−(a+2) 2
= ÷
a2−4 a+2
a+4 a+2
= •
(a+2)(a−2) −a2−4a
a+4 a+2
= •
(a+2)(a−2) −a(a+4)
1
=−
a(a−2)
1
=− ，
a2−2a
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
1
当a2﹣2a＝1时，原式=− =−1．
1
23．近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备．已知每台B种设备比每台A种设备价格多0.6万元，花5万元
购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同．
（1）求A，B两种设备每台各多少万元．
（2）根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共18台，总费用不高于14万元，求A种设备至少要购
买多少台？
【解答】解：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.6）万元，
5 11
根据题意得： = ，
x x+0.6
解得：x＝0.5．
经检验，x＝0.5是原方程的解，
∴x+0.6＝1.1．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（18﹣m）台，
根据题意得：0.5m+1.1（18﹣m）≤14，
29
解得：m≥ ．
3
∵m为整数，
∴m≥10．
答：A种设备至少要购买10台．
24．某商店准备购买A、B两种商品， 选 ① ，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的
数量相等．
请先在横线上补充条件：从“①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元”和“②A、B两种商品
各购买1个共需20元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题．（注：如果选择两个
条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B
两种商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，则该商店有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）选①，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（x+10）元，
300 100
根据题意得： = ，
x+10 x
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
选②，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（20﹣x）元，
300 100
根据题意得： = ，
20−x x
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴20﹣x＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
故答案是：选①；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
{ 80−m≥4m
根据题意得： ，
15(80−m)+5m≥1000
15(80−m)+5m≤1500
解得：15≤m≤16，
∵m为整数，
∴m＝15或16，
∴商店有两种购买方案，方案①：购买A商品65个，B商品15 个，方案②：购买A商品64个，购买
B商品16个．
