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2022-2023 学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷
第十五章 分 式（能力提升）
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．下列各式： ， ， ， 中，是分式的共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】
，形式为 ，且B中含有字母，是分式；
，形式为 ，但B中不含字母，不是分式；
，形式为 ，且B中含有字母，是分式；
，形式为 ，且B中含有字母，是分式；
故一共有3个分式．
故选C
【点睛】
本题主要考查了分式的定义：形如 ，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常
数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．
2．若分式 的值为零，则x的值为 （ ）
A．1 B． C． D．0
【解析】
解：根据题意得： 且 ，
解得： ．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件分子等于0，且分母不等
于0是解题的关键．
3．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.000 000 000 14米．数字0.000 000 000 14用
科学记数法可表示为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】
解：0.00000000014=1.4×10-10．
故选：B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．化简 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】
解：
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式进行分解因式等知识，是重要考点，掌握
相关知识是解题关键．
5．若分式 的值为负数，则x的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】
解：∵分式 的值为负数，
∴4﹣x＜0，
解得：x＞4，
则x的取值范围是x＞4，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式的性质，根据题意得出4﹣x＜0，是解题的关键．
6．若关于x的方程 的解为 ，则a等于 （ ）
A． B．4 C． D．
【解析】
解：把x＝1代入方程 得： ，
解得：a＝ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，
然后再解答．
7．若关于x的方程 有增根，则k的值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．【解析】
解：
方程两边都乘以（（x+2），得
（x+2）-4=kx，
∵分式方程的增根是x=-2，
∴把x=-2代入（x+2）-4=kx，得k=2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根
代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【解析】
解： ，
，
解得 ，
关于x的分式方程 的解是非负数，
且 ，
解得 且 ，
故选C．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．计算： =_______．
【解析】
解：
=
= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查分式的除法，要熟练掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠
倒位置后与被除式相乘．
10．分式－ ， 的最简公分母为________．
【解析】解：3和2的最小公倍数是6，x的最高次幂是2，y的最高次幂是3，6x2y3是两者的最简公分
母．
故答案为：6x2y3．
【点睛】
本题考查了最简公分母，解决本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法步骤．
11．已知 ，则分式 的值为______________．
【解析】
解：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解此题的关键．
12．方程 的解是__________．
【解析】
解： ，
两边都乘以x(x-1)，得
3(x-1)=2x，
解得
x=3，
当x=3时，x(x-1) ≠0，
∴x=3是原方程的解．
故答案为：x=3．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为
整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
13．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ，例如：
．若x*y＝2，则 的值为______．
【解析】
解：由题意得：
x*y＝2，即 ，则： ，则 ，
故答案为：1011．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关
键．
14．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形PQMN．已知①和②能够重合，
③和④能够重合，这四个长方形的面积均为S，AE=x，DE=y，且x>y．若代数式x2-3xy+2y2的
值为0，则 =_______
【解析】
解：∵x2-3xy+2y2 =0，
∴(x-y)(x-2y)=0，
∴x=y或x=2y，
∵x>y ，
∴x=2y，
∵四个长方形的面积均为S，
∴EP= ，EN= ，
∴PQ=x-y，PN=EN-EP= ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用、分式的混合运算，正确通过解关于a的方程表示a与b的
关系是解本题的关键．
15．代数式 与代数式 的和为1，则 ________．
【解析】
解：∵代数式 与代数式 的和为1，∴ ，
去分母得,
，
去括号得,
，
移项并合并同类项得,
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ,
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，理解去分母、去括号、移项并合并同类项、未知数系数化
1，检验方程的根是解答关键．
16．已知 ，则 ______．
【解析】
，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∴ ，
解得：
∴ 的值为4， 的值为 ．
∴
故答案为6．
【点睛】
