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第十二章 全等三角形（知识归纳+题型突破）
1.了解全等图形与全等三角形的概念与性质．
2.掌握三角形全等的判定方法．
3.掌握角平分线的性质与判定．
一 全等图形
概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
全等图形特征：
①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的
图形全等.
二 全等三角形
概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’
对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’; 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’;
对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
对应元素的规律:
(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；
三、 全等三角形的判定（重点）
一般三角形 直角三角形
边角边（SAS）、角边角 具备一般三角形的判定方法
判定 （ASA） 斜边和一条直角边对应相等
（HL）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
对应边相等，对应角相等
性质
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.
2.全等三角形周长、面积相等.
四、证题的思路（难点）
五、 角平分线的性质与判定
概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
六、角平分线常考四种辅助线：
1.图中有角平分线，可向两边作垂线. 2.角平分线加垂线，三线合一试试看.
3.角平分线平行线，等腰三角形来添. 4.也可将图对折看，对称以后关系出现.
题型一 全等图形识别例题：（2023春·全国·七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形是全等图形”是解题的关键．
【巩固训练】
1．（2023春·广东深圳·七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可．
【详解】A．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；
B．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；
C．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；
D．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考是全等图形的定义．掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．
【答案】（1）（4）（5）（6）．
【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．【详解】解：（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻
折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小
不等．
故答案是：（1）（4）（5）（6）．
【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝
105°，则∠B＝__________．
【答案】
【分析】根据全等图形的性质， ，再根据四边形的内角和为360º得到 ．
【详解】解：根据题意得：
所以 ,
故答案为：
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．
题型二 全等三角形的概念和性质
例题：（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）下列说法中，正确的有（ ）
①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等
④若 ，则 ，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据全等的定义和性质判断即可．
【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；
②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；
③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；
④若 ，则 ， ，故④错误；
故正确的有1个．故选：A
【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．
【巩固训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）已知 ，且 与 是对应角， 和 是对应角，
则下列说法中正确的是（ ）
A． 与 是对应边 B． 与 是对应边
C． 与 是对应边 D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
【详解】解： 与 是对应角， 和 是对应角，
和 是对应角，
与 是对应边，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）如图， ，且 ， ，则 的度数为
______．
【答案】 / 度
【分析】先根据平行线的性质得到 ，再由全等三角形的性质即可得到
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图， ，且 ， ， ，
求 和 的度数．【答案】 ，
【分析】由 ，可得 ，根据三角形外角性质可得
，因为 ，即可求得 的度数；根据三角形内角和定理可得
，即可得 的度数．
【详解】解： ，
．
．
综上所述： ， ．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质对应角相等，三角形内角和，角度的转化是解决问题的关键．
题型三 添一个条件使两三角形全等
例题：（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，B，F，E，D四点共线， ， ．若要
使 ，则需要添加的条件是_______（只需添加一个你认为合适的条件即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意知，添加的条件为 ，可证 ．
【详解】解：由题意知，添加的条件为 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键在于确定判定三角形全等的条件．
【巩固训练】
1．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，已知 ，要判定 ，则需要补充
的一个条件为______（只需补充一个）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】添加条件为 ， ，根据 即可推出两三角形全等．
【详解】解：添加条件为 ，
理由是：∵在 和 中， ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有 ， ，
， ．
2．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点D，E分别在线段 上， 相交于点O，
，要使 ，需添加一个条件是_____________（只需填一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可．
【详解】∵ ，∴当添加的条件为 时，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形
全等的方法有： ， ， ， ， (直角三角形)．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知 ，要使用“ ”证明 ，应添加
条件：______________；要使用“ ”证明 ，应添加条件：_________________．
【答案】 （或 ） （或 ）
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使 ，已知 ，
，添加的条件是直角边相等即可；要使用“ ”，需要添加角相等即可．
【详解】解：已知 ， ，
要使用“ ”， 添加的条件是直角边相等，
故答案为： （或 ）；
要使用“ ”，需要添加角相等，添加的条件为：
（或 ）．
故答案为： （或 ）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，
取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必
须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对
应邻边．
题型四 三角形全等的判定方法
例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点 在一条直线上， ，
求证： ．【答案】见解析
【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中
∴ ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．
【巩固训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知 ，点 分别在 上， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接根据 证明即可．
（2）根据（1）得 ，然后证明 即可．
【详解】（1）解： 证明：在 和 中，∴ ．
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．
2．（2023春·全国·七年级期末）如图，在 中，D是 延长线上一点，满足 ，过点C作
，且 ，连接 并延长，分别交 ， 于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据 证明 即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 与 中，，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在 和 中， ，点B
为 中点， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4，见解析
【分析】（1）根据 判定即可；
（2）根据 和点B为 中点即可求出．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴
（2）解：∵ ， ，∴ ， ，
∵点B为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．
4．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点 是线段 上一点， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由 得 ，即 ，从而即可证得
；
