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专题 15.1 分式
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1、理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为零(正、负、整数)的条件；
2、了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则；
3、理解最简分式与最简公分母的概念。
知识精讲
知识点01 分式及基本概念
知识点
1.分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分
母，则整式B¿0. ③只要最终能转化为 形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
2.分式的相关概念
1)分式 有意义的条件：分母不为0，即B 0
¿
2)分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B¿0
3)分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4)分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
【知识拓展1】分式的概念
例1．(2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习)在式子 、 、 、 、 、 、中，分式的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据分式的定义作答即可．
【详解】解：∵在式子 、 、 、 、 、 、 中，分式有： 、 、 、
，
∴分式有 个．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否
含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意 不是字母，是常数，所以分母中
含 的代数式不是分式，是整式．
【即学即练】
1．(2022·湖北·八年级期中)下列各式： ， ， ， 中，是分式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义，分母的整式中含有字母，判断即可．
【详解】因为 是分式， 不是分式， 是分式， 不是分式，
故有两个，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的定义即 中，整式 总含有字母，正确理解定义是解题的关键．
【知识拓展2】分式有(无)意义的条件
例2．(1)(2022·广东·八年级阶段练习)要使分式 有意义，x的取值应满足( )
A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．【详解】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠-3，故B正确．故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分式有意义的条件：分母不等于零是银题的关键．
(2)．(2021·湖北嘉鱼·期末)当 满足条件________时，分式 没有意义．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．
【解析】解：由分式 没有意义，可得： ，解得： ；故答案为 ．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．
【即学即练】
2.(2022·浙江·八年级开学考试)当 时，分式 没有意义，则b的值为( )
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】先将 代入分式 ，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
【详解】解：当 ， ，
∵分式 没有意义，∴ ，∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
【知识拓展3】分式值为零
例3．(2022·山东·济宁市八年级阶段练习)如果分式 的值为0，那么x的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分式值为零的条件得到 且 ，求解即可．
【详解】解：根据题意得：且 ，解得 ．故选：D．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【即学即练】
3.(2022·河北·八年级阶段练习)若分式 的值为零，则m＝( )
A． B．5 C．±5 D．0
【答案】B
【分析】根据分式的值为零的条件： ，可以求解之．
【详解】解： , ,解得 ， ．故选B．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题
的关键．
【知识拓展4】分式值为正(负)
例4．(2022·江苏·八年级)若分式 的值为正，则x的取值范围是______．
【答案】 且
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【详解】∵ 的值为正，又∵ ，∴ 且 ， 且 ，故答案为： 且
．
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是熟练运用分式的性质，本题属于基础题型．
【即学即练】
4.(2022·江西宜春·八年级期中)若分式 的值是负数，则x的取值范围是( )
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
【答案】B
【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞ ，故选：B．
【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数．
知识点02 分式的基本性质
知识点
1.分式的基本性质
1)分数的性质(特点)如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分(短除法).
2)分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质(特点)：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
2.分式的约分与通分
1)分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式(最大公约数).
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2)最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3)分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不
改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍
数;③分子对应扩大相同倍数.
4)最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公
分母，这样的分母叫做最简公分母．
【知识拓展1】分式基本性质的运用
例1．(2022·江苏泰州·八年级阶段练习)下列变形中，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据分式的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、 ，选项正确，符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项错误，不符合题意；
D、当 时，等号右边的式子没有意义，选项错误，不符合题意；故选：A
【点睛】此题考查了分式的性质，涉及了平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质．
【即学即练】
1．(1)(2022·浙江浙江·七年级期末)不改变分式 的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得
结果正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解： ，故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
(2)．(2022·江西景德镇·八年级期末)利用分式的基本性质填空： ．
【答案】
【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到
，由分式的基本性质得， ，最后运用整式乘法进行化简
即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【知识拓展2】最简分式
例2．(2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习)分式 ， ， ， 中，最简分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】分子，分母没有公因式的分式是最简分式，根据定义逐一分析即可.
