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第十五章 分式压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围.........................................................................................1
压轴题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值................................................................................................4
压轴题型三 与分式有关的规律性问题....................................................................................................................9
压轴题型四 与分式方程有关的规律性问题..........................................................................................................18
压轴题型五 与分式及分式运算有关的新定义型问题..........................................................................................24
02 压轴题型
压轴题型一 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围
例题：（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式 的值是非负数，那么x的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【答案】D
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集
【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据 的值是非负数得到
且 ，进而能求出x的取值范围．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
∴ 且 ．
故选：D．
巩固训练
1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式 的值为正，则 的取值范围是( )
A． B． C． D． 且【答案】D
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以
未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号
的方向．
根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，
从而列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，且 ，
∵分式 的值为正，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ．
故选：D．
2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为
0得出 ，再根据分式的值为负数得出 ，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得： ，
，
分式 的值为负数， ，
，
，
的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．【答案】
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得 ， ，由此即可得．
【详解】∵分式 的值为正数， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．
4．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式 的值为正，则 的取值范围为 ．
【答案】 且
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解： 分式 的值为正，
， ，
解得， 且
故答案为： 且 ．
5．（23-24八年级下·全国·假期作业）当 的取值范围是多少时：
(1)分式 的值为负数？
(2)分式 的值为正数？
(3)分式 的值为负数？
【答案】(1)
(2)(3) 或
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意
是关键；
（1）由分式的值为负数可得 ，再解不等式即可；
（2）由分式的值为正数可得 或 ，再解不等式组即可；
（3）结合（2）的结论可得分式 的值为负数时 的范围．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
时，分式 值为负数．
（2）∵分式 的值为正数，
∴ 或 ，
当 时，
解得： ，
当 时，
不等式组无解，
综上：当 时；分式 的值为正数，
（3）∵由（2）得：当 时；分式 的值为正数，∴分式 的值为负数时，则 或 ；
压轴题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数 ，使得 是一个正整数，则 可取的个数有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由 ，
再结合 为正整数， 为非负整数，进而可以得解．
【详解】解：由题意， ，且 为正整数， 为非负整数，
必为正整数．
为 的正因数，可能为 ， ， ， ，
为非负整数，
可能为 ， ， ．
又 为正整数，
或 或 均符合题意，共 种可能．
故选：A．
巩固训练
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式 的值是正整数，则 可取的整数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】A
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答
即可．【详解】解：若分式 的值是正整数，且 为整数，
则 是6的约数， ．
∴ 或 或 或 ，
即 的值为8或5或4或3，共4个．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 及 都是正整数，则所有满足条件的 的值的和是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并
求解是解题关键．根据 为整数，且 的值也为正整数，列出不等式，求出 的取值范围，再枚举求出
符合题意的 的值，即可求解．
【详解】解：∵ 及 都是正整数，
∴ ，
即 ，
解得： ，
故当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故所有满足条件的 的值有： 、 、 ，
∴所有满足条件的 的值的和是 ．故答案为： ．
3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式 的值为整数，则整数x的值为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为 ，分别代值计算，即
可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键．
【详解】解：
，
分式 的值为整数，且x是整数，
或
或 或 ，
解得： 或 或 或 ，
故答案： 或 或 或 ．
4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式 的值为正整数，则整数x的值为 ．
【答案】3或7/7或3
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】分子为正整数5，若分式值为正整数，且x为整数，则 等于1或5，从而问题可解．
【详解】解： 的值为正整数，
或 ，
或 ，
故答案为：3或7．
【点睛】本题考查了分式求值，根据题意得出 等于1或5是解题的关键．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）若x取整数，则使分式 的值为整数的x的值有 个．
【答案】4【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到
，从而使问题简单
6．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和
“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分
母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， ，这样的分式就是假分式；再如： ， 这样
的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如
．
解决下列问题：
(1)分式 是 （填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式 化为带分式；
(3)先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)真分式(2)
(3)化简得 ；
【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算、分式加减混合运
算
【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键．
（1）根据真分式的定义判断即可；
（2）根据材料给出的方法运算即可；
（3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件．
【详解】（1）解：因为分式 的分子次数0小于分母次数1，
