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第十五章 分式（知识归纳+14 题型突破）
1.理解分式的定义，基本性质，混合运算．
2.整数的指数幂运算．
3.会解分式方程及含参数的有关问题和分式方程的应用．
一、分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分
母，则整式B¿0. ③只要最终能转化为 形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
二、分式的相关概念
1）分式 有意义的条件：分母不为0，即B 0
¿
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B¿0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
三、分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
四、分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，
不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍
数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为
公分母，这样的分母叫做最简公分母．
五、分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
六、整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①am∙an=am+n，（m，n是正整数）； ②（am）n=amn，（m，n是正整数）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）； ④am÷an=am−n，（a≠0，m、n是正整数，m>n）
a n an {&当a≠0时，a0=1（规定）
⑤（ ）= ，（n是正整数）； ⑥
b bn &当a=0时，00无意义
a2 1
若按照④运算，当m<n时。如：a2÷a3=a2−3=a−1；根据指数幂的定义a2÷a3= =
a3 a
1
2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，a−n= （a≠0） 注：00、0−n无意义
an
3）幂的运算性质扩大
当a≠0时 ①am∙an=am+n，（m，n是整数）（公式1、4的扩展）
②（am）n=amn，（m，n是整数）（公式2的扩展）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展）
4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0，
am
根据定义am÷an=am−n 还可转化为乘法：am÷an= =am∙a−n=am−n
an
5）科学记数法的扩大{1＜|a|＜10
一般，一个小于1的数可以表示为a×10−n的形式，其中
n为负整数
步骤：确定a值的大小。1＜|a|＜10；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩
大了10x倍。故n=-x
七、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
八、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式
项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
九、增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分
式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身
无解，当然原分式方程就一定无解．
十、分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤
检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【题型一 分式有意义的条件】
例题：（2023·河南南阳·统考三模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】
【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【详解】解：依题意得： ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式 有意义，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可完成求解．
【详解】∵分式 有意义，
∴ ，解得 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握这一条件是解题的关键．
2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式 有意义，则 的取值范围为____．
【答案】
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母
为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
⇔ ⇔
3．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当 满足条件___________时，分式 没有意义．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由分式 没有意义，可得 ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．4．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式 无意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式 无意义，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【题型二 分式值为零的条件】
例题：（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式 的值为0，则x的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零
且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件．
2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式 的值为0，则 的取值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零，据此解答．
【详解】解：依题意得： 且 ，
解得： ，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；
（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（2023春·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）已知分式 的值为 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件：分子 且分母 ，即可求出结论．
【详解】解： 分式 的值为零，
，
解得： ．
故答案为：7．
【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子 且分母 是解决此题的
关键．
4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若分式 的值为0，则 ________【答案】
【分析】由题意直接根据分式的值为零的条件即分子等于零且分母不等于零进行分析即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
∴ 或 ，且 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件即分子为0和分母不为0．
这两个条件缺一不可．
【题型三 判断分式变形是否正确】
例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断
即可解答．
【详解】解： ，故A正确；
与 不一定相等，故B错误；
与 不一定相等，故C错误；
当 时， ，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可.
【详解】解：A、 ，故本选项变形错误；
B、 ，故本选项变形正确；
C、 ，故本选项变形错误；
D、 ，故本选项变形错误；
故选：B.
【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【题型四 利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把 中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的
值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍
【答案】D
【分析】先用 代替分式中的x、y进行计算，再比较大小即可．
【详解】解：用 代替分式中的x、y得
．
那么这个分式的值扩大2倍．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是注意分式的基本性质的使用，以及整体代入．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当 ， 时，若 、 都扩大为原来的10
倍，则分式 的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质（无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变）解
答．
【详解】解：根据题意，得：
，
即分式 的值缩小到原来的 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式 中的 和 都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的
【答案】A
【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则 ，即可解答．
【详解】解：由题意，分式 中的x和y都扩大2倍，
∴ ，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值
不变．
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把 中的 与 都扩大3倍，那么这个代数式的值
（ ）
A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍
【答案】B
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：把 中的 与 都扩大3倍，得
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【题型五 最简分式】例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意；
B、 ，是最简分式，符合题意；
C、 ，不是最简分式，不符合题意；
D、 ，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各选项进行化简判断即可．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因
式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因
式从而进行约分．
【详解】解： ． 是最简分式；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．
3．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为( )
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．
【详解】解：① 是最简分式；
② 是最简分式；
③ ，不是最简分式；
④ ，不是最简分式；综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义，分子、分母中没有公因
式的分式是最简分式．
【题型六 最简公分母】
例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式 与 的最简公分母是______．
【答案】
【分析】先将分式的分母进行因式分解，然后根据最简公分母的定义即可得出结论．
【详解】∵ ，
∴分式 与 的最简公分母是 ．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式 ， ， 的最简公分母是_______．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义即可解答．