【详解】解：
∴最简分式有 ， ，共2个，故选B.
【点睛】本题考查的是分式的约分，最简分式的判断，掌握“最简分式的含义”是解本题的关键.
【即学即练】
2．(2020·湖南·永州市八年级阶段练习)下列分式是最简分式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义：分子，分母没有公因式，进行判断即可．
【详解】解：A、 ， 不符合题意；B、 是最简分式，符合题意；
C、 ，不符合题意；D、 ，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查最简分式的概念：分子和分母不含公因式，熟练掌握定义是解题的关键．
【知识拓展3】利用分式的性质判定分式值的变化
例3．(2022·湖南邵阳·八年级期末)若分式 中的x和y都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是( )A．2 B．y C． D．
【答案】C
【分析】x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+□也扩大到原来的9倍，
所以□可以是y2．
【详解】解：∵x和y都扩大3倍，∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，
∵分式的值不变，∴x2+□也扩大到原来的9倍，
∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9(32＝9)倍，∴□也要扩大到原来的9倍，
∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9(32＝9)倍，
∴□可以是y2．故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘(或除以)一
个不等于0的整式，分式的值不变．
【即学即练】
3．(2022·河北·一模)只把分式 中的 ， 同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时 的
值可以是下列中的( )
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的性质，分子分母的 ， 同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则 为含
或 的一次单项式，据此判断即可．
【详解】解：∵ 中的 ， 同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
∴ 为含 或 的一次单项式，故只有C符合题意．故选C．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
【知识拓展4】最简公分母
例4．(2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习)下列分式 ， ， 通分的最简公分母是
______．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法即可判断．
【详解】解： 三分式中的常数项系数的最小公倍数是20，a的最高次幂是1，b的最高次幂是2，c的最高次幂是3，
三分式的最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的
积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是
各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可
以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的
因式都要取最高次幂，掌握最简公分母的求法以及定义是解题的关键．
【即学即练】
4．(2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习)分式 的最简公分母为____________．
【答案】
【分析】先确定最简公分母的系数，再取各分母的所有因式的最高次幂的积，即可得到答案．
【详解】解：分式 的最简公分母为 故答案为：
【点睛】本题考查的是最简公分母的确定，掌握“最简公分母的含义”是解本题的关键．
【知识拓展5】约分
例5．(2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习)小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是
下面中的( )
① ，② ，③ ，④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可．
【详解】解： ， ， 都是最简分式，
，故④符合题意；故选：D
【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．
【即学即练】5．(2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习)下列运算结果为x+1的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将分子和分母因式分解，然后利用分式的基本性质进行约分即可求出答案．
【详解】解：A、 ，不符合题意；B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；D、 ，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【知识拓展6】通分
例6．(2022·湖南·新化县八年级期中)把 ， 通分，则 =________， =__________.
