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专题 1.5 分式全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 分式
1．分式的概念（1）分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．分式 中，A叫做分
子，B叫做分母．
（2）一个式子是分式需满足的三个条件：
①是形如 的式子；
②A，B为整式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
【注意】
（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子
与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如 也可以表示为（a-1）÷（a+1），但
（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合 的形式．
2．分式有意义、无意义的条件
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0．
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0．
【注意】
（1）分式有无意义与分母有关，与分子无关．
（2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分
式就没有意义了．
3．分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且__________不等于0时，分式的值为0．
分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式 的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不
可．【拓展】对于分式 ，
（1）若 的值为正数，则 或 ；
（2）若 的值为负数，则 或 ；
（3）若 的值为1，则A=B且B≠0；
（4）若 的值为-1，则A+B=0且B≠0．
4．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示为： = （C≠0），其中A，B，C是整式．
分式的基本性质是分式变形的理论依据．
【注意】
①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另
强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条
件．
②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做
“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．
③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同
一个整式C．
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．
用式子表示为：
或
5．约分、最简分式（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
（1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【归纳】
（1）约分的依据是分式的基本性质： ，其中A，B，C都是整式．
（2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．
（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将
分子、分母分解因式，再约分．
（4）约分的结果是整式或最简分式．
（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．
6．通分
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式
的通分．
约分与通分的联系与区别：
（1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即
每个分式变形之后都不改变原分式的值．
（2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．
（3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最
简公分母．
【注意】
（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．
确定最简公分母的方法：
（1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的
字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确
定．
通分的步骤：
（1）求各分式的最简公分母；
（2）用这个最简公分母除以分式的分母；（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．
【典例1】下列各式1，x， 4 ，2a−5， x ，m−n，x2+2x+1， c 中，分式共有（
x 3 3b3+5 π x2−y2 m+n x2+2x+1 3(a−b)
）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
A
【分析】根据分式的定义，形如 ，B中含有字母且B≠0，判断即可．
B
【解答】解：在1，x， 4 ，2a−5， x ，m−n，x2+2x+1， c 中，
x 3 3b3+5 π x2−y2 m+n x2+2x+1 3(a−b)
分式有1， 4 ， x ，m−n，x2+2x+1， c 共6个，
x 3b3+5 x2−y2 m+n x2+2x+1 3(a−b)
故选：B．
【典例2】下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（ ）
x−1 x−1 x−1 x−1
A． B． C． D．
x+1 x x2−1 x2+1
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案．
【解答】解：A、当x+1＝0即x＝﹣1时，该分式无意义，不符合题意；
B、当x＝0时，该分式无意义，不符合题意；
C、当x2﹣1＝0即x＝±1时，该分式无意义，不符合题意；
D、∵x2+1＞1，
∴不论x取何值，该分式都有意义，符合题意．
故选：D．
x+3
【典例3】若分式 有意义，则x的值为（ ）
|x|−3
A．x≠±3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≥﹣3且x≠3
【分析】根据分母不为零的条件是解题的关键．
【解答】解：由题可知，
|x|﹣3≠0，
解得x≠±3．
故选：A．x2−2x
【典例4】若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x−2
A．±2 B．0或2 C．0 D．﹣2
【分析】根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可．
