文档内容
第十七章 勾股定理（知识归纳+题型突破）
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.
知识点一、勾股定理
a，b c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，
a2 b2 c2
那么 .
特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的.
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
（3）理解勾股定理的一些变式： ， ， .
知识点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以 .
知识点三、勾股数
x2 y2 z2
满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
x、y、z
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
n2 1，2n，n2 1 n1,n
特别说明：（1） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长；
2n2 2n,2n1,2n2 2n1 n
（2） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长；
m2 n2,m2 n2,2mn mn,m、n
（3） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长；
知识点四、勾股定理的逆定理
a，b，c a2 b2 c2
如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点五、如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
特别说明：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中
c
为三角形的最大边.
知识点六、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它
的逆命题.特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为
真命题，错误的命题我们称它为假命题.
【考点一 勾股树(数)问题】
例题：下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D． ， ，
【答案】C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边
的平方．
【详解】解：A、 ，不能构成直角三角形，不合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，不合题意；
C、 ，能构成直角三角形，符合题意；
D、三边长 ， ， 都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知 的三边满
足 ，则 是直角三角形．
【变式训练】
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；C、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、 ，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若 满足 的三个正整数，称为
勾股数．
2．下列各组数是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【详解】解：A、 ， ， 都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、 ，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、 ，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股数的定义：满足 且a、b、c为整数，则a、b、c为勾股数．
【考点二 用勾股定理解三角形】
例题：（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平分线，
于点E， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等以及勾股定理．
根据角平分线的性质可先求出 的长， 的长已知，根据勾股定理可求出解．【详解】解： 是 的平分线， 于 ， ，
．
，
．
【变式训练】
1．直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜边上的高为___________cm．
【答案】4.8##
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【详解】解∶ 直角三角形的两条直角边分别为 ，
斜边为 ，
设斜边上的高为 ，
则直角三角形的面积为 ，
解得∶ ，
这个直角三角形斜边上的高为 ．
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是
解题关键．
2．长方形 中，长 ，宽 ，点 为直线 上一点，当 为等腰三角形时，
_______．
【答案】13或 或
【分析】分三种情况画图，①当 时，②当 时，③当 时，利用勾股定理即
可解决问题．
【详解】解：分三种情况画图，如图，
在长方形 中，
， ， ，，
①当 时，
；
②当 时，
，
，
；
③当 时，
，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 或 或 ．
故答案为：13或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
3．（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等角对等边可得 ，再由勾股定理进行计算即可；
（2）由角平分线的性质可得 ，证明 得到 ，再由勾股定理
进行计算即可．
【详解】（1）解： ，，
，
；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，即 ，
，
解得： ．
【考点三 以直角三角形三边为边长的图形面积】
例题：如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若 ，则图中阴影部分的面
积为___________．【答案】7
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得： ，进而可
将阴影部分的面积求出．
【详解】解： ，
，
，
，
故答案是：7．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
【变式训练】
1．如图，已知直角三角形 的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边 的长为______．
【答案】10
【分析】根据阴影部分面积等于以 为直径的半圆面积之和加上 的面积减去以 为直径的
半圆面积进行求解即可 ．
【详解】解；∵直角三角形 的周长为24，
∴ ， ,
∴ ，
∵阴影部分的面积为24，∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．
2．如图， 中， ，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为 ， ， ，已知
， ，则 ______．
【答案】8
【分析】由勾股定理得出 ，得出 ，得出 ，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关
系是解决问题的关键．【考点四 勾股定理的证明方法】
例题：如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A， ， 在同一条直线上，
， ， ， ．
(1)填空： ______ ，根据三角形面积公式，可得 的面积 ______；根据割补法，由梯形的面
积减去阴影部分的面积，可得 的面积 ______．
(2)求证： ．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；
（2）用两种不同的方法表示梯形 的面积，计算化简后，即可得出 ．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
，
，
，
的面积 ，
由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得 的面积
，
故答案为： ， ， ；（2）证明： ，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 ，
，
．
【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．
【变式训练】
1．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼
成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足 ， ， ，
，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设 ， ，求正方形BDFA的面积．（用m，n
表示）
【答案】(1)
(2)见解析(3)
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形 的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积 ，大正方形的面积 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由题意可得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是