【答案】
【分析】先找出 ， 的最简公分母 ，再利用分式的性质将 ， 的分母均化为 即可．
【详解】解： ， ，故答案为： ， ．
【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以
同一个不为0的整式，分式的值不变．
【即学即练】
6．(2022·江苏·八年级专题练习)将下列各分式通分：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
【答案】(1) ， ；(2) ， ；(3) ， ；(4) ，．
【分析】将分母两式取各式的最小公倍式，相同因式的次数取最高次幂，分子分母同乘分母的最小公倍式
即可得出答案．
【详解】解：(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ；
(4) ， ．
【点睛】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
(1)系数取各系数的最小公倍数；
(2)凡出现的因式都要取；
(3)相同因式的次数取最高次幂．
能力拓展
考法01 分式的规律探究
【典例1】(2022·全国·二模)观察下列各式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．……
根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第4个等式为：______．
(2)写出你猜想的第n个等式：______(用含n的等式表示)，并证明．
【答案】(1) (2)【分析】(1)观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式；
(2)结合(1)即可写出第 个等式，然后计算证明即可．
(1)解：第4个等式为： ，故答案为： ．
(2)解： ．
证明：右边 左边，
所以等式成立，故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律．
变式1．(2022·湖南·八年级阶段练习)观察下列各式： ，- ， ，- ，……，则第10个式子为_____．
【答案】
【分析】根据题目已给的式子探寻规律即可达到解答．
【详解】解：∵ ，- ， ，- ，……，∴可探寻的规律为 ，
∴第10个式子为- ．故答案为：- ．
【点睛】本题主要考查了列代数式，确定单项式的符号，系数，x的次数与单项式所在的序号之间的关系
是解题的关键．
变式2．(2022·广西贺州·七年级期末)观察下列等式 ， ， ， …根据其中
的规律，猜想 _______(用含 的代数式表示)．
【答案】
【分析】据题意分别用含x的式子表示出a 、a 、a 、a ，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答．
1 2 3 4【详解】解：∵ ，∴ ，
， ，……∴每3个数为一周期循环，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．
考法02 分式值为整数
【典例2】(2022·安徽·九年级专题练习)若分式 的值为正整数，则整数a的值有( )
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】分式 的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值．
【详解】解：分式 的值为正整数，且a为整数，
所以a+1=1或2或3或6．则a=0或1或2或5．故选B．
【点睛】本题考查了分式的值．理解分式 的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键．
变式1．(2021·安徽六安·七年级期末)若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】 表示一个整数，则 是6的因数，即可求解．
【详解】解：∵ 表示一个整数，
∴ 是6的因数 ∴ 的值为-6，-3，-2，-1，1，2，3，6，
相应的，x= ，-3， ，-2， ， ，0， ，共8个．
∴满足x是整数的只有4个，故选C．
【点睛】本题首先要根据分式值是整数的条件，求出 的值，再求出x的值是解题的关键．变式2．(2022·四川南充·九年级期中)若 的值为整数，则正整数a的值为______．
【答案】1、2或5
【分析】根据题意，分式 的值是整数，可知分式的分母可以为2、3或6，据此解得 的值，最后验
根即可．
【详解】解： 分式 的值是整数， ，∴ 为整数，
∵a是正整数，∴ 可以为2、3或6，∴a的值为1、2或5，
经检验，当 ， 或 ，分母 ，
∴a的值为1、2或5，故答案为：1、2或5．
【点睛】本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．(2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习)代数式的家中来了几位客人： ， ， ，
， ， 其中属于分式家族成员的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分式的定义：形如 ，A、B都是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，即可一
一判定．【详解】解： ， ， ，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
， ， 的分母中含有字母，因此是分式．
故分式有3个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．
2．(2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习)下列运算中，错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，分子、分母、分式本身的符号中，改变其中两个符号，分式的值不变，对
每一项进行分析即可．
【详解】解：A、 ，故本选项错误；B、 ，故本选项正确；
C、 ，故本选项正确；D、 ，故本选项正确．故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：无论是把分式的分子
和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为
0．
3．(2022·山东滨州·八年级期末)把分式 的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
= = ，故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
4．(2022·湖南·岳阳市八年级阶段练习)根据分式的基本性质，分式 可变形为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的性质直接化简即可．