x2−2x
【解答】解：∵分式 的值为0，
x−2
∴{x2−2x=0)，
x−2≠0
解得x＝0，
故选：C．
xy
【典例5】如果分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
3x+2y
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
2x⋅2y
【分析】根据题意列出分式 ，然后化简，与原来的分式比较即可得出答案．
3×2x+2×2y
2x⋅2y 4xy 2xy
【解答】解： = = ，
3×2x+2×2y 2(3x+2y) 3x+2y
xy
所以将分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍，
3x+2y
故选：A．
【典例6】已知x 2，则 x2−3xy+2y2 的值是（ ）
=
y 7 2x2−3xy+7 y2
28 4 20 7
A． B． C． D．
103 103 103 103
x 2 2
【分析】由 = 得，x= y，代入所求的式子化简即可．
y 7 7
x 2 2
【解答】解：由 = 得，x= y，
y 7 7
4 6
y2− y2+2y2
x2−3xy+2y2 49 7 60 20
∴ = = = ．
2x2−3xy+7 y2 8
y2−
6
y2+7 y2
309 103
49 7
故选：C．【典例7】下列各式中，正确的是（ ）
−3x 3x a+b −a+b
A．− = B．− =
5 y −5 y c c
a a −a−b a−b
C．− = D． =
b−a a−b c −c
【分析】根据等式的性质即可一一判断．
−3x 3x
【解答】解：A、− = ，故本选项不符合题意；
5 y 5 y
a+b −a−b
B、− = ，故本选项不符合题意；
c c
a a
C、− = ，故本选项符合题意；
b−a a−b
−a−b a+b
D、 = ，故本选项不符合题意；
c −c
故选：C．
【典例8】计算．
（1）约分：a2+4ab+4b2；
a2−4b2
b a−b
（2）通分： ， ．
a2−ab a2+ab
【分析】（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可．
【解答】解：（1）a2+4ab+4b2
a2−4b2
(a+2b) 2
=
(a+2b)(a−2b)
a+2b
= ；
a−2b
b b a−b a−b
（2）∵ = ， = ，
a2−ab a(a−b) a2+ab a(a+b)
b b b(a+b)
∴ = = ，
a2−ab a(a−b) a(a−b)(a+b)a−b a−b (a−b)(a−b) (a−b) 2 ，
= = =
a2+ab a(a+b) a(a+b)(a−b) a(a+b)(a−b)
知识点2 分式的运算
1．分式的乘除
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为
【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．
（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化
为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的
分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定
符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式
子，然后依照分式除法法则计算．
（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．
（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．
2．分式的乘方
分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
【注意】
（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把 写成 ．
（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正
数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．
（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．
3．分式的加减
（1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为 ．（2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为 ．
【注意】
（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．
（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不
支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．
（3）异分母分式相加减的一般步骤：
①通分：将异分母分式转化成同分母分式；
②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；
③合并：分子去括号，合并同类项；
④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．
4．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘
方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活
地运用运算律，使运算尽量简便．
（2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要
把“-”号提到分式的前边．
5．整数指数幂与科学记数法
（1）整数指数幂：
若m，n为正整数，a≠0，则 ．
又因为 ，所以 ．
一般地，当n是正整数时， ，这就是说， 是 的倒数．
整数指数幂的运算性质
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．上述式子中，m，n均为任意整数．
（2）科学记数法
用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面
所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10．
【典例1】2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻≤8nm技术，标志着
我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米＝0.000000008米，0.000000008用科学记数法
可表示为（ ）
A．8×109 B．8×10﹣9 C．8×1010 D．8×10﹣10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000008＝8×10﹣9．
故选：B．
1 −2 1 0
【典例2】若a=3−2，b=−32，c=(− ) ，d=(− ) ，则它们的大小关系是（ ）