所以分式 是真分式，
故答案为：真分式；
（2） ；
（3）
，
∵ ，
∵ 是整数，
∴ 或 ，解得： ， ， 或 ，
∵ ， ， 或 时，原分式无意义，
∴ ，
即当 时，该式的值为整数．
压轴题型三 与分式有关的规律性问题
例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
；
按照以上规律，解决下列问题
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并验证其正确性．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】此题考查了数字类规律探究，分式的加减运算；
（1）根据前5个等式规律写出第6个等式；
（2）根据前5个等式猜想出第 个等式并验证．
【详解】（1）解： 第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ，
可得第6个等式为： ，
故答案为： ；
（2）由题意可猜想得，第 个等式为： ，
证明：
，
第 个等式为： ．
巩固训练
1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】分式乘方、异分母分式加减法
【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解
题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为 ，再利用分式的
减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证．
【详解】（1）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
则第5个等式为故答案为：
（2） ，证明如下：
∵左边 ，
右边 ，
∴左边=右边．
故原等式成立．
2．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试） ； ； ；
…
(1)根据上面 个等式存在的规律写出第 个等式；
(2)用含 的代数式表示出第 个等式，并证明．
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析．
【知识点】异分母分式加减法、数字类规律探索
【分析】（ ）根据前 个等式特点写出第 个等式；
（ ）根据第（ ）结论归纳出第 个等式的规律；
此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是
解题的关键．
【详解】（1）解： ；
；
；∴第 个等式 ；
（2）解： ；
；
；
；
第 个等式 ；
证明：左边
右边．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式： ， ， ， ，…（其中 ）．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】分式的规律性问题
【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解
题．
（1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案．【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为 ．
（2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为 ．理由：
∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为
负，
∴第n（n为正整数）个分式为 ．
4．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列各式：
， ， ，
(1)由此推测 ________
(2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数）
(3)请直接用（2）的规律计算 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，
求出所求式子的值．
（1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题；
（2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式；
（3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：由（ ）可得；
（3）解：
．
5．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析．
【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算
【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为 ，
分子是 ，第二项是 ，等式右边为 ．代入再进行验证正确性即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
则第5个等式为： ；
故答案为： ；
（2）解：根据题意，则：
第n个等式为： ；
证明：等式左边，
等式右边 ，
∴左边 右边．
6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
……
按照以上规律，解决下面问题：
(1)写出第⑤个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性．
【答案】(1)
(2)第n个等式为： （n为正整数），证明见解析．
【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了运算规律的探究、分式的混合运算等知识点，掌握“从具体到一般的探究方法”
是解本题的关键．
（1）根据题干前4个运算式的提示，直接写出第⑤个即可；
（2）根据题干前4个运算式的提示，归纳出第n个等式，然后通过计算即可证明结论．
【详解】（1）解：① ，
② ，
③ ，④ ，
所以⑤为：
故答案为
（2）解： 由（1）归纳可得：第n个等式为： （n为正整数），
证明如下： ．
7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算【分析】本题考查的是运算规律的探究，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）根据题干信息提示可得第5个等式；
（2）根据前面5个等式发现并归纳变与不变的地方，再根据变化的规律总结归纳即可．
【详解】（1）解：第5个等式： ；
（2）第n个等式： ；
证明如下：
等式左边 ，
等式右边 ，
左边 右边，
等式成立．
压轴题型四 与分式方程有关的规律性问题
例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程：
① 的解 ．
② 的解 ．
③ 的解 ．
④ 的解 ．
……
(1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解；
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【答案】(1)第⑤个方程： 解为 第⑥个方程： 解为
(2)第 个方程： 解为 ．【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）等号左边的分母都是 ，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子
是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是 ，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，
第一个式子的解是 ，第二个式子的解是 ，那么第5个式子的解是 第6个式子的解是 ．
（2）由（1）得第 个式子的等号左边的分母是 ，分子是 ，等号右边的被减数的分母是 ，分子
是 ，减数是1，结果是
【详解】（1）解：① 的解 ．
② 的解 ．
③ 的解 ．
④ 的解
……
① ，② ，③ ，④
（1）第⑤个方程： 的解为
第⑥个方程： 的解为
（2）解：第 个方程： 的解为
方程两边都乘 得
解得
检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
巩固训练
1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的两个解是 ．
(2)解方程： ，可以变形转化为 的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的
结论求解．
(3)方程 的解为 ．
【答案】(1) ，
(2) ， ，过程见解析
(3) ，
【知识点】数字类规律探索、解分式方程
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）先将原方程进行变形可得： ，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）利用换元法将原方程化为： ，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于 的方程 的两个解是 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
，或 ，
， ，
经检验： ， 是原方程的根；
（3）解：令 ，则原方程可化为： ，
，
， ，
或 ，
解得： ， ，
经检验： ， 是原方程的根，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程：
① 的解是 ；
② 的解是 ；
③ 的解是 ；
④ 的解是 ；
(1)请完成上面的填空；
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
(3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解?
