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第十五章 分式单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第15章 分式，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2020·河北·中考真题）若 ，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，
∴ ，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
2．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）化简 － 的结果是（ ）．
A．a－b B．a+b C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式= ，
故选：B．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
3．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解： ，
去分母得： ，
∵关于x的分式方程 有增根，增根为：x=2，
∴ ，即：m=2，
故选C．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
4．（2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】原式
故选A.
5．（2021·广西百色·中考真题）方程 ＝ 的解是（ ）．
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
【答案】D
【分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．
【详解】∵ ＝
∴
∴经检验，当 时， 与 均不等于0
∴方程 ＝ 的解是：x＝3
故选：D．
【点睛】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．
6．（2018·湖南衡阳·中考真题）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了
满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万
千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为 万千克，根据
题意，列方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数 改良后种植的亩数 亩，根据等量关系列出方程
即可．
【详解】设原计划每亩平均产量 万千克，则改良后平均每亩产量为 万千克，
根据题意列方程为： ．
故选 ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）计算： ＝_____．
【答案】3
【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．
【详解】解： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．
8．（2021·全国·八年级专题练习）若分式 的值为负数，则x的取值范围是_______．
【答案】【分析】根据分式值为负的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：∵ ＜0
∴x-2＜0，即 ．
故填： ．
【点睛】本题主要考查了分式值为负的条件，根据分式小于零的条件列出不等式成为解答本题的关键．
9．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为_____.
【答案】3
【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．
【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3．
故答案为3．
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分
式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．（2022·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值为________．
【答案】
【分析】设 ，得到 ，再代入 中计算求解即可．
【详解】解：设 ，得 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的求值，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11．（2019·重庆·一模）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每
次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用 次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货
物，甲车共运 吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物乙车共运 吨，现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为___________ 元.(按每吨运费 元计算)
【答案】
【分析】根据“甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完”甲的效率应该为
，乙的效率应该为 ，那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据“若甲、丙两车合运相同次数运完这
批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．”这两
个等量关系来列方程．
【详解】设这批货物共有T吨，甲车每次运t 吨，乙车每次运t 吨，
甲 乙
∵2at =T，at =T,∴t :t =1:2，
甲 乙 甲 乙
⋅ ⋅
由题意列方程：
t =2t ，
乙 甲
∴ 解得T=540.
∵甲车运180吨，丙车运540−180=360吨，
∴丙车每次运货量也是甲车的2倍，
∴甲车车主应得运费 (元)，
故答案为 .
【点睛】考查分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
12．（2022·湖南·中考真题）有一组数据： ， ， ， ，
．记 ，则 __．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解： ；
；；
，
，
当 时，
原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2020·江苏苏州·七年级期中）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据负整数指数幂以及零指数幂运算即可求解；
（2）根据同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减），即可求解．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】本题目考查整数指数幂，涉及知识点有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂等，难度一般，
熟练掌握整数指数幂的运算法则是顺利解题的关键．
14．（2021·四川·攀枝花第二初级中学八年级期中）（1）解方程：（2）计算：
【答案】（1）原分式方程无解
（2）
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）首先将式子通分，化成同分母，分子合并同类项即可．
【详解】解：（1）
经检验： 是增根
所以原方程无解．
（2）原式=
=
=
= ．
【点睛】本题考查了解分式方程和分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法和分式的化简运算
法则．
15．（2022·湖南·永州市剑桥学校八年级阶段练习）若关于x的分式方程 无解，求m的值？
【答案】 或
【分析】将原分式方程化为整式方程 ，根据 时方程无解，即可得出结果；再考虑增根
情况，即 时，将其代入整式方程即可．【详解】解：去分母，得： ，
移项合并，得： ，
当 时，即 时，该方程无解；
当原方程有增根时，分母 ，增根 ，
将 代入整式方程 ，
得： ，
解得 ，
即当 时，原分式方程有增根 ，原方程也无解．
∴若原分式方程无解，则 或 ．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，熟记分式方程无解的情况，把分式方程化为整式方程是解题关键．
16．（2022·广东·丰顺县建桥中学九年级开学考试）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】先把分子，分母分解因式，约分化简后将 的值代入计算即可．
【详解】解：原式
当 时，
原式
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，化简出正确结果．
17．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）阅读理解：下列一组方程：① ，②，③ ，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他
的解过程如下：由① 得 或 ；由② 得 或 ；由③
得 或 ，
(1)问题解决：请写出第四个方程______________；
(2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________；
(3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程 的一个解是 ，求n的值．
【答案】(1)
(2) ， x=n或x=n+1
(3)n=12或11
【分析】（1）根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程；
（2）利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可；
（3）利用已知解题方法得出方程的解．
（1）
第四个方程为： ，
即 ．
故答案为： ；
（2）
可得第n个方程为： ，
解得：x=n或x=n+1；故答案为： ， x=n或x=n+1；
（3）
将原方程变形， ，
∴x+2=n或x+2=n+1，
∴方程的解是x=n-2，或x=n-1，
当n-2=10时，n=12，
当n-1=10时，n=11，
∴n=12或11．
【点睛】此题主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解与其形式的规律是解题关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）先化简，再求值： ，其中x取不等
式组 的适当整数解．
【答案】 ，-3或
【分析】先进行分式去括号，结合完全平方式和因式分解进行分式的混合运算，得到化简后的分式．再解
不等式组，得出x的取值范围，且注意使原分式有意义的条件，即可得出x的具体值，将其带入化简后的
分式即可．
【详解】原式解不等式组 得
其整数解为-1，0，1，2，3
由题得： ，
∴x可以取0或2分
当 时，原式
（当 时，原式 ）
【点睛】本题考查分式的化简求值，和解不等式组．解题时需注意使分式有意义的条件．
19．（2020·辽宁·东港市黑沟学校模拟预测）先化简,再求值： ÷ - ，其中a=(3- )0+
- .