2 3
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b
【分析】先将各选项进行化简再进行比较即可．
1 1 −2 1 0
【解答】解：∵a=3−2=− ，b＝﹣32＝﹣9，c=(− ) =4，d=(− ) =1，
9 2 3
∴它们的大小关系是：b＜a＜d＜c，
故选：A．
【典例3】计算；
x2 y2 1
（1）(− ) 2 ⋅(− ) 3 ⋅(− ) 4；
y x x
2x
（2）4x2y÷(
)
2；
−y
b2
（3）( ) 3÷(−b6c)；
ac
（4） x−y x2−y2 x−y ；
− ÷ ⋅
x+2y x2+4xy+4 y2 x+2y
（5） m2−n2 (n−m) 2 m+n．
⋅ ÷
(m−n) 2 m2n2 m【分析】（1）先算乘方，再进行约分即可；
（2）先算乘方，同时把除法变成乘法，再进行约分即可；
（3）先算乘方，同时把除法变成乘法，再进行约分即可；
（4）先分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可；
（5）先分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可．
【解答】解：（1）原式 x4•（ y6）• 1
= −
y2 x3 x4
y4；
=−
x3
（2）原式＝4x2y• y2
4x2
＝y3；
（3）原式 b6 • 1
=
a3c3 −b6c
1
=− ；
a3c4
（4）原式 x−y • (x+2y) 2 • x−y
=−
x+2y (x+ y)(x−y) x+2y
x−y
=− ；
x+ y
（5）原式 (m+n)(m−n)•(m−n) 2 • m
=
(m−n) 2 m2n2 m+n
m−n
= ．
mn2
【典例4】计算：
m+2n n 2m
（1） + − ；
n−m n−m m−n
x2
（2） −x−1．
x−1
【分析】（1）、（2）先通分，再把分子相加减即可．m+2n n 2m
【解答】解：（1）原式= + +
n−m n−m n−m
m+2n+n+2m
=
n−m
3(n+m)
= ；
n−m
x2 x2−1
（2）原式= −
x−1 x−1
x2−x2+1
=
x−1
1
= ．
x−1
【典例5】计算化简
① a2b −c2 bc ；
( ) 3 ⋅( )÷( ) 4
c2 a2b a
12 2
② − ；
m2−9 m−3
a2+b2
③ −a+b；
a−b
m−1 2m 1
④( + )÷ ．
m+1 m2−1 m2−1
【分析】①原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到
结果；
②原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果；
③原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
④原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结
果．
【解答】解：①原式 a6b3•−c2• a4 a8 ；
= =−
c6 a2b b4c4 b2c8
12 2(m+3) −2(m−3) 2
②原式= − = =− ；
(m+3)(m−3) (m+3)(m−3) (m+3)(m−3) m+3
a2+b2−(a−b) 2
2ab
③原式= = ；
a−b a−bm2−2m+1+2m
④原式= •（m+1）（m﹣1）＝m2+1．
(m+1)(m−1)
3 a2−4a+4
【典例6】已知分式A＝（a+1− ）÷ ．
a−1 a−1
（1）化简这个分式；
（2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分
式A的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序进行计算即可；
（2）把分式化简后分子分母同时加上3得分式B，再根据求差法进行大小比较即可；
（3）根据（1）的化简结果，分情况计算出a和A都是整数即可．
【解答】解：（1）A a2−4 a−1
= ×
a−1 (a−2) 2
a+2
= ．
a−2
a+2
（2）∵A= ，A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，
a−2
a+5
∴B= ，
a+1
a+2 a+5
∴A﹣B= −
a−2 a+1
(a+2)(a+1)−(a+5)(a−2)
=
(a−2)(a+1)
a2+3a+2−(a2+3a−10)
=
(a−2)(a+1)
12
= ．
(a−2)(a+1)
∵a＞2，
∴A﹣B＞0，
∴A＞B．
答：分式B的值较原来分式A的值是变小了．
a+2 4
（3）A= =1+ ，是整数，a也是整数，
a−2 a−2所以a﹣2是4的因数，
所以a﹣2＝±1，±2，±4，
∴a＝3，1，4，0，6，﹣2．
因为a＝1，不符合题意，
所以所有符合条件的a的值为0、3、4、6、﹣2．
【典例7】先化简 a2 a ，然后从﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求
( −a−2)÷
a−2 a2−4a+4
值．
【分析】先按照分式的混合运算对式子进行化简，再求分式有意义时a的取值，代入求值即可．
a2 (a−2)(a+2) (a−2) 2
【解答】解：原式=[ − ]⋅
a−2 a−2 a
a2−a2+4 (a−2) 2
= ⋅
a−2 a
4(a−2)
=
a
4a−8
= ；
a
∵要使分式要有意义，则a﹣2≠0，a≠0，a2﹣4a+4≠0，
∴a≠0，a≠2，
4a−8 4×1−8
当a＝1时，原式= = =−4；
a 1
4a−8 4×(−1)−8
（当a＝﹣1时，原式= = =12也正确）．
a −1
知识点3 分式方程
1．分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
【归纳】
（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．
（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的
解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：
在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而
对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无
解．
3．分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题
的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求
出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
1 2x+1 1−3x x x
【典例 1】下列关于 x 的方程中（1） =1；（2） =1+ ；（3） + =1；（4）
x 3 4 b b
x 2x+3 y
−3=a+4；（5） +1=0，其中是分式方程的有（ ）
a π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
1
【解答】解：（1）关于x的方程 =1分母中含有未知数，（1）是分式方程；
x
2x+1 1−3x