【详解】解：分式 、 、 的最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在
一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．
2．（2023春·江苏·八年级校考周测） 的最简公分母是_________
【答案】【分析】三个分式的分母均为多项式，故先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的知识进行求解
即可．
【详解】解： 的最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分
母，这样的公分母叫做最简公分母．
3．（2023春·全国·八年级专题练习） ， ， 的最简公分母是 _____．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义求出所求即可．
【详解】 的分母为 ，
的分母为 ，
的分母为 ，
∴ ， ， 的最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在
一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．
【题型七 含乘方的分式乘除混合运算】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．【详解】解：
【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） • ÷ ； （4） ．
【答案】（1） ；（2）1；（3） ；（4）
【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法；
（2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法；
（3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法；
（4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可．
【详解】解：（1）原式= ）= ；
（2）原式= =1；
（3）原式= = ；
（4）原式= = ．【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关
键．
【题型八 零指数幂、负整数指数幂】
例题：（2023·广东梅州·统考一模）计算： ___________．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂的运算法则及零指数幂的运算法则分别计算后，根据有理数加法运算法则求解
即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查有理数的运算，涉及负整数指数幂的运算及零指数幂，熟记相关运算法则是解决问题的
关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江杭州·七年级期中）计算： ________， ________．
【答案】
【分析】根据零指数幂与负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解： ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的运算法则是解题的关
键．2．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算： ____________．
【答案】
【分析】根据负整指数幂和零指数幂求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了负整指数幂和零指数幂，正确的计算是解决本题的关键．
3．（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知 ，那么a，b，c之间的大小关系是
__________（请用“<”表示）．
【答案】
【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，零次幂分别计算求得 的值，进而比较大小即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，正确的计算是解题的关键．
【题型九 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）2023年1月8日起，国家对新冠病毒感染实施“乙类乙
管”，已经知新冠病毒的直径是 ，这个数据用科学记数法可表示为____________m．
【答案】
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，
n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解： 用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为a
时小数点移动的位数．
【变式训练】
1．（2023·河南驻马店·统考三模）维生素A是人体内不可缺少的微量元素，成年女性每天维生素A的摄入
量约为 ．质量单位 是微克的符号，单位转换 ， ，数据“ ”用
科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ， ，可得 ，据此把数据“ ”化成以 为单位的量，
并用科学记数法表示即可．
【详解】解： ， ，
，
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定 与 的
值是解题的关键．
2．（2023·江苏泰州·统考三模）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于
0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是_________．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为 ，其中 是关键．
3．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）某颗粒物的直径是 ，把 用科学记数法
表示为______．【答案】
【分析】根据科学记数法的记数方法， 写成 其中 ，故得到答案．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了科学记数法知识，其中注意整数位数不要数错是本题的解题关键．
【题型十 整数指数幂的运算】
例题：（2023春·七年级课时练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据整式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，零指
数幂和负整数指数幂运算法则，整式混合运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
（1） ； （2） .
【答案】（1）-1；（2）2x6
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求
出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果．
【详解】解：（1）原式=2+1-3-1=-1；
（2）原式=x6+4x6-3x6=2x6．
【点睛】此题考查了整式的除法，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ；
(7) ； (8) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方进行计算，然后合并同类项即可求解；
（2）根据幂的乘方，积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的除法进行计算即可求解；
（3）根据幂的乘方，积的乘方进行计算即可求解；
（4）根据负整数指数幂，零次幂进行计算即可求解；
（5）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（6）根据积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法进行计算即可求解；
（7）根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方进行计算即可求解；
（8）根据零次幂，负整数指数幂，逆用积的乘方进行计算即可求解．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，负整数指数幂，零次幂，掌握幂的运算法则是解题的关键．【题型十一 分式加减乘除混合运算】
例题：（2023·河南漯河·统考二模）化简： ．
【答案】
【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，然后约分即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：
【答案】
【分析】根据分式混合运算法则及运算顺序直接求解即可得到答案．
【详解】解：．
【点睛】本题考查分式混合运算，涉及到因式分解、通分、约分及运算顺序，熟记相关运算法则及运算顺
序是解决问题的关键．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到
结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算；
（2）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算．
【详解】（1）解：；
（2）
．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【题型十二 分式化简求值】
例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式 ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值： 其中 满足方程 ．【答案】 ，
【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形 得， ，代入计算即可求
解．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等
知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值： ，其中：
【答案】 ；
【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可．
【详解】解：；
当 时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）先化简： ，若 ，请选取一个合
适的整数作为x的值代入求值．
【答案】 ，取 ，则原式 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，将合适的 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
， ，
，0，2，
若取 ，则原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
4．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简 ，再从不等式 中选择一个
适当的整数，代入求值．
【答案】 ，选择 ，式子的值为 （或选择 ，式子的值为1）
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的 的值，
代入计算即可得．【详解】解：原式
，
， ，
， ，
，且 为整数，
选择 代入得：原式 ，
选择 代入得：原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
5．（2023·湖南怀化·统考中考真题）先化简 ，再从 ，0，1，2中选择一个适当的数作
为a的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式为 ；当 时，原式为 ．
【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．
【详解】解：
，
当a取 ，1，2时分式没有意义，
所以 或0，当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．
6．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）先化简，再求值： ，其中a满足
．
【答案】 ，0
【分析】根据分式的四则混合运算法则化简可得 ，然后将 整体代入即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
；
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整体的方法是解答本题的关键．
【题型十三 解分式方程】
例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边同乘以 化为整式方程求解；（2）方程两边同乘以 化为整式方程求解．