【答案】(1)(2) 的解是 ；
(3) 的解是 ．
【知识点】分式的规律性问题、解分式方程
【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子
的关系是解题的关键．
（1）由题意把方程两边都乘以 把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
（2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
经检验， 为方程的解，
故答案为： ．
（2）解：由题意得：⑤ 的解是 ；
故答案为： 的解是 ；
（3）解：由题意得：第 个式子及其解为： 的解是 ．
3．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：下列一组方程：① ，② ，③
，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由① 得 或 ；由② 得 或 ；由③ 得 或
，
(1)问题解决：请写出第四个方程______________；
(2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________；(3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程 的一个解是 ，求n的值．
【答案】(1)
(2) ， x=n或x=n+1
(3)n=12或11
【知识点】解分式方程
【分析】（1）根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程；
（2）利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可；
（3）利用已知解题方法得出方程的解．
【详解】（1）第四个方程为： ，
即 ．
故答案为： ；
（2）可得第n个方程为： ，
解得：x=n或x=n+1；
故答案为： ， x=n或x=n+1；
（3）将原方程变形， ，
∴x+2=n或x+2=n+1，
∴方程的解是x=n-2，或x=n-1，
当n-2=10时，n=12，
当n-1=10时，n=11，
∴n=12或11．
【点睛】此题主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解与其形式的规律是解题关键．4．（21-22八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程 的解是 ；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 ；
(3)由（2）可知，在解方程 时，可以变形转化为 的形式求值，按要求写出你的变
形求解过程．
(4)利用（2）的结论解方程： ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)见解析
(4) ，
【知识点】解分式方程
【分析】（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成 ，由材料得出 ， ，求出方程的解即可；
（4）利用换元法，转化为材料中的规律解答．
【详解】（1）解：关于x的方程 的解是： ， ，
故答案为： ， ；（2）关于x的方程 的解是： ， ，
故答案为： ， ；
（3） ，
，
，
即 ， ，
解得： ， ；
（4）令 ，则方程 可化为 ，
由（2）规律可得， ， ；
即 或 ，
解得 ， ．
【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键．
压轴题型五 与分式及分式运算有关的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的
和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如 ，
，
则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；① ；② ；③ ；④ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： ______．
(3)当x取什么整数时，“和谐分式” 的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3) 或 或 或 或 或
【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算，
（1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形；
（3）根据（2）所求可得当x为整数时， 的值为整数，据此讨论求解即可．
【详解】（1）解：① ，② ；③ ，④
，
∴①③④的分式是“和谐分式”，
故答案为：①③④；
（2）解：
，故答案为： ；
（3）解：∵ 的值为整数，
∴当x为整数时， 的值为整数
当 或 或 时，分式的值为整数，
∴ 或 或 或 或 或 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算： ，例： ．根
据这种运算法则，完成下列各题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是
解本题的关键；
（1）根据新定义列式再通分计算即可；
（2）根据新定义列式再通分计算即可；
（3）根据新定义列式再通分计算即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式
组”．
(1)下列3组分式：
① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中属于“友好分式组”的有____________（只填
序号）；
(2)若正实数 互为倒数，求证 与 属于“友好分式组”；(3)若 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，求分式 的值．
【答案】(1)②③
(2)见解析
(3) 或
【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法、分式的求值
【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解
题关键．
（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入 计算出结果即可；
（3）根据分式 与 属于“友好分式组”，得 求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分
别把①②代入分式 求出结果即可．
【详解】（1）解：①
② ；
③
则
∴属于“友好分式组”的有②③．
故答案为：②③
（2）∵a，b互为倒数，
∴ ， ，
∴∴ 与 属于“友好分式组”
（3）