解题的关键．
【考点五 勾股定理的实际应用】
例题：如图，一个长为 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为 米，梯子的顶端下滑
米后到达 点，底端也水平滑动 米吗？试说明理由．
【答案】梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米，理由见解析．
【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．
【详解】解：由题意可知， ， ， ，
在 中，由勾股定理得：
，
当 滑到 时， ，
；
在 中，
，
．
答：梯子的顶端下滑 米后，底端将水平滑动 米．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【变式训练】
1．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉
绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆 的高度．【答案】旗杆 的高度为13米．
【分析】设 ，在 中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设 ，根据题意得：
在 中， ，
即： ，
解得： ．
答：旗杆 的高度为13米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的
关键．
2．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到
E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
(1)根据题意可知：AC ．（填“ ”“ ”或“ ”）
(2)若 米， 米， 米，求小男孩需向右移动的距离．
【答案】(1)
(2)小男孩需向右移动的距离为7米
【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答；
（2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长， 的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始
终保持不变，∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 米， 米，
∴在 中，由勾股定理得： （米），
∵ （米），
∴在 中，由勾股定理得： （米），
由（1）得： ，
∴ （米），
∴小男孩需向右移动的距离为7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题的关键．
3．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强
的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C
为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且 ，过点 作 于点 ，
以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离；
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明
理由．
【答案】(1)500km
(2)受影响，台风影响该海港持续的时间为8小时
【分析】（1）利用勾股定理求出 即可；
（2）利用三角形面积得出 的长，进而得出海港 是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出
以及 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
（1）
解：在 中， km， km，
（km），答：监测点 与监测点 之间的距离为500km；
（2）
解：海港 受台风影响，
理由： ， ，
，
，
km，
以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
海港 会受到此次台风的影响，
以 为圆心，260km长为半径画弧，交 于 ， ，
则 km时，正好影响 港口，
在 中，
（km），
km，
台风的速度为25千米 小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
4.如图，是一块长、宽、高分别是 ， 和 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点
处，沿着长方体的表面到长方体上和 相对的顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？【答案】
【分析】将长方体展开成平面图形，分三种情况，利用勾股定理进行求解，确定最短路径即可．
【详解】解：如图1，当爬的长方体的长是 ，宽是3时， ．
如图2，当爬的长方体的长是 ，宽是4时， ．
如图3，爬的长方体的长是 ，宽是6时， ．
，
它需要爬行的最短路径是 ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径．
【考点六 用勾股定理构造图形解决问题】
例题：木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右
图为其示意图．若 ，线段 的长为15cm，线段 的长为20cm，试求出小木条 的最短长
度．【答案】12cm
【分析】根据垂线段最短，所以当 时， 最短，利用勾股定理和等积法进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
要使得小木条AD最短，则此时 ，
，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握垂线段最短，是解题的关键．
【变式训练】
1．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高 ，云梯最多只能伸长到
，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在 处完成从 高处救人后，然后前进到 处从 高处救人．
(1) _________米， _________米；
(2)①求消防车在 处离楼房的距离（ 的长度）；②求消防车两次救援移动的距离（ 的长度）．（精确到 ，参考数据 ， ，
）
【答案】(1) 米， 米
(2)①消防车在 处离楼房的距离为 ；②消防车两次救援移动的距离约为
【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为 的长，再根据题中图形，可得云梯的长为 的长．
（2）①根据题意，可得 的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在 处离楼房的距离．②根据题意，
可得 的长，再根据勾股定理，可得到 的长，然后根据 ，即可算出消防车两次救援移
动的距离．
【详解】（1）根据题意，可得消防车的高为 的长，
∴ m；
根据题中图形，可得云梯的长为 的长，
∴ m．
故答案为：3；10．
（2）①由题意得 ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
即消防车在 处离楼房的距离为 ；
②由题意得 ， ， ，
∴
在 中，
，
∴ ．
即消防车两次救援移动的距离约为 ．
【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．
2．如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后
沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中 米，
米， 米， 米．
(1)求A，B两点的距离；
(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇
于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．
【答案】(1) 两点的距离为 米
(2)玻璃廊桥 的长为 米
【分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB的长；
(2)在Rt△ADE中，首先利用勾股定理求出DE的长，再根据面积法求出AF的长即可．
【详解】（1）解：由题意， ，
∴在 中， ．
∵ 米， 米，
∴ （米）．
答： 两点的距离为 米．
（2）∵ 米，∴ （米）．
∴在 中， ．
∵ 米，
∴ （米）．
∵ ，
∴ ．
∴ （米）．
答：玻璃廊桥 的长为 米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，面积法求垂线段的长，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【考点七 判断三边能否构成直角三角形】
例题：如图所示，已知 中， 于 ， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)1.2
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直定义可得 ，然后在 中，利用勾股定理进行计算即可
解答；
（2）先在 中，利用勾股定理可求出 的长，从而求出 的长，然后利用勾股定理的逆定理证
明 是直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
， ，
，
的长为1.2；（2） 是直角三角形，
理由：在 中， ， ，
，
，
， ，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的
关键．
【变式训练】
1．如图， ，垂足为D，且 ， ．点E从B点沿射线 向右以2个单位/秒的速度匀
速运动，F为 的中点，连接 ，设点E运动的时间为t．