（2）关于x的方程 =1+ 分母中不含有未知数，（2）不是分式方程；
3 4x x
（3）关于x的方程 + =1分母b是常数，分母中不含有未知数，（3）不是分式方程；
b b
x
（4）关于x的方程 −3=a+4分母a是常数，分母中不含有未知数，（4）不是分式方程；
a
2x+3 y
（5）关于x的方程 +1=0分母中 是常数，不含有未知数，（5）不是分式方程．
π
π
综上所述：是分式方程的有1个．
故选：A．
m 6
【典例2】已知关于x的分式方程 + =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A．m＞5 B．m≥5 C．m≥5且m≠6 D．m＞5且m≠6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣6＝x﹣1，
解得：x＝m﹣5，
由分式方程的解是非负数，得到m﹣5≥0，且m﹣5≠1，
解得：m≥5且m≠6，
故选：C．
mx−1 1
【典例3】关于x的方程 + =2有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
x−2 2−x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
mx−1 1
【分析】去分母，整理的（m﹣2）x＝﹣2，根据关于 x 的方程 + =2有整数解，得 x
x−2 2−x
2
=− ，且x≠2，进一步可得m﹣2＝﹣1或m﹣2＝±2，分别列方程即可．
m−2
【解答】解：去分母，得mx﹣1﹣1＝2（x﹣2），
整理，得（m﹣2）x＝﹣2，
mx−1 1
∵关于x的方程 + =2有整数解，
x−2 2−x
2
∴x=− ，且x≠2，
m−2
∴m﹣2＝±1或m﹣2＝±2，
∵x≠2，
∴m﹣2≠﹣1，解得m＝3或m＝4或m＝0，
∴满足条件的整数m有3个，
故选：C．
2m+x 2
【典例4】对于关于x的分式方程 −1= ，以下说法错误的是（ ）
x−3 x
A．分式方程的增根是x＝0或x＝3
3
B．若分式方程有增根，则m=−
2
1 3
C．若分式方程无解，则m=− 或m=−
2 2
D．分式方程的增根是x＝3
【分析】分式方程的增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，让最简公分母为0即可得到增
根，未知数系数为0也使分式方程无解，由此解答即可．
2m+x 2
【解答】解： −1= ，
x−3 x
方程两边同乘x（x﹣3），得（2m+x）x﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
即（2m+1）x＝﹣6，
若分式方程有增根，则x＝0或x﹣3＝0，即x＝0或x＝3，
当x＝0时，（2m+1）x＝﹣6，无解；
3
当x＝3时，6m+3＝﹣6，解得m=− ；
2
1
若分式方程无解，则2m+1＝0，解得m=− ；
2
所以A错误，B、C、D正确，
故选：A．
【典例5】某文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租金为180元，出发时又增
加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了 3元车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为
（ ）
180 180 180 180
A． − =3 B． − =3
x−2 x x+2 x
180 180 180 180
C． − =3 D． − =3
x x−2 x x+2
180
【分析】设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为： 元，出发时每名
x−2180
同学分担的车费为： ，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系．
x
【解答】解：设实际参加游览的同学共x人，
180 180
根据题意可得： − =3，
x−2 x
故选：A．
【典例6】某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时
3500 3500
“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程 = +8，根据已有信息，题中用“×××”
x−15 x
表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成
B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成
C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成
D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成
【分析】根据题意和题目中的方程，可以写出“×××”表示的缺失的条件．
3500 3500
【解答】解：设实际每天改造人行道x米，则可得方程 = +8，
x−15 x
∴根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充“每天比原计划多铺设15米，结果提前8天
完成”，
故选：A．
【典例7】某化工厂用A，B两种型号的机器人搬运化工原料，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小
时多搬运30kg，每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等．
（1）求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某化工厂有4500kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由
8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人一起搬运，问至少增加多少个B型机器人才能按
要求完成任务？
【分析】（1）设B型机器人每个每小时搬运xkg原料，则A型机器人每个每小时搬运（x+30）kg原
料，由题意：每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等，列
出分式方程，解此方程即可求解；
（2）设增加y个B型机器人，根据题意：先由8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人
一起搬运，共需要搬运4500kg化工原料，且所用时间不超过5小时，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值即可．
【解答】解：（1）设每个B型机器人每小时搬运xkg原料，则每个A型机器人每小时搬运（x+30）kg
原料，
900 600
根据题意，得： = ，
x+30 x
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解且符合题意；
则每个A型机器人每小时搬运原料为：x+30＝90；
因此，每个A型机器人每小时搬运90kg原料，每个B型机器人每小时搬运60kg原料．
（2）设增加y个B型机器人，
依题意，得：8×90×5+60（5﹣2）y≥4500，
解得：y≥5，
∵y为正整数，
∴y的最小值为5．
因此，至少要增加5个B型机器人．
