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第十五章 分式（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义，一般地，如果A、 （ 不等于零）表示两个整式，且 中含有字母，那么式
子 就叫做分式，其中A称为分子， 称为分母，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A ，是单项式，故该选项不符合题意；
B ，是分式，故该选项符合题意；
C ，是多项式，故该选项不符合题意；
D ，是单项式，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．
2．化简 结果正确的是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【详解】解： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．3．下列分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质进行计算， 逐一判断即可解答；
【详解】解：A、 ，故 A 不符合题意；
B、 ，故 B 符合题意；
C、 ， 故C不符合题意；
D、 ，故 D 不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键
4．去年，生物学家发现一种病毒的长度约为 米，利用科学记数法表示为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， n由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．如果将分式 中的 和 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍
【答案】C【分析】根据分式的性质，将分式 中的 和 都扩大到原来的3倍，进而化简，即可求解．
【详解】解：∵
∴分式的值缩小到原来的
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不
变．
6．若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】C
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母
，得到 ，然后代入化为整式方程的方程算出 的值．
【详解】解：方程两边都乘 ，
得 ，
原方程有增根，
最简公分母 ，
解得： ，
当 时， ，
故选：C．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性．
7．将 ， ， 这三个数从小到大排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据0指数幂，负指数幂直接计算即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
， ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查0指数幂，负指数幂，解题的关键是熟练掌握 ， ．
8．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当 时， 的值为零 B．无论 为何值， 的值总为正数
C．无论 为何值， 不可能得整数值 D．当 时， 有意义
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件和分数值为零的条件逐一判断，即可得到结论．
【详解】解：A、当 时， 无意义，原判断错误，不符合题意；
B、 ， ， 无论 为何值， 的值总为正数，原判断正确，符合题意；
C、当 时， 是整数，原判断错误，不符合题意；
D、当 时， 有意义，原判断错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式
值为零的条件是分子是0，分母不是0．
9．已知一列数 ， ， …..，它们满足关系式 ， ， ， …，当 时，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数列关系得到 ， ， ，即可得到数列是个循环数列，3
个一循环即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴数列是3个一循环的数列，
∵ ，
∴ ，
故选：A；
【点睛】本题考查数列的规律，解题的关键是根据题意得到数列规律．
10．已知关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围为（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】先解方程得到 ，再由方程的解为非负数，得到 ，再由 ，可得 ，
从而可求a的取值范围．
【详解】解： ，
去分母得 ，
解得 ，
∵方程的解为非负数，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴a的取值范围是 且 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不为0是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分式 和 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】根据找最简公分母的方法找出即可．
【详解】解：分式 和 的最简公分母是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最简公分母，能熟记找最简公分母的方法是解此题的关键，找最简公分母的方法是：
①系数找分母各个系数的最小公倍数，②相同字母找字母的最高次幂，③对于在一个分母中单独有的因式，
也作为一个因式．
12．若分式 的值等于 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键．
13．复学在即，由于新冠疫情，学校决定拿出 元分两次购进 个口罩免费发放给学生．已知两次
购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的 倍．若设第二次购买口罩的单价为 元/个，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】设第二次购买口罩的单价为 元/个，则第一次购买口罩的单价是 元/个，根据题意，列出分式
方程，即可求解．
【详解】解：设第二次购买口罩的单价为 元/个，则第一次购买口罩的单价是 元/个，根据题意得，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．
14．若 ，对任意自然数 都成立，则 ．
【答案】 /
【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到 ，进而得到关于a、b的
方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案．
【详解】解：
，
，对任意自然数 都成立，
，即 ，解得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
15．定义运算 ，如： ，则方程 的解为 .
【答案】 /
【分析】先根据新运算得出 ，求出 ，再方程两边都乘 ，得 ，
求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解： ，
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．
16．已知，关于x的分式方程 无解，则m的值为 .
