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第十五章 分式(B·能力提升)
时间：120分钟 总分：150分
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
b x 1 1
1．（4分）在 ，﹣2ab2， ， ， 中，分式共有（ ）
a 3 4+x π
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
b 1
【解答】解：根据分式的定义，分式有 ， ，共2个．
a 4+x
故选：A．
x2−1
2．（4分）若分式 无意义，则x的值是（ ）
x−1
A．x＝±1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
【解答】解：由题意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．2a2+3a2＝6a2
C．2a2•a3＝2a6 D． b2 b6
(− ) 3=−
2a 8a3
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，此选项错误；
B、2a2+3a2＝5a2，此选项错误；
C、2a2•a3＝2a5，此选项错误；
D、 b2 b6 ，此选项正确；
(− ) 3=−
2a 8a3
故选：D．
x2−1
4．（4分）当x＝（ ）时，分式 的值等于0．
x−1
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
x2−1
【解答】解：∵分式 的值等于0，
x−1
∴x2﹣1＝0且x﹣1≠0，解得x＝﹣1，
故选：C．
a+b a+b 3x 2a+b
5．（4分）分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）
a2+b2 a2−b2 12y a+b
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
a+b
【解答】解： 的分子和分母中不含有公因式，是最简分式；
a2+b2
a+b a+b
= 的分子和分母中含有公因式（a+b），不是最简分式；
a2−b2 (a+b)(a−b)
3x
的分子和分母中含有公因数3，不是最简分式；
12y
2a+b
的分子和分母中不含有公因式，是最简分式；
a+b
最简分式有2个，
故选：B．
6c c
6．（4分）把 ， 通分，下列计算正确的是（ ）
a2b 3ab2
6c 6bc c ac
A． = ， =
a2b a2b2 3ab2 3a2b2
6c 18bc c ac
B． = ， =
a2b 3a2b2 3ab2 3a2b2
6c 18bc c ac
C． = ， =
a2b 3a2b 3ab2 3a2b2
6c 18bc c c
D． = ， =
a2b 3a2b❑ 3ab2 3ab2
【解答】解：两分式的最简公分母为3a2b2，
A、通分后分母不相同，不符合题意；
6c 18bc c ac
B、 = ， = ，符合题意；
a2b 3a2b2 3ab2 3a2b2
C、通分后分母不相同，不符合题意；
D、通分后分母不相同，不符合题意，
故选：B．
x2 y y
7．（4分）计算 ÷ •（ ）2的结果是（ ）
y x x
A．x B．x2 C．y2 D．y【解答】解：原式 x2•x•y2
=
y y x2
＝x，
故选：A．
8．（4分）下列分式的变形正确的是（ ）
2a+1 a x2+ y2
A． = B． =x+y
2b+1 b x+ y
C．a 5a D．a a2（a≠b）
= =
b 5b b b2
【解答】解：A选项中不能分子分母都减1，故该选项不合题意；
B选项中分子和分母没有公因式，故该选项不合题意；
C选项中分子和分母都乘5，分式的值不变，故该选项符合题意；
D选项中分子乘a，分母乘b，a≠b，故该选项不合题意；
故选：C．
9．（4分）甲、乙两地相距m千米，原计划高速列车每小时行x千米，受天气影响，若实际每小时降速50
千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（ ）小时．
m m m m m m m
A． B． − C．( − ) D．( − )
50 x 50 x−50 x x x+50
m
【解答】解：可先求出原计划列车从甲地到乙地所需的时间，即 小时，再求每小时降速50千米所需
x
m
要的时间，即 小时．
x−50
m m
故列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（ − ）小时，
x−50 x
故选：C．
10．（4分）假期正是读书的好时候，小颖同学到重庆图书馆借了一本书，共280页，要在两周借期内读
完，当她读了一半时，发现平均每天要多读 21页才能在借期内读完，她读前一半时，平均每天读多少
页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
140 140 280 280
A． + =14 B． + =14
x x−21 x x+21
140 140 10 10
C． + =14 D． + =1
x x+21 x x+21140
【解答】解：读前一半用的时间为： ，
x
140
读后一半用的时间为： ．
x+21
140 140
由题意得， + =14，
x x+21
故选：C．
x m
11．（4分）若关于x的方程 −2= 有正数解，则（ ）
x−3 x−3
A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6
【解答】解：分式方程两边同时乘以（x﹣3），得
x﹣2（x﹣3）＝m，
解得x＝6﹣m，
∵方程有正数解，
∴6﹣m＞0，
解得m＜6，
∵x≠3，
∴6﹣m≠3，则m≠3，
∴m的取值范围是m＜6且m≠3，
故选：B．
{ x−1＞m+1 y m−2
12．（4分）若关于x的不等式组 无解，且关于y的分式方程 +1= 有非负整
−2x+1≥4m+3 y−2 2−y
数解，那么所有满足条件的整数m的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：解不等式组得x＞m+2，x≤﹣2m﹣1，
∵不等式组无解，
∴m+2≥﹣2m﹣1，
解得m≥﹣1，
y m−2
+1= ，
y−2 2−y
y+y﹣2＝2﹣m，
2y＝4﹣m，1
y＝2− m，
2
∵分式方程有非负整数解，
1
{2− m≥0
∴ 2 ，
1
2− m≠2
2
解得m≤4且m≠0，
∵m≥﹣1，
∴﹣1≤m≤4，
∵分式方程有非负整数解，
∴m为2、4；
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094米，0.00000094这个数用科学记数法表示为
9.4×10 ﹣ 7 ．
【解答】解：0.00000094＝9.4×10﹣7．
故答案为：9.4×10﹣7．
a−c c−b
14．（4分）计算： − = 1 ．
a−b b−a
a−c c−b
【解答】解：原式= +
a−b a−b
a−c+c−b
=
a−b
a−b
=
a−b
＝1，
故答案为：1．
{2x+ y=7 x+ y
15．（4分）已知 ，则 = ﹣ 5 ．
x+2y=8 x−y
{2x+ y=7①
【解答】解： ，
x+2y=8②
①+②，得：3x+3y＝15，∴x+y＝5，
