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第十五章 分式（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 的倒数是（ ）
A． B． C．2024 D．－2024
【答案】C
【知识点】倒数、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了负整数指数幂和求一个数的倒数，根据负指数的运算规则运算求出 的结果，
再根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【详解】解： = ，
∴ 的倒数是2024，
故选：C．
2．当 时，分式 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查了求分式的值，将 代入计算即可得出答案．
【详解】解：当 时， ，
故选：A．
3．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引
众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为
整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少
位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时，
是负整数．
【详解】解： ．
故选：A
4．下列各式： ， ， ， ， ，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子 、 是整式）中，分母
中含有字母，则 叫分式．根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：在 ， ， ， ， 中，其中分式有 ， ，共2个，
故选：B
5．下列说法正确的是（ ）
A．代数式 是分式
B．分式 中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式 是最简分式
D．分式 有意义
【答案】C
【知识点】最简分式、分式的判断、分式有意义的条件、利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式有意义的条件．根据分式的定义及性质依次
判断即可求解．【详解】解：A、代数式 是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B、分式 中 ， 都扩大3倍后为 ，分式的值扩大3倍，故本选项不符合
题意；
C、分式 是最简分式，故本选项符合题意；
D、当 时，分式 有意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者
的加入，实际每天植树比原计划多 ，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到
的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树 万棵，
根据“提前2天完成任务”即可列出方程．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得
．
故选：A
7．已 知 ， 且 ，则 等于
（ ）
A．x B．x +1 C． D．【答案】C
【知识点】数字类规律探索、分式化简求值
【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规
律求解．分别求出 ， ， ， ，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再
根据得出的规律进行求解．
【详解】解： ，
，
，
，
该数列每三个数就循环一次，
，
，
故选：C．
8．已知 ， ， 则P与Q 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】D
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简 、 ，再计算 与 的差，最后
分类讨论得结论．
【详解】解析： ，
，
∵ ，∴ 时， ， 即 ；
当 且 时， ， 即 ．
故无法确定P 与 Q的大小关系，
故选：D．
9．根据分式的性质，可以将分式 （ 为整数）进行如下变形：
，其中 为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知， 的值可以为0；
结论Ⅱ：若使 的值为整数，则 的值有3个．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】C
【知识点】分式值为零的条件、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键．
由分式的性质可知 ， ，从而可得结论Ⅰ不对，由 的值为整数且 为整数，则
，即可得出结论Ⅱ正确．
【详解】解： ，
由化简过程可知， ， ，
，
；
由题意可知，若使 的值为整数且 为整数，则 ，
，
综上所述， ．
所以，Ⅰ不对Ⅱ对．故选：C．
10．若关于x的不等式组 的解集为x<1，且关于y的分式方程 的解为正整
数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B． C．8 D．10
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查一元一次不等式组、分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解
法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到
两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值．
【详解】解：解不等式组 得 ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
解关于y的分式方程 ，
得 ，
∵分式方程的解为正整数，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
，
或 或 ，
所有满足条件的整数a的值有： ， ， ，
符合条件的所有整数a的和为 ．故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．比较大小： ．
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的计算，分别根据零指数幂，负整数指数幂的计算法则
求出两个数，再比较大小即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．若分式 的值为零，那么x的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．根据分式的
值为零的条件建立等式或不等式求解，即可解题．
【详解】解： 分式 的值为零，
且 ，
解得 且 ，
，
故答案为： ．
13．不改变分式的值，把分式 的分子和分母各项的系数都化为整数得 ．
【答案】
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以 ，再化简即可，
解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于 的数，分式的值不变．
【详解】解：原式 ，故答案为： ．
14．若 （ ， 为有理数），那么 ， ．
【答案】
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算
，再利用待定系数法列式求解即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ； ．
15．使等式 成立的有理数x的值有 ．
【答案】 或 或
【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂
【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，分类讨论得出是解题关键．
利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出即可．
【详解】解：当 时，
，
，符合题意，
当 时，
， ，符合题意，当 时，
，
，符合题意，
综上所述．使等式 成立的有理数x的值有 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
16．若关于x的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或10或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两种情
