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第十五章 分式（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 的倒数是（ ）
A． B． C．2024 D．－2024
2．当 时，分式 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引
众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式： ， ， ， ， ，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列说法正确的是（ ）
A．代数式 是分式 B．分式 中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式 是最简分式 D．分式 有意义
6．2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者
的加入，实际每天植树比原计划多 ，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到
的方程是（ ）
A． B．C． D．
7．已 知 ， 且 ，则 等于
（ ）
A．x B．x +1 C． D．
8．已知 ， ， 则P与Q 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．根据分式的性质，可以将分式 （ 为整数）进行如下变形：
，其中 为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知， 的值可以为0；
结论Ⅱ：若使 的值为整数，则 的值有3个．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
10．若关于x的不等式组 的解集为x<1，且关于y的分式方程 的解为正整
数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B． C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小： ．
12．若分式 的值为零，那么x的值为 ．
13．不改变分式的值，把分式 的分子和分母各项的系数都化为整数得 ．14．若 （ ， 为有理数），那么 ， ．
15．使等式 成立的有理数x的值有 ．
16．若关于x的分式方程 无解，则 的值为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1) ；
(2) ．
18．化简与求值：
(1)计算： ；
(2)先化简 ，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
19．小明的作业如下：
解：
（第一步）
．（第二步）
(1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果；
(2)若 ， 是不等式组 的整数解（ ），求原分式的值．20．观察以下等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
(1)写出第 个等式：________；
(2)用含 的等式写出你猜想的第 个等式，并说明理由．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示 ．某同学将甲和丙卡片的一个直角重
叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为 ；图3为乙卡片，其面积记为 ．
(1)化简式子 ，并求当 时，该式子的值；(2)当 时，求 的值．
22．阅读理解：
例题：已知实数 满足 ，求分式 的值．
解： ．
的倒数
∴
(1)已知实数 满足 ，求分式 的值．
(2)已知实数 满足 ，求分式 的值．
23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分
式”．
如 ，则 和 都是
“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： ______．(3)应用：先化简 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定 （其中a，b是非零常数，且
），这里等式右边是通常的四则运算．如： ， ．
(1)填空： _________．（用含a，b的代数式表示）
(2)若 ，且 ．
①求a，b的值；
②若 ，求m的值．
25．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母
的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也
可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ；再如： ．
解决下列问题：
(1)分式 是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
(3)若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为： ，
求 的最小值．