①﹣②，得：x﹣y＝﹣1，
x+ y 5
∴ = =−5，
x−y −1
故答案为：﹣5．
2 2 3 3 4 4 a a
16．（4分）已知： ×2= +2， ×3= +3， ×4= +4，…，若 ×10= +10（a、b都是正整数），
1 1 2 2 3 3 b b
则a+b的值是 1 9 ．
2 2 3 3 4 4 a a
【解答】解：∵ ×2= +2， ×3= +3， ×4= +4，…，若 ×10= +10（a、b都是正整数），
1 1 2 2 3 3 b b
∴a＝10，b＝10﹣1＝9，
∴a+b＝19．
故答案为：19．
三．解答题（共8小题，满分84分）
1
17．（6分）计算：(π−2) 0−|−8|−(−1) 2021+( ) −2．
3
【解答】解：原式＝1﹣8﹣（﹣1）+9
＝﹣7+1+9
＝3．
18．（8分）计算：
（1） 9ab2 •5a−5b；
a2−b2 3a2b
（2） x2−y2 x−y ．
÷
4x2+12xy x+3 y
9ab2 5(a−b)
【解答】解：（1）原式= •
(a+b)(a−b) 3a2b
15b
= ；
(a+b)a
(x+ y)(x−y) x+3 y
（2）原式= •
4x(x+3 y) x−y
x+ y
= ．
4x19．（10分）解分式方程：
3 1
（1） = ；
2x x+1
x 8
（2） −1= ．
x−2 x2−4
【解答】解：（1）去分母得：3（x+1）＝2x，
去括号得：3x+3＝2x，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，2x（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x2﹣4）＝8，
整理得：x（x+2）﹣x2+4＝8，即2x＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
3 a2−4a+4
20．（10分）先化简：（ −a+1）÷ ，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入
a+1 a+1
求值．
3 a2−4a+4
【解答】解：（ −a+1）÷
a+1 a+1
3−(a−1)(a+1) a+1
= ⋅
a+1 (a−2) 2
(2+a)(2−a) a+1
= ⋅
a+1 (a−2) 2
2+a
=− ，
a−2
2+0
当a＝0时，原式=− =1．
0−2
2 mx 1
21．（12分）已知关于x的分式方程 + =
x−1 (x−1)(x+2) x+2
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
3
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m= ，
2
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
22．（12分）松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车
主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，
公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人 200元
工资．
（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计
算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．
【解答】解：（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，
480 480
根据题意得： − =10，
x 1.5x
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝24．
答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物．
（2）甲车主单独完成所需时间为480÷16＝30（天），
乙车主单独完成所需时间为480÷24＝20（天），
甲、乙两车主合作完成所需时间为480÷（16+24）＝12（天），甲车主单独完成所需费用为30×（800+200）＝30000（元），
乙车主单独完成所需费用为20×（1200+200）＝28000（元），
甲、乙两车主合作完成所需费用为12×（800+1200+200）＝26400（元）．
∵30000＞28000＞26400，30＞20＞12，
∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时．
23．（12分）阅读下列材料，然后回答问题．
3 1
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如： =1+ ，在分式中，对于只含有一个字
2 2
母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的
x+1 x2 1 x
次数时，我们称之为“真分式”．例如： ， 这样的分式是假分式； ， 这样的分式
x−2 x+2 x−2 x2−1
是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
x+1 (x−2)+3 3
例如： = =1+ ，
x−2 x−2 x−2
x2 (x+2)(x−2)+4 4
= =x−2+ ．
x+2 x+2 x+2
解决下列问题：
x−2
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式；
x+3
x2+2x
（2）如果分式 的值为整数，求x的整数值．
x+3
x+3−5 5
【解答】解：（1）原式= =1− ；
x+3 x+3
x2+3x−x
（2）原式=
x+3
x
＝x−
x+3
x+3−3
＝x−
x+3
3
＝x﹣1+ ，
x+3
∵原式的值为整数，且x为整数，
3
∴ 为整数，即x+3＝±1或x+3＝±3，
x+3则x＝﹣2或﹣4或0或﹣6．
24．（14分）阅读下列解题过程，并完成问题：
若a 2，求a2−2ab−3b2的值．
=−
b a2−6ab−7b2
a
解：因为 =−2，所以a＝﹣2b．
b
所以a2−2ab−3b2 (−2b) 2−2(−2b)b−3b2 5b2 5．
= = =
a2−6ab−7b2 (−2b) 2−6(−2b)b−7b2 9b2 9
（1）解题过程中，由5b2得5，是对分式进行了 约分 ；
9b2 9
（2）已知a 1，求a2−2ab−3b2的值；
=
b 2 a2−6ab−7b2
x y z x+ y−z
（3）已知 = = ≠0，求 的值．
3 4 6 x−y+z
【解答】解：（1）分式的分子、分母都除以b2，
故答案为：约分；
a 1
（2）∵ = ，
b 2
∴b＝2a，
∴原式
a2−2a⋅2a−3(2a) 2
=
a2−6a⋅2a−7(2a) 2
−15a2
=
−39a2
5
= ；
13
x y z
（3）设 = = =k（k≠0），
3 4 6
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
3k+4k−6k
∴原式=
3k−4k+6kk
=
5k
1
= ．
5
