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2022-2023 学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷
第十五章 分 式（能力提升）
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．下列各式： ， ， ， 中，是分式的共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若分式 的值为零，则x的值为 （ ）
A．1 B． C． D．0
3．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.000 000 000 14米．数字0.000 000 000 14用
科学记数法可表示为 （ ）
A． B． C． D．
4．化简 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
5．若分式 的值为负数，则x的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程 的解为 ，则a等于 （ ）
A． B．4 C． D．
7．若关于x的方程 有增根，则k的值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是 （ ）
A． B． C． 且 D． 且
二、填空题（每题3分，共24分）
9．计算： =_______．
10．分式－ ， 的最简公分母为________．
11．已知 ，则分式 的值为______________．
12．方程 的解是__________．
13．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ，例如：．若x*y＝2，则 的值为______．
14．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形PQMN．已知①和②能够重合，
③和④能够重合，这四个长方形的面积均为S，AE=x，DE=y，且x>y．若代数式x2-3xy+2y2的
值为0，则 =_______
15．代数式 与代数式 的和为1，则 ________．
16．已知 ，则 ______．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．已知 ，求 的值．
18．计算：
(1) ；
(2)
19．先化简： ，并从1，2，3，4中选取一个合适的数作为m的值代入求
值．
20．计算 时，小明、小亮两位同学的解法如下：
小明： 小亮：
① ③
② ④
(1)判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，
则找出最先出错的式子：______（填序号）．
(2)请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．
21．解方程：(1)解方程： ；
(2)解关于x的方程 过程中产生了增根，试判断k的值.
22．我县计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成． 已知
甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的
教室多用3天．
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
(2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若安
装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
23．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 的正方形去掉一个边长为1m的正方
形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 的正方形，两块试验田的
小麦都收获了 ．
(1)“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为
（结果用含 的式子表示）；
(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的 倍，求 的值．
24．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便
解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求
和等．
例1：分解因式
解：将“ ”看成一个整体，令
原式
例2：已知 ，求 的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解；
(2)计算： ______
(3)①已知 ，求 的值；
②若 ，直接写出 的值．
25．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助
图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
【分数运算】
怎样理解 ？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂 部分）；再将
涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂 部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，
取出其中8份，所以 的 占原长方形的 ，即 .
【尝试推广】
（1）①类比分数运算，猜想 的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且 ，
）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空： ____________；
②若a、b均为正整数且 ，猜想 的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同
时加以简单的文字解释.