【答案】0或
【分析】转化成整式方程求出方程的解，根据无解得出 的值．
【详解】解：方程两侧同乘 得： ，整理得 ，方程无解，
，
，
当 或 时方程无解，
，
故答案为：0或 ．
【点睛】本题考查了分式方程无解时情况，转化成整式方程进行分析是最基本的方法．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解分式方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得
到答案；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得
到答案．
【详解】（1）解：去分母得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为： ；
（2）解： ，
，去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意要检验．
18．计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法进行计算，然后合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式的乘法，积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握
以上运算法则是解题的关键．
19．先化简，再求值： ，其中【答案】 ，
【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的
加法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】解：原式
，
把 代入得 ；
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
20．已知：代数式
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
【答案】(1) 时，该式无意义
(2)
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；
（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则 ，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得，当 时，代数式 无意义；
所以 时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时， ，
即 ．
【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题
的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．
(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；
(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价 销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800
元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．
【答案】(1)A款纪念品购进的个数为30个
(2)A款纪念品降价以前的售价50元
【分析】（1）设购进A款纪念品 个，购进B款纪念品 个，根据共购进50个和花费1400元，可列二元
一次方程组，即可解答；
（2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为 元，利用按照原价销售的个数加
上4等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．
【详解】（1）解：设购进A款纪念品 个，购进B款纪念品 个，
根据题意可得 ，
解得 ，
答：A款纪念品购进的个数为30个；
（2）解：设A款纪念品降价以前的售价为m元，
则可得降价后的售价为 元，
根据题意可得 ，
解得 ，
经检验， 为原方程的解，
答：A款纪念品降价以前的售价50元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题
的关键．
22．观察以下等式：
第1个等式： ，第2个等式： ，
第3个等式： ，第4个等式： ，第5个等式： ，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．
（2）猜想的第n个等式为： ．利用分式运算进行证明即可．
【详解】（1）第6个等式： ；
（2）猜想的第n个等式为：
证明如下：
左边 ，
右边 ，
左边=右边
∴
【点睛】本题考查简单的归纳推理、数学归纳法等基础知识，还考查分式的加法运算，是中档题．
23．（1）已知关于x的分式方程 ．
①当 时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程 有整数解，求此时整数m的值．【答案】（1）① ；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4
【分析】（1）①把 代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到 ，求出增根 ，
则 ，即可求得a的值；
（2）解方程得到 ，根据分式方程有整数解得到 或 且 ，进一步求解
即可得到整数m的值．
【详解】解：（1）①当 时，分式方程为： ，
去分母得到 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的根；
② ，
去分母得到 ，
解得： ，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
∴a的值为3；
（2） ，
去分母得到 ，
解得 ，
∵方程有整数解，
∴ 或 且 ，
解得： 或3或0或4且 ，
∴ 或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想
未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商
场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元．
(1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？
(2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.
采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件．
①甲商场的商品打几折？
②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品 ，整理时，采购人员发现在甲、乙
两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．
问学校购进B奖品的总数量为多少？
【答案】(1)A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元
(2)①打8折；②20或22或24或26
【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35
元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结
论；
（2）①设甲商场的商品打a折，利用数量＝总价÷单价，结合在甲商场用200元买的B奖品数量比用200
元买的A奖品数量的2倍还多5件，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；②总费用
为 元，由总费用为500多，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，结
合n为正整数且 ，可得出n的值，再将其代入 中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元；
（2）解：①设甲商场的商品打a折，
根据题意得： ，解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商场的商品打8折；
②总费用为 元，
∵总费用为500多，
∴ ，
解得： ，
又∵n为正整数，且 ，
∴n可以为10，11，12，13，
∴2n可以为20，22，24，26．
答：学校购进B奖品的总数量为20件或22件24件或26件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据
各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．对于分式A与B，若 （k为常数），则称A是B的“k级牵挂分式”，如分式 ，
， ，则A是B的“3级牵挂分式”．
(1)若分式 是分式C的“ 级牵挂分式”，则分式C为（ ）
A． B． C． D．
(2)已知分式 ， ，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”，
①求E（用含x的式子表示）；
②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值．
(3)已知分式 ， （a，b为整数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b
的值．
【答案】(1)D(2)① ；②当 时， ；当 时，
(3)
【分析】（1）根据定义列式计算即可；
（2）①分式P是分式Q的“2级牵挂分式”列式求出E的值即可；
②根据 ，再根据P的值为正整数，x为正整数，求出结果即可；
（3）由M是N的“1级牵挂分式”，得出 ，整理得出
，列出a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：∵分式 是分式C的“ 级牵挂分式”
∴
，
故选：D．
（2）解：①可得 ，
，
∵P是Q的“2级牵挂分式”，
∴ ，
∵ ；②由①可得： ，
∵P的值为正整数，x为正整数，
∴当 时， ；
当 时， ．
（3）解： ，
，
由M是N的“1级牵挂分式”，可得：
，
∴ ，
整理得 ，
由上式恒成立，得 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握分式混合运算法
则，准确计算．