【答案】 ,； .
【分析】根据分式的运算法则及混合运算顺序先把分式化为最简分式，再求得a的值，代入即可求解.
【详解】解：原式= ÷ -
= × -
= -
= .∵a=(3- )0+ - =1+3-1=3,
∴原式= = =- .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，把分式化为最简分式及正确求得a的值是解决问题的关键.
20．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题
我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．
小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小
于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和
的形式，如
．
(1)下列分式中，属于真分式的是（ ）
A． B． C． D．
(2)将假分式 ，化成整式和真分式的和的形式．
(3)当m取哪些整数时，分式 的值也是整数？
【答案】(1)A
(2)
(3)-1或0或2或3
【分析】（1）根据真分式的定义可得答案；
（2）把分子化为 再逆用分式的加法运算，约分后可得答案；
（3）由 ，m为整数，可得 或 或 或 再解方程可得答案．
（1）
解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．
∴ 是真分式， ， ， 是假分式，
故选A
（2）
（3）
解：∵ ，m为整数，
∴ 或 或 或
解得： 或 或 或
【点睛】本题考查的是对新定义的理解，以及新定义的运用，分式的加减运算的逆用，分式的值，掌握
“分式加减运算的逆用”是解本题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）计算：
（1）当x为何值时，分式 的值为0
（2）当x=4时，求 的值
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可；
（2）把 直接代入分式，计算即可．【详解】解：（1）根据题意，
∵分式 的值为0，
∴当x+1=0，即 时，分式值为0；
（2）当x=4时， = = ；
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，以及求分式的值，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子
等于零且分母不等于零．
22．（2022·广东中山·八年级期末）某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提
价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单
价是多少元？
【答案】商场实际购进彩灯的单价是60元
【分析】设商场原计划购进彩灯的单价为 元，则商场实际购进彩灯的单价为 元，由题意：某商
场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了
，结果比原计划少购进100盏彩灯．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设商场原计划购进彩灯的单价为 元，则商场实际购进彩灯的单价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
则 （元 ，
答：商场实际购进彩灯的单价为60元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程．
六、（本大题共12分）
23．（2020·黑龙江·哈尔滨市光华中学校七年级阶段练习）现有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，
需要12天完成；若甲队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要9天才能完成．求：
（1）甲乙两个装修队单独完成分别需要几天？
（2）已知甲队每天施工费用4000元，乙队每天施工费用为2000元，要使该工程施工总费用为70000元，
则甲装修队施工多少天？
（3）甲装修队有装修工人12人，乙装修队有装修工人10人，该工程需要在13天内（包括13天）完成，该工程由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？
【答案】（1）甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20天、30天；（2）10天；（3）2人
【分析】（1）等量关系为：甲的工作效率×5+甲乙合作的工作效率×9=1，先算出甲单独完成此项工程需要
多少个月．而后算出乙单独完成需要的时间；
（2）两个关系式：甲乙两个工程队需完成整个工程；工程施工总费用为70000元．
（3）设乙队调走m人，利用（1）中所求数据得出甲乙两队每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出
即可．
【详解】解：（1）设甲装修队单独完成此项工程需要x天．
根据题意，得 ，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解．
，
答：甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20，30天．
（2）设实际工作中甲、乙两装修队分别做a、b天．
根据题意，得
，
解得a=10，b=15．
答：要使该工程施工总费用为70000元，甲装修队应施工10天．
（3）设乙装修队调走m人，
由题意可得：
，
解得：m≤ ，
∴m的最大整数值为2，
答：乙队最多调走2人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式解法与应用，利用总工作量为1得出等式方程是解决问题
的关键．