【详解】解： ，故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质进行化简是解题关键．
5．(2022·四川·仁寿县八年级期末)若 ， 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别写出 、 都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择．
【详解】当 、 都扩大3倍时，
A、 ，故A错误．
B、 ，故B错误．
C、 ，故C错误．
D、 ，故D正确．故选D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式．
6．(2022·新疆·八年级期中)下列分式是最简分式的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分子，分母没有公因式的分式是最简分式，根据最简分式的含义逐一分析判断即可．【详解】解：A． 是最简分式，故A符合题意；
B． ， 不是最简分式，故B不符合题意；
C． ， 不是最简分式，故C不符合题意；
D． ， 不是最简分式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的约分，最简分式的含义，掌握“最简分式的含义”是解本题的关键．
7．(2020·湖南·慈利县教育科学研究室八年级期中)分式 的最简公分母是( )
A．xy B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样
的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可．
【详解】解：分式 的最简公分母是 ，故选：C．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解本题的关键．
8．(2022·河南·西峡县城区二中八年级阶段练习)小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下
面中的( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可．
【详解】解：A、原式为最简分式，不符合题意；
B、原式为最简分式，不符合题意；
C、原式为最简分式，不符合题意；D、原式= =x-y，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．
9．(2022·贵州遵义·八年级期末)在计算 通分时，分母确定为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可．
【详解】 ，
计算 通分时，分母确定为 ．
故选B
【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键．
10．(2022·新疆·库车市第七中学八年级期末)若代数式 的值为0，则x=______；当b=______时，分式
无意义．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可求出x的值；根据分式无意义的条件：分母
为0，即可求出b的值．
【详解】解：∵代数式 的值为0，
∴ ，解得 ，
∵分式 无意义，
∴ ，解得 ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件及分式无意义的条件，注意分式值为0的条件一定要满足分母不0，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
11．(2022·广东·佛山市八年级阶段练习)当 时，分式 无意义；当 时分式的值为 ，则
的值是______ ．
【答案】1
【分析】根据分式无意义即分母为 ，分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为 ；(2)分母不为
进行解答即可．
【详解】解：分式 无意义时， ，
分式 为 时， ，
当 ， 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是分式无意义和分式为 的条件，掌握分式无意义即分母为 ，分式的值为零，需同
时具备两个条件：(1)分子为 ；(2)分母不为 是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．(2022·湖南·临武县八年级阶段练习)若 表示一个整数，则整数 可取值共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数， 也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．
【详解】解：∵x是整数， 也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．则整数x可取值共有6个．故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是
解决本题的关键．2.(2022·江苏·八年级专题练习)根据分式的基本性质填空： ，括号内应填( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论．
【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得， ，∴括号内应填x-1．故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式
的值不变是解答此题的关键．
3．(2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习)若分式 中x、y均扩大为原来的2倍，分式的值也可扩
大2倍，则M可以是( )
A．x-y B．x+2y C． D．xy
【答案】D
【分析】根据题意可逐一进行判断选项．
【详解】解：A、当 时，且x、y均扩大为原来的2倍，则 ，与原来分式的值相等，
故不符合题意；
B、当 时，且x、y均扩大为原来的2倍，则 ，与原来分式的值相等，故不符合
题意；
C、当 时，且x、y均扩大为原来的2倍，则 ，，故不符合题意；
D、当 时，且x、y均扩大为原来的2倍，则 ，是原来分式的值2倍，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．4．(2022·江苏南京·八年级期中)关于分式 的判断，下列说法正确的是( )
A．当x＝2时，分式的值为零 B．当x＝﹣1时，分式无意义
C．当x≠2时，分式有意义 D．无论x为何值，分式的值总为负数
【答案】C
【分析】利用分式有无意义、值为0的条件，逐个判断得结论．
【详解】解：当x=2时，分式无意义，故说法错误；
当x=-1时，分式的值为0，故说法错误；
当x≠2时，分式有意义，故说法正确；
当x=3时，分式的值不为负数，故说法错误．故选：C．
【点睛】本题考查了分式有无意义及值为 0的条件．当分式的分母为0时，分式无意义；当分式的分子为