本题考查了分式、整式加减运算、二元一次方程组的知识；熟练掌握分式加减运算、整式加
减运算、二元一次方程组的性质是解答本题的关键．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．已知 ，求 的值．
【解析】
解：设 ，则 ．则 ．
【点睛】
本题考查分式的求值，关键在于观察已知条件与分式之间的联系．
18．计算：
(1) ；
(2)
【解析】
(1)解：原式=
=
= ；
(2)解：原式=
=
= ．
【点睛】
本题考查整式混合运算与分式混合运算，熟练掌握整式与分式运算法则是解题的关键．
19．先化简： ，并从1，2，3，4中选取一个合适的数作为m的值代入求
值．
【解析】
原式=
．
∵当m=-2，2，0时，原分式无意义，
∴当 时，原式 ．（或当 时，原式 ．或当 时，原式
．）
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．计算 时，小明、小亮两位同学的解法如下：
小明： 小亮：
① ③
② ④
(1)判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，
则找出最先出错的式子：______（填序号）．
(2)请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．
【解析】
(1)解：小明：
①
②
故最先出错的式子为小明的解题过程中的①；
故答案为：①
(2)解：选第一种解法，过程如下：
＝
＝
＝
【点睛】
本题考查了分式的加减混合运算，关键在于熟练掌握分式混合运算的法则和步骤．
21．解方程：
(1)解方程： ；
(2)解关于x的方程 过程中产生了增根，试判断k的值.
【解析】（1）解： 检验：将 代入原方程，分
母为0，故原方程无解．
（2）解：
由于原方程有增根，故原方程分母为0，
【点睛】
本题考查解分式方程，解决本题的关键是熟悉解方程的方法，理解增根的意义．
22．我县计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成． 已知
甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的
教室多用3天．
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
(2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若安
装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【解析】
（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室．根据题意得
解得x＝4． 经检验，x＝4是所原方程的根所以，1.5x＝1.5×4＝6．答：甲公司每天安装6
间教室，乙公司每天安装4间教室．
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天根据题意得
解得 答：最多安排甲公司工作12天．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式．
23．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 的正方形去掉一个边长为1m的正方
形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 的正方形，两块试验田的
小麦都收获了 ．
(1)“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为
（结果用含 的式子表示）；
(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的 倍，求 的值．【解析】
(1)解：“丰收1号”的面积为： ，
单位面积产量为： ；
“丰收2号”的面积为： ，
单位面积产量为： ；
故答案为： ； ；
(2)解：由题意，可得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴a的值为5．
【点睛】
本题考查了列代数式，分式方程，解题的关键是根据题意列出相应的分式方程．
24．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便
解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求
和等．
例1：分解因式
解：将“ ”看成一个整体，令
原式
例2：已知 ，求 的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解；
(2)计算： ______
(3)①已知 ，求 的值；
②若 ，直接写出 的值．
【解析】(1)解：将 看成一个整体，令 ，
则原式 ．
(2)解：将 看成一个整体，令 ，将 看成一
个整体，令 ，
则原式
．
(3)解：①∵ ，
∴
．
②∵ ，
∴
．
【点睛】
本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思
想，看懂例题．
25．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助
图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
【分数运算】怎样理解 ？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂 部分）；再将
涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂 部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，
取出其中8份，所以 的 占原长方形的 ，即 .
【尝试推广】
（1）①类比分数运算，猜想 的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且 ，
）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空： ____________；
②若a、b均为正整数且 ，猜想 的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同
时加以简单的文字解释.
【解析】
解：（1）① ；
故答案为 ；
②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂 部分）；再将涂色部分平均分成c份，取
其中d份（涂 部分）.这样，可看成原长方形被平均分成 份，取其中 份，所以 的 占
原长方形的 ，即 .（2）① （ ）
②长方形先被横向平均分成（ ）份，取其中的1份（涂 部分）；
该长方形还可以如图被纵向平均分成 份，取其中1份（涂 部分）.
这样，可看成原长方形被平均分成 份，涂色部分共取其中 份，
所以占原长方形的 ，
即 .
【点睛】
本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．