况即可求出 的值．
【详解】解：
去分母得，
，
当增根为 或 时，
或
解得 或 ，
即 或 时，分式方程无解，
当 时，即 时，整式方程无解，分式方程无解，
综上可知，当 的值为 或10或 ．
故答案为： 或10或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)原方程无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方
程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解．
18．化简与求值：
(1)计算： ；
(2)先化简 ，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．【答案】(1)
(2) ，当 时，值为 ．
【知识点】分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂的运算．
（1）由零指数幂、负整数指数幂以及有理数的除法运算法则进行计算即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结
果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
由于 ， ，即 ，
∴ 或 ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．19．小明的作业如下：
解：
（第一步）
．（第二步）
(1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果；
(2)若 ， 是不等式组 的整数解（ ），求原分式的值．
【答案】(1)小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确结果为 ；
(2) ．
【知识点】分式化简求值、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】（ ）根据分式的混合运算顺序和运算法则可判断正误及结果；
（ ）先求出不等式组解集 ，再根据题意得出 的值，然后代入计算即可；
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握知识点的应
用是解题的关键．
【详解】（1）小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确过程如下：
；
（2）由 得x>0，
由 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴ 整数解为 ， ，
∵ ，
∴ ， ，∴原式 ．
20．观察以下等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
(1)写出第 个等式：________；
(2)用含 的等式写出你猜想的第 个等式，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左
右相等便可．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜
想的正确性．
【详解】（1）第 个等式： ；
（2）解：第 个等式为 ，理由如下：等式左边 ，
等式右边 ，
因为等式左边 等式右边，
所以该等式成立．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示 ．某同学将甲和丙卡片的一个直角重
叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为 ；图3为乙卡片，其面积记为 ．
(1)化简式子 ，并求当 时，该式子的值；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】分式化简求值、解分式方程
【分析】本题主要考查了分式的化简、解分式方程，掌握分式方程的运算法则是解题的关键．
（1）由题意分别列出 和 的表达式，再求 并化简即可，将 代入式子即可得出结果；
（2）利用十字相乘解分式方程即可，注意结果要检验．
【详解】（1）解：由题意可知， ， ，，
当 时， ．
（2） ，
，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解．
22．阅读理解：
例题：已知实数 满足 ，求分式 的值．
解： ．
的倒数
∴
(1)已知实数 满足 ，求分式 的值．
(2)已知实数 满足 ，求分式 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式的求值
【分析】本题主要考查了分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）先求出 ，再根据 求出 的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ ．
23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分
式”．
如 ，则 和 都是
“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： ______．
(3)应用：先化简 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3) 时，该式的值为整数
【知识点】同分母分式加减法
【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算，
（1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形；
（3）将分式变形结果为 ，根据分式的性质得到x的值．
【详解】（1）① ，② ；③ ，④ ，
故答案为①③④；
（2） ，
故答案为 ；
（3）原式
当 或 时，分式的值为整数，
此时 或 或1或 ，又 分式有意义时 ，
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定 （其中a，b是非零常数，且
），这里等式右边是通常的四则运算．如： ， ．
(1)填空： _________．（用含a，b的代数式表示）
(2)若 ，且 ．
①求a，b的值；
②若 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】用代数式表示式、构造二元一次方程组求解、解分式方程
【分析】（1）利用新运算的规定解答即可；
（2）①利用新运算的规定得到关于 的方程，解方程即可求得结论；
②利用新定义的规定列出关于 的等式，再将 的值代入求解即可．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ；
（2）①∵ ，
∴ ，整理，可得 ①，∵ ，
∴ ，
∴ ②，
由①、②组成二元一次方程组 ，
解得 ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
经检验， 是原方程的根，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟
练应用是解题的关键．
25．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母
的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ；
再如： ．
解决下列问题：
(1)分式 是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
(3)若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为： ，
求 的最小值．
【答案】(1)假分式
(2) 或
(3)27
【知识点】整式乘法混合运算、分式的判断、分式化简求值、分式加减的实际应用
【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
（1）根据定义即可求出答案；
（2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值；
（3）化简 ，根据分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的
和（差）的形式为： ，得出 ，求出 ，代入 中，得出
，根据 ， ，即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意得：分式 是假分式，
故答案为：假分式；（2）解： ，
∵ 的值为整数，且 为整数；
的值为 或 ；
∴ 的值为 或 ．
（3）解：
，
∵分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为27．