（2）由 可得 ， ，即可得到 ，从而即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
， ，
，
．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，已知 相交于点O， ， 于点M，
于点N， ．
(1)求证： ；
(2)试猜想 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据 可证明 ；
（2）根据 证明 可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
题型五 角平分线的性质与判定定理
例题：（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， 的平分线 交
于点D，若 ，则点D到 的距离是 cm．
【答案】3
【分析】过D作 于E．根据角平分线性质求解即可．
【详解】解：过D作 于E．如图，
∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．
【巩固训练】
1．（2023春·贵州·七年级统考期末）如图，已知 ，射线 平分 ，过点E作 于点
H，作 于点F，并延长 交 于点G，连接 ．若 ， 则 的长为
．【答案】2
【分析】先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”
可得 ，再由 ，可得 ，由角平分线的性质可得
，即可求出 的长．
【详解】 ，
，
即 ．
，
，
．
∵ 平分 ，
，
，
∴ 平分 ．
，
．
，
，
∴ ．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明
平分 是解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知 垂足为 ， 垂足为 ， ，
．(1)求证： 平分 ；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论： ，请你帮他写出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先用 判断出 ，根据全等三角形的对应边相等得 ，进而根
据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得 平分 ；
（2）首先用 判断出 ，根据全等三角形的对应边相等得 ，结合 ，
根据线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
平分 ；
（2）解： ，
在 和 中
，
，
，
，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质
定理进行推理是解此题的关键．
3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在 中， ，D是 上一点，
于E，且 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线判定定理即可证明．
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得度数．
【详解】（1）证明： ， ， ，
点D在 的平分线上，
平分 ．
（2）解： ， ，
，
平分 ，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质运用，和直角三角形性质的运用，熟练掌握角平分线的判
定定理是解答的关键．
4．（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，在 中， 的平分线与 的外角平分线交于点 ， 于点 ， 于点 ．
(1)若 ，求点 到直线 的距离；
(2)求证：点 在 的平分线上．
【答案】(1)8cm
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；
（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．
【详解】（1）解：作 于 ，如图，
又∵ 平分 ， ，
∴ ，
即点 到直线 的距离为8cm；
（2）证明：∵ 平分 ，且 于点 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴点 在 的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键．
题型六 几何动点中求使三角形全等的值例题：（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在 中， ， ，
，点 在直线 上．点 从点 出发，在三角形边上沿 的路径向终点 运动；点 从
点出发，在三角形边上沿 的路径向终点 运动．点 和 分别以 单位 秒和 单位 秒的速度
同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点
都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过 和 作 于点 ， 于点 ，则点
的运动时间等于 _____秒时， 与 全等．
【答案】1或 或6
【分析】分四种情况，点 在 上，点 在 上；点 、 都在 上；点 到 上，点 在 上；
点 到 点，点 在 上．
【详解】解： 与 全等，
斜边 斜边 ，
分四种情况：
当点 在 上，点 在 上，如图：
，
，
，
当点 、 都在 上时，此时 、 重合，如图：，
，
，
当点 到 上，点 在 上时，如图：
，
，
，不符合题意，
当点 到 点，点 在 上时，如图：
，
，
，
综上所述：点 的运动时间等于 或 或 秒时， 与 全等，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键
【巩固训练】
1．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段 ， 于点A， ，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发
___________秒后，在线段MA上有一点C，使 与 全等．
【答案】5
【分析】分两种情况考虑：当 时与当 时，根据全等三角形的性质即可确定
出时间．
【详解】解：当 时， ，即 ，
解得： ；
当 时， 米，
此时所用时间 为10， ，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段 上有一点 ，使 与 全等．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图， ， ， 为射线， ，点
P从点B出发沿 向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线 运动，速度为x个单
位/秒；若在某时刻， 能与 全等，则 ______．
【答案】 或
【分析】设运动时间为 秒，由题意可知， ， ，分两种情况讨论：①当 时；
②当 时，利用全等三角形的性质，分别求出 的值，即可得到答案．【详解】解：设运动时间为 秒，
由题意可知， ， ，
，
，
①当 时， ， ，
，解得： ，
②当 时， ， ，
，解得： ，
综上可知， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
3．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD
＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以 cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在
这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC−BP=(10−2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得： ，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10−2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
题型七 三角形全等判定与性质综合问题
例题：（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在 中，
于 ，点 在边 上，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，且 的面积等于24，求 的长．
(3)若 ，直接写出线段 的数量关系：________．
【答案】(1)见解析(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质定理求解即可；
（2）根据三角形 的面积 的面积 三角形 的面积，即可求得 的长度；
（3）根据线段之间的关系，即可得到 ．
【详解】（1）证明： ， ，
∴ ；
（2）解： ，
，
又 ， ，且 的面积等于24，
，
；
（3）解：∵ ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
， ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明 ，根
据全等三角形的对应边相等解决问题．
【巩固训练】
1．（2023春·辽宁丹东·七年级校联考期末）如图，在 中， 为 上一点， 为 中点，连接
并延长至点 ，使得 ，连 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用 证明 ，得到 ，即可得证；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义，求出 的度数，再根据 ，即可得解．
【详解】（1）证明： 为 中点，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（2） ， 平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
的度数为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线有关的计算．解题的关键是证明三角形全等．
2．（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图， 是经过 顶点B的一条直线， ，
E、D分别是直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 的内部，且E、D在射线 上．
【问题情景】如图1，若 ， ，则 之间的数量关系是______；
【问题解决】如图2，若 ，那么当 ______°时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理
由；
(2)若直线 经过 的外部．
【拓展提升】如图3， ，请写出关于 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
【答案】(1)【问题情景】 ；【问题解决】60，理由见解析；
(2)【拓展提升】 ，理由见解析．
【分析】（1）首先证明出 ，然后利用全等三角形的性质求解即可；
（2）首先证明出 ，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
∴ ，
∵
∴ ；60，理由如下：
∵
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ，
∵
∴ ；
（2） ．理由如下：
∵
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．