(1)当t为何值时， ；
(2)当 时，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)当 时， ；
(2) 是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得： ，再根据线段中点的定义可得 ，从而可得
， ，由等腰三角形的性质得 ，则建立方程即可解答；
（2）当 时， ， ，然后分别在 和 中，利用勾股定理求出 和
，最后利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵F为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴当 时， ；
（2）解： 是直角三角形，
理由：当 时， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定
理的逆定理是解题的关键．
2．已知 满足 ．
(1)求 的值；
(2)试问以 为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)不能构成直角三角形，见解析
【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；
（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ， ＝0，∴ ， ， ；
（2）∵ ，
∴不能构成直角三角形．
【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关
键．
【考点八 在网格中判断直角三角形】
例题：如图，正方形网格的每个小方格边长均为 ， 的顶点在格点上．
(1)直接写出 ______， ______， ______；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)直接写出 边上的高 ______．
【答案】(1) ， ，
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
（3）利用面积法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
，
，
，故答案为： ， ， ；
（2）解： 是直角三角形，
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）设 边上的高为h，
∵ 的面积 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的
关键．
【变式训练】
1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点 均在格点上．
(1)求四边形 的面积，
(2) 是直角吗？为什么？
【答案】(1)
(2)是直角，理由见解析
【分析】（1）根据网格中图形，用大正方形面积减去四个顶点处的直角三角形面积和一个正方形面积即
可得到答案；（2）由图，连接 ，分别在网格中利用勾股定理计算出三条线段长，利用勾股定理的逆定理验证即可得
到答案．
【详解】（1）解：由网格图可知，四边形 的面积为
；
（2）解： 是直角，
理由如下：连接 ，如图所示：
∴ ， ， ，
，
∴ 是直角三角形， 是直角．
【点睛】本题考查网格中求四边形面积及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握网格中求图形面积的方
法及网格中利用勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
2．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点 ， ．
(1)建立平面直角坐标系；
(2)判断 的形状，并说明理由；(3)在 轴上找一点 ，当 最小时，此时 点坐标是 ．
【答案】(1)详见解析
(2) 是直角三角形，详见解析
(3)
【分析】（1）根据 、 两点坐标确定平面直角坐标系即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，直线 的解析式，可得点 坐标．
【详解】（1）如图，平面直角坐标系如图所示：
（2）∵ ，BC＝ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）如图，点 即为所求，
∵ ， ， ，∴设直线 的解析式为 ，则有 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，可得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，勾股定理以及逆定理等知识，明确 、 、 在一条直
线上时， 有最小值是解题的关键．
【考点九 利用勾股定理的逆定理求解】
例题：如图，在四边形 中， ， ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)四边形 的面积为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，根据已知先证明 是等边三角形，从而可得 ， ，再
利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，从而可得 ，然后进行计算即可解答；
（2）过点 作 ，垂足为 ，利用等腰三角形的三线合一性质求出 的长，从而利用勾股定理求
出 的长，然后根据四边形 的面积 的面积 的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：连接 ，
， ，
∴ 是等边三角形，
， ，
， ，，
∴ 是直角三角形，
，
，
的度数为 ；
（2）解：过点 作 ，垂足为 ，
是等边三角形，
，
，
四边形 的面积 的面积 的面积
，
四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及
等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在 中，点 是 边上一点，连接 ．若 ， ， ， 求 的
长．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理得到 为直角三角形， ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是通过勾股定理的逆定理得到 为
直角三角形．
2．如图，四边形 中，已知 ， ， ， ，且 ．求四边形 的
面积．
【答案】四边形 的面积为 ．
【分析】先在 中，利用勾股定理求出 ，然后再利用勾股定理的逆定理证明 是直角
三角形，从而可得 ，最后根据四边形 的面积 的面积 的面积，进行计算
即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴四边形 的面积 的面积 的面积，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的
关键．
【考点十 勾股定理逆定理的实际应用】
例题：在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原因，
由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直
线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．求原来的路线 的长．
【答案】 千米
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 ，得出 ，再利用勾股定理列出方程，解方
程即可求出 的长度．
【详解】解：∵ 千米， 千米， 千米，即 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
答：原来的路线 的长为 千米．【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定
理及其逆定理是解决问题的关键．
【变式训练】
1．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，
测得 ， ， ， ， ，如果种植草皮费用是200元/ ，那么共
需投入多少钱？
【答案】46800
【分析】连接 ，利用勾股定理求出 ，利用勾股定理逆定理，求出 为直角三角形，进而利用
两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，再用面积乘以费用，即可得解．
【详解】解：如图所示，
连接 ．
， ， ，
，
又 ， ， ，即 ，
是直角三角形，
所需费用为 元．
答：共需投入46800元．【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判断三角形是直
角三角形是解题的关键．
2．某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点
的距离 ，以沙尘暴中心为圆心，周围 以内都会受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为 ，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【答案】(1)会受到影响
(2) 小时
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而利用三角形面积得出 的长，进而
得出城镇C是否会受到沙尘暴影响；
（2）利用勾股定理得出 以及 的长，进而得出沙尘暴影响该城镇持续的时间．
【详解】（1）解：作 于D，
在三角形 中， ，
∴ 是直角三角形，即 ，
，
，
解得∶ 千米，
所以，城镇C会受到影响．
（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时 千米，
到F处结束影响，此时 千米，， 千米，
受影响的时间为 （小时）
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