∵a，b均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，
或
把①代入
把②代入
∴ 的值为 或3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如 的式子，若 ，则称 为“勤业式”；
若 ，则称 为“求真式”；若 的值为整数，则称 为“至善式”．
(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）；
① ② ③
(2)若 ， ，请判断 为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由；
(3)若 ， ，且x为整数，当 为“至善式”时，求x的值．
【答案】(1)①③；
(2) 为“勤业式”，理由见解析；
(3)x的值为0或1或 ．
【知识点】整式的加减运算、分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分式方程的实际应用
【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（3）先求得 ，由 为“至善式”，得 为整数，从而有 或 或 或
，求解符合条件的x的值即可．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ 为“求真式”，故①符合题意，
∵
∴ 为“勤业式”， 故②不符合题意，
∵ ，∴ 即 ，
∴ 为“求真式”， 故③不符合题意．
故答案为：①③；
（2）解： 为“勤业式”，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ 为“勤业式”；
（3）解：∵ ， ，且x为整数，
∴
∵ 为“至善式”，
∴ 的值为整数，即 为整数，
∴ 为整数，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 （舍去）或 或 ，
∴x的值为0或1或 ．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上
知识是解题的关键．
4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式
的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若
，则 和 都是
“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）：① ；② ；③ ；④ ；⑤
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为．
(3)应用先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)
①③④⑤
(2)
(3) ，或 ，或 ．
【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
（1）由“和谐分式”的定义对各式变∶形即可得；
（2）利用题目所给的方法配一个 出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个
整式与一个分子为常数的分式的和；
（3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为 ．把它化为一个
整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式 ，利用整除性和分式有意义的条件确定x的
值．
【详解】（1）解： ，属于“和谐分式”，
①
不是分式，故不属于“和谐分式”，
②
，属于“和谐分式”，
③
，属于“和谐分式”，
④，属于“和谐分式”，
⑤
故答案为：
①③④⑤
（2）
（3）
x为整数， 为整数，
∵
，或 ，
∴ 且 且
∵ ，或 ，或 ．该式的值为整数．
∴5．（23-24八年级下·全国·期中）阅读理解:
定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称 是 的“ 差分式”．
例如： 我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
① （含 的代数式表示）；
②若 的值为正整数， 为正整数，求 的值．
(3)已知 ，分式 是 的“ 差分式”（其中 为正数），求 的值．
【答案】(1)
(2)① ；② 的值为 或
(3) 的值为
【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式分解因式、异分母分式加减法、解分式方程
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得
，结合 ，由此即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：① ，
∴ ，
解得， ；
② ， 为正整数，
∴当 时，x=2，则 ；
当 时，x=1，则 ；
当 时，x=0，不符合题意，舍去；当 时， ，不符合题意，舍去；
∴ 的值为 或 ；
（3）解： ，
，且 ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴ 的值为 ．
6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称
A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式 ， ，
，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
(1)已知分式 ， ，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明
并求出C关于D的“差常值”．
(2)已知分式 ， ，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，
求 的值；
(3)已知分式 ， ，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整
数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
【答案】(1) 不是 的“差常分式”；(2)
(3)所有符合条件的 的值为0，2，4，6．
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
（1）根据新定义进行判断；
（2）根据新定义，列出方程求解；
（3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解．
【详解】（1）解： 不是 的“差常分式”；
理由： ，
不是 的“差常分式”；
（2）解：由题意得： ，
，
，
，
解得： ， ，
；
（3）解：由题意得： ，
，
，
为整数， 为整数，
的值为： 或 ，
的值为：0，2，4，6，
所以所有符合条件的 的值为0，2，4，6．