0，分母不为0时分式的值为0；当分式的分母不为0时，分式总有意义．
5．(2022·湖南·邵阳市八年级阶段练习)若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有( )个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知， 是6的整数约数，∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个．故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到
，从而使问题简单．
6．(2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习)若 成立，则a的取值范围是
______________
【答案】
【分析】根据分式的分母不能为零，得出 ， ，再把给出的式子进行整理，即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵分式的分母不能为零，
∴ ， ，
即 ， ，
7．(2022·南昌市心远中学八年级期末)写出一个分式，使它符合下列条件：①含有字母 ，②无论 取
何值分式都有意义；③当 时，分式的值为 ，这个分式时以是__________．(只写一个)
【答案】
【分析】依据分式的分母不为零以及分式的定义解答即可．
【详解】符合条件一个分式可以为： ．答案不唯一故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件、分式的定义、分式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．(2022·黑龙江·八年级期末)一列数： ，…，它们按一定的规律排列，则第n个数(n为正整
数)为_______．
【答案】
【分析】观察可知，分子用n表示，则分母用n2+1表示，从而可求解．
【详解】第1个数为： ，
第2个数为： ，
第3个数为： ，
第4个数为： ，
第5个数为： ，……
第n个数为： ．故答案为： ．
【点睛】本题是一道有关数字的变化规律题，解题的关键是由所给的数字总结出存在的规律．
9．(2021·河北· 八年级阶段练习)已知 ，x取哪些值时：(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；(3)y的值是零；(4)分式无意义．
【答案】(1)
(2)x＜ 或x＞2
(3)x＝2
(4)x＝
【分析】(1)分式的值为正数，则分子、分母同号，列不等式组求解；
(2)分式的值是负数，则分子、分母异号，列不等式组求解；
(3)分式的值为0，则分子为0，分母不等于0；
(4)分式无意义，则分母等于0．
(1)
根据题意，得
或 ，
解得 ；
(2)
根据题意，得
或 ，
解得x＜ 或x＞2；
(3)
根据题意，得
，
解得x＝2；
(4)
根据题意，得3﹣4x＝0，
x＝ ．
【点睛】本题考查了分数的取值范围，分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式有意义，则分母
不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为正数，则分子、分母同号；分式的值为负数，则分子、
分母异号．
10．(2023·安徽·九年级专题练习)观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： …
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第 个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)第 个等式为 ，证明见解析
【分析】(1)根据提供的算式写出第5个算式即可；
(2)根据规律写出代数式然后证明即可．
(1)
解：根据已知规律，第5个等式为 ，
故答案为： ；
(2)
解：根据题意，第 个等式为 ，证明：右边
=左边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规
律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·山东·宁阳县八年级阶段练习)不论x取何值时，下列分式总有意义的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义时，分式的分母不等于0逐项验证即可．
【详解】解：A、x＝0时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；
B、x＝−2时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；
C、x＝−2时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；
D、x为任意实数， ，分式总有意义，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义 分母为零；
(2)分式有意义 分母不为零；(3)分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
⇔ ⇔
2．(2022·绵阳市·八年级专题练习)分式 的值为负数的条件是( )
A． B． 且 C． 且 D． ，且
【答案】D
【分析】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案．
【详解】解： ，
因为分式的值为负数，
∴ 或者 ∴ 且 故选： ．
【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值
与分子、分母的关系是解题的关键．
3．(2020·湖南·李达中学八年级阶段练习)若分式 是最简分式，则△表示的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将各选项因式分解，利用最简分式的意义(一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分
子与分母互素)叫最简分式最简分式)进行分析解答．
【详解】解：A. ，B. ，C. ，D. ，
因为 ，且分式 是最简分式，
∴△中不含 或
故选D．
【点睛】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
4．(2022·河南许昌·八年级期末)将分式 与分式 通分后， 的分母变为 ，则 的分子变为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据最简公分母是 ，将分式 变为 ，分子和分母都乘以 ，
即可得出答案．
【详解】 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键．
