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第十五章 分式压轴题考点训练
1．关于x的分式方程 解为非负数，关于x的不等式组 至少有四个整数解，
则满足条件的所有整数a的积为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．0
【答案】B
【详解】解：解分式方程 得 ，
，且 ，
且 ， ，
解不等式组 得 ，
不等式至少有四个整数解，
，
解得 ，
满足条件的 的整数有1，2，
满足条件的所有整数 的积为2，
故选：B．
2．若关于x的不等式组 有解，且关于y的分式方程 有正整数解，则满足条件
的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【详解】解不等式①得：x≤2，
解不等式②得： ，
∵不等式组有解，
∴ ，
∴ ，
解分式方程 得：
解得：
∵分式方程有正整数解，且
∴ 、3
∴满足条件的所有整数a为2、4
∴满足条件的所有整数a的和为2+4=6
故选：C
3．若关于x的分式方程 的解为非负数，且关于y的不等式组 有3个整数解，
则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19 B．22 C．30 D．33
【答案】B
【详解】解：解分式方程可得： ，且
∵解为非负数，
∴得： ，即 且 ，
解不等式组 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∵有3个整数解，∴ ，3，4，即
利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得 ，
综上所述：a的整数值可以取10、12，
∴其和为22，
故选：B
4．若整数a使得关于x的不等式组 解集为 ，使得关于y的分式方程 ＝ +2的
解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16
【答案】D
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵该不等式组的解集为 ，
∴ ，解得 ，
∵关于y的分式方程 ＝ +2的解为正数，
∴ ，
∴ 且 ，解得 且 ，
∴a的取值范围为 且 ，
∴符合条件的整数a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1，
所有整数a相加的和为： ．
故选：D．
5．腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为 ，腊
肠、腊舌、腊肉的单价之比为 ．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调 ，腊舌、腊肉的单价不
变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的 ，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的 ．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份
总营业额之比为 ，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是__________．
【答案】20：21
【详解】解：设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月
份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份
腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z，
∴去年12月份的销售额为 ，1月份腊肉的销售额为 ，
∴今年1月份的总销售额为 ，
∵今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的 ，
∴ ，
∴ （经检验，符合分式方程有意义的条件），
∴今年1月份的总销售额为 ，腊肉的销售额
∵腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，
∴腊舌今年1月份增加的营业额为 ，
∴腊舌今年1月份的营业额为 ，
∴腊肠今年1月份的营业额为 ，
设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：20：21．6．若正数a，b，c满足abc1， ，则 ______．
【答案】
【详解】解：解法一：因为
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
解法二：由 ，得 ，
因此 ， ．
由此可得 ， ．
所以
故答案为： ．
7．若关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是________．
【答案】m≤6且m≠4
【详解】解：关于x的分式方程 的解为：x＝6−m，∵分式方程有可能产生增根2，
∴6−m≠2，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程 的解是非负数，
∴6−m≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．
故答案为：m≤6且m≠4．
8．已知 ，则 的值______．
【答案】为-1或3
【详解】∵ ，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
9．当 分别取2017、2016、2015、 、2、1时，计算分式 值，所得结果相加的和为___．
【答案】
【详解】解： ，
把1、2、3、 、2016、2017分别代入 得， 、 、 、 、 、，
所得结果相加的和为
，
故答案为： ．
10．已知 ，则 ______．
【答案】
【详解】 ，
，
，
，
故答案为： ．
11．已知正整数x，y满足 ，则符合条件的x，y的值有______组．
【答案】2
【详解】解：∵x，y均为正整数，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
结合 ，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
对应的y的值为：9、 、 、 、 、 、 、 、 ，
∴符合条件的x、y的值为 ， ，
∴符合条件的x，y的值有2组．
故答案为：2．
12．观察下列等式： ， ， ，
把以上三个等式两边分别相加得： ．
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些
项，最终达到求和的目的．
(1)猜想并写出： ＝______．
(2)规律应用：计算： ；
(3)拓展提高：计算： ．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】(1)
∵ = ，
故答案为： ．
(2)=
=
= ．
(3)
=
=
=
=
= ．
13．阅读材料，下列关于 的方程：
的解为： ， ； 的解为： ， ；
的解为： ， ； 的解为： ， ；
根据这些材料解决下列问题：
(1)方程 的解是____________；
(2)方程 的解是____________；
(3)解方程： ．
【答案】(1) ，
(2) ，(3) ，
【解析】（1）
解：方程 的解为 ，
故答案为： ，
（2）
由方程 可得 或 ，
解得 ， ，
故答案为： ，
（3）
将方程 变形为 ，
可得 或 ，
解得 ，
14．某学校2021年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费4000元，购买乙种足球共
花费2800元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多
花20元；
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2)2022年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种
足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两
种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
【答案】(1)一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；
(2)这所学校最多可购买20个乙种足球
【解析】(1)
（1）设甲种足球每个x元，则乙种足球每个 元，由题意得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
∴50+20=70（元）．
答：一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元．
(2)
（2）设购买乙种足球m个，
， ，
由题意得：
，
．
答：这所学校最多可购买20个乙种足球．
15．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用
800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资
金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的
条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】（1）购进 种纪念品每件需要10元， 种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；
（3）当 ； 种70件， 种30件时可获利最多；当 ， 种60件， 种40件时可获利最多
【详解】解：（1）设购进 种纪念品每件价格为 元， 种纪念币每件价格为 元，根据题意可知：
，解得： ，
．
答：购进 种纪念品每件需要10元， 种纪念品每件需要5元．
（2）设购进 种纪念品 件，则购进 种纪念品 件，根据题意可得：
，
解得： ，
只能取正整数，，共有11种情况，
故该商店共有11种进货方案分别为： 种70件， 种30件； 种69件， 种31件； 种68件， 种32
件； 种67件， 种33件； 种66件， 种34件； 种65件， 种35件； 种64件， 种36件；
种63件， 种37件； 种62件， 种38件； 种61件， 种39件； 种60件， 种40件．
（3）销售总利润为 ，
商家出售的纪念品均不低于成本价，
，
根据一次函数的性质，
当 时，即 ，
随着 增大而增大，
当 时， 取到最大值；
即方案为： 种70件， 种30件时可获利最多；
当 时，即 ，
随着 增大而减小，
当 时， 取到最大值；
即方案为： 种60件， 种40件时可获利最多．