【详解】（1）去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解；
（2）去分母得： ，
解得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，并
且注意要检验方程的解．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程
(1) ； (2) ．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，是增根，
分式方程无解；
（2） ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：
(1) ; (2) ．
【答案】(1) 是原分式方程的解
(2)原分式方程无解
【分析】（1）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验；
（2）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验．
【详解】（1）解：方式方程两边同时乘以 ，
得 ，
解得 ，
当 时， ，
所以原分式方程的解是 ；
（2）解：原分式方程可化为，
，
两边同时乘以 ，
得 ，
解得 ，
当 时， ，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）解分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)方程无解【分析】（1）先变形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解；
（2）先变形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）原方程变形为 ，
方程两边同乘以 ，得 ，
解得 ，
经检验： 是原方程的解，
∴原方程的解是 ；
（2）原方程变形为 ，
方程两边同乘以最简公分母 ，
得 ，
解得 ．
经检验： 是原方程的增根，
∴ 不是原方程的解，应舍去，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，并注意要检验是解题的关键．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）解方程
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)方程无解
【分析】（1）方程两边同乘 去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可；
（2）方程两边同乘 ，去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘 ，得： ，
解得 ．
检验：把 代入 ，
故原方程的解为： ；
（2）解：方程两边同乘 ，
得： ，
解得 ．
检验：把 代入 ，所以 是原方程的增根，
故原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公
分母．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列分式方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)无解
(2)
(3)
(4)
【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【详解】（1）
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的增根，原方程无解；（2）
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
经检验，当 时， ，
所以原方程的解为 ；
（3）
原方程可化为 ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解；
（4）
原方程可化为 ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【题型十四 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载
速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时
间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒 兆，根据题意可得等量
关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间 秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解
即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒 兆，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
则 ，
答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意
找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪
亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖
面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．
【答案】今年龙虾的平均亩产量 ．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，根据去年与今年的养
殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量 ．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，
甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐
款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防疫物
资每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注： 、
两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱 种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种防
疫物资
【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有 人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可得出结论；
（2）（2）设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款
140000元．列出方程，求解出 ，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
【详解】（1）解：设乙公司有 人，则甲公司有 人，
由题意得
，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
∴ ．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）解：设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，由题意得
，整理得 ．
又因为 ，且 、 为正整数，
所以 ， ．答：有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱 种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种
防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方
程是解题的关键．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又
于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计 万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这
两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，问：3，4
月份一共购进多少件T恤衫？商店售完后可获利润(销售收入减去进价总计)多少元？
【答案】3，4月份一共购进2500件T恤衫，商店售完后可获利润138900元．
【分析】首先求得：商店3，4月份购进T恤衫的数量和3，4月份购进T恤衫的价格，然后利用毛利润=销
售总收入-总进价计算利润．
【详解】解：设3月份购进T恤衫x件，
由题意得， ，
解得； ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
即：3月份购进T恤衫1000件；4月份购进T恤衫1500件；
设3月份购进T恤衫的价格为y元/件，
由题意得， ；
解得 ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
即：3月份购进T恤衫的价格为120元/件，
所以4月份购进T恤衫的价格为125元，购买1500件，
由题意得，
(元)，
答：3，4月份一共购进2500件T恤衫，商店售完后可获利润138900元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列方程求解，注意检验．
4．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）据山西省住房和城乡建设厅消息， 年，山西省将开工改造城镇
老旧小区 个，优先将养老托幼、日间照料、社区食堂等公共服务设施配套建设作为提升改造内容．某社区改造社区食堂需要租用垃圾专用车清理建筑垃圾，调研发现：若租用甲、乙两车运送，两车各运 趟
可完成，已知甲、乙两车单独运完这些垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，求甲、乙两车单独运完这些垃
圾各需运多少趟？
【答案】甲车单独运完这些垃圾需 趟，乙车单独运完需 趟
【分析】假设甲车单独运完此堆垃圾需运 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运 趟，根据工作总量 工作
时间 工作效率建立方程求出其解即可．
【详解】解：设甲车单独运完此堆垃圾需运 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运 趟，
根据题意得出： ，
解得： ，
经检验得出： 是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运： ，
答：甲车单独运完需 趟，乙车单独运完需 趟．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
5．（2023·重庆·三模）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的
目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每
天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的 倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道
少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为
万元，乙队施工一天的费用为 万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
【答案】(1)甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
(2)完成该条河道清淤施工的总费用是 万元．
【分析】（1）设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是 米，利用工作时间=
工作总量：工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分
式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入 中，即可得出甲队每天清淤的
河道长度；（2）设乙队施工y天，则甲队施工 天，利用工作总量=工作效率 工作时间，可得出关于y的一元
一次方程，解之可得出y的值，再将其代入 中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度分别是 米，
根据题意得 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；
（2）解：设乙队施工y天，则甲队施工 天，
根据题意得 ，
解得： ，
∴ ，
答：完成该条河道清淤施工的总费用是 万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