5．(2022·湖南·永州市八年级阶段练习)已知两个分式： ， ；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为 ；作差，结果记为 ；
(即 ， )
第二次操作：将 ， 作和，结果记为 ：作差，结果记为 ；
(即 ， )
第三次操作：将 ， 作和，结果记为 ；作差，结果记为 ；
(即 ， )…(依此类推)
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．
① ；②当 时， ；③若 ，则 ；
④在第n(n为正整数)次和第 次操作的结果中： 为定值：
⑤在第2n(n为正整数)次操作的结果中： ， ；
以上结论正确的个数有( )个A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】通过计算确定第2n个式子的变化规律和第2n-1个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判
定即可．
【详解】解： ， ，
， ，
，
，
， ，……
当2n-1为奇数时(1除外)， ， ，
当2n为偶数时， ， ，
∵ ，故①正确；
当x=1时，M+M+M+M= =30 ，故②错误；
2 4 6 8
，解得x=1或-2，故③错误；
当n=2k-2时， =x，x不是定值，故④错误；由规律知，⑤正确；故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简以及探究式子的规律，解决问题的关键是确定式子的变化规律．6．(2022·山东·威海市九年级阶段练习)分式 的值为0 ，分式 无意义，则
______________
【答案】
【分析】根据分式为0和分式无意义的条件列式求出x、y的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意得： 且 ， ，
解得： ， ，则 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查分式为0的条件和分式无意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等
于零，分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
7．(2022·湖南长沙·七年级阶段练习)使代数式 的值为整数的全体自然数 的和是______ ．
【答案】22
【分析】将原式分解为 ，得到使得原式的值为整数的自然数分别为 、 、 、 、 、 ，求
的其和即可．
【详解】解： 原式 ，
∴ 能被12整除，则
使得代数式 的值为整数的全体自然数 分别为 、 、 、 、 、 ，
全体自然数 的和是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式的化简与变形的知识，解决本题的关键是对原分式进行正确的分解与变形．
8．(2020·广东·罗定市培献中学八年级阶段练习)已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m
的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式 都有意义，求m的取值范围．
【答案】(1)补全过程见解析
(2)
【分析】(1)根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要
即可，根据 求解即可得到结论；
(2)根据(1)的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式 都有意义时m的取值范围．
(1)
解：
=
=
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当 ，即可满足题意，
；
(2)
解：由(1)可知
，
，根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当 ，即可满足题意，
．
【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问
题的关键．
9．(2022·安徽滁州·二模)观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
……
按上述规律，回答以下问题：
(1)写出第6个等式：_______________________________________________；
(2)写出你猜想的第 个等式：_____________________________________(用含 的等式表示)，并证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【分析】(1)依次观察每个等式，可以发现规律：
，按照此规律即可求解；
(2)把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右
相等便可．
(1)解：第6个等式： ；
故答案为： ．
(2)
解：第 个等式： ；
证明：右边
左边，
∴等式成立．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了数字的规律变化，解题的关键是通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应
用规律解决问题．
10．(2022·河南信阳·八年级期末)阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分
母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的
次数时，我们称之为“真分式”．
如： ， 这样的分式就是假分式：再如： ， 这样的分式就是真分式，假分数 可以化成
1 (即1 )带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： ．
解决下列问题：
(1)分式 是__(填“真分式”或“假分式”)；假分式 可化为带分式__形式；
(2)如果分式 的值为整数，求满足条件的整数x的值．(3)若分式 的值为m，则m的取值范围是____(直接写出结果)．
【答案】(1)真分式，
(2) 或 或 或
(3)
【分析】(1)根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为 逆用分式的加减法
运算可得第二空的答案；
(2)先把原分式化为 再结合 为整数， 为整数，可得 或 或 或
从而可得答案；
(3)先把原分式化为 再结合 从而可得答案．
(1)解：根据新定义可得： 是真分式， 故答案为：真分式，
(2)∵ 且 为整数， 为整数，∴ 或 或 或
解得： 或 或 或
(3)∵ 而 ∴ ∴ ∴
所以
【点睛】本题考查的是新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解新定义，掌握
分式的加减运算的逆运算是解本题的关键．
