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第 02 讲 分式的基本性质
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的基本性质，并能够通过性质对分式进行熟练的变
①分式的基本性质
形。
②分式的约分
2. 掌握分式的约分和通分的方法，并能够运用分式的基本性质
③分式的通分
对分式进行熟练的通分和约分。
知识点01 分式的基本性质
1. 分式的性质的基本内容：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个 不等于 0 的整式，分式的值 不变 。
2. 式子表达：
A A⋅C A A÷C
= ， =
B B⋅C B B÷C
（A、B、C均是整式且C≠0）
3. 分式的符号改变法则：分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 两个 符号分式不会发生改变。
A −A −A A
= =− =−
即：
B −B B −B
【即学即练1】
1．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据
此即可得出答案．
【解答】解：A、原选项变形错误，不符合题意；
B、原选项变形错误，不符合题意；
C、原选项变形错误，不符合题意；
D、 ，原选项变形正确，符合题意；
故选：D．
【即学即练2】
2．根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式
子，分式的值不变．
【解答】解： ＝﹣ ，
故选：C．
【即学即练3】
3．若把分式 中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【分析】根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案．
【解答】解：把分式 中的x和y都扩大到原来的2倍，＝ × ，
分式的值缩小为原来的 ，
故选：C．
知识点02 分式的约分
1. 公因式的概念：
一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的 公因式 。
2. 公因式的求法：
对分子分母进行因式分解，然后求出系数的 最大公因数 与 相同式子的 最低次幂。他们
的乘积为公因式。
3. 最简分式的概念：
分子分母没有 公因式 的分式叫做最简公因式。
4. 约分的概念：
根据分式的 基本性质 ，把分子分母的 公因式 约去，这个过程叫约分。
5. 约分的步骤：
①对分式中能 因式分解 的分子或分母先进行因式分解。
约去分子分母的公因式即可。
②
【即学即练1】
4．分式 中分子、分母的公因式为 4 m n ．
【分析】观察分子分母，提取公共部分即可得出答案．
【解答】解：分式 中分子、分母的公因式为4mn；
故答案为：4mn．
【即学即练2】
5．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简分式的概念判断即可．
【解答】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意；B、 ，不是最简分式，不符合题意；
C、 是最简分式，符合题意；
D、 ，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【即学即练3】
6．化简下列分式：
（1） ； （2） ．
【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；
（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．
【解答】解：（1） ；
（2） ．
知识点03 分式的通分
1. 通分的概念：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值 相等 的 同分母 的分式
的过程叫做通分。这个相同的分母叫做 最简公分母 。
2.
最简公分母的求法：
最简公分母＝所有系数的 最小公倍数 ×所有因式的 最高次幂 。对能进行因式分解的分母
先因式分解，在确定所含有的因式。
3. 通分的步骤：
①将所有能分解因式的 分母 分解因式。
②求出 最简公分母 。
③利用 分式的性质 在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成 最简公分母 。
【即学即练1】
7．分式 与 的最简公分母是（ ）
A．abc B．a2b2c C．6a2b2c D．12a2b2c【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分
母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同
字母都写在积里．
【解答】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最
简公分母为：6a2b2c，
故选：C．
【即学即练2】
8．分式 ， ，﹣ 的最简公分母是（ ）
A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2
C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2
【分析】先把分式的分母分解因式，再找出最简公分母即可．
【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，
∴分式 ， ，﹣ 的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2．
故选：C．
【即学即练3】
9．通分：
（1） ， ， ； （2） ， ， ．
【分析】（1）利用分式的基本性质把分母都化为12x（x+2）（x﹣2）2即可；
（2）用分式的基本性质把分母都化为24x4y3z2即可．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ，
＝﹣ ＝﹣ ，
＝ ；
（2）﹣ ＝﹣ ，
＝ ，＝ ．
题型01 根据分式的性质判断分式的变形
【典例1】下列式子从左到右的变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：A. 变形正确，故选项A不符合题意；
B. ，变形正确，故选项B不符合题意；
C. ，变形正确，故选项C不符合题意；
D. ，变形不正确，故选项D符合题意．
故选：D．
【变式1】下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、 和 不一定相等，故A不符合题意；
B、 和 不一定相等，故B不符合题意；
C、 和a+b不一定相等，故C不符合题意；
D、 ＝ ，故D符合题意；
故选：D．
【变式2】下列式子从左到右变形正确的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、 ≠ ，故A错误，不符合题意；
B、 ＝ + ，故B错误，不符合题意；
C、 ＝ ，故C正确，符合题意；
D、 ≠m+n，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【变式3】下列各式中，正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝﹣
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝ ＝ ，故A符合题意．
B、 ≠ ，故B不符合题意．
C、 ≠ ，故C不符合题意．
D、原式＝ ，故 D不符合题意．
故选：A．
题型02 判断分式的倍数变化
【典例1】若把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的【分析】先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质得出即可．
【解答】解：
＝
＝
＝ • ，
所以如果把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的 ，
故选：C．
【变式1】将分式 中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【解答】解：∵把分式 中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为： ＝ ＝9× ，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
【变式2】若分式 中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小到原来的
【分析】根据题意先将x，y都扩大原来的3倍，再与原来的分式进行比较即可．
【解答】解：分式的x，y都扩大原来的3倍变为： ＝ ＝ ，
即x，y都扩大原来的3倍后分式的值不变，
故选：C．
题型03 判断最简分式
【典例1】下列分式中，不是最简分式的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、 是最简分式，不符合题意；
B、 是最简分式．不符合题意；
C、 是最简分式，不符合题意；
D、 ，不是最简分式，符合题意；
故选：D．
【变式1】分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解
因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解： 分子分母有公因式x2﹣1，
； ； 这三个是最简分式．
故选：C．
【变式2】从代数式：3，a2﹣1，a+1中任选两个，组成一个最简分式 （答案不唯一） ．（写出
一个即可）
【分析】根据最简分式的定义即可求解，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时
（即分子与分母互素）叫最简分式．
【解答】解：分式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．题型04 分式的约分
【典例1】化简 的结果是（ ）
A．m B．4﹣m C． D．
【分析】先把分式的分子和分母分解因式，再进行约分即可．
【解答】解：
＝
＝﹣
＝ ．
故选：D．
【变式1】下列约分结果正确的是（ ）
A． B． ＝x﹣y
C． ＝﹣m+1 D．
【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值
不变．
【解答】解：A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ＝﹣ ＝﹣m+1，正确；
D、分式 的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误．
故选：C．
【变式2】化简：
（1） ； （2） ．
【分析】（1）约去公因式axy，可得结论；（2）先分解因式，再约去公因式x﹣y．
【解答】解：（1）
＝ ；
（2）
＝
＝ ．
【变式3】先约分，再求值： ，其中a＝﹣2，b＝ ．
【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝ ，
＝ ，
＝ ，
当a＝﹣2，b＝ 时，
原式＝ ＝ ．
题型05 求分母的最简公分母
【典例1】式子 的最简公分母是（ ）
A．36x2y2 B．24x2y2 C．12x2y2 D．6x2y2
【分析】先确定2、3、6的最小公倍数，再取x、y的最高次幂，然后把它们的积作为最简公分母．
【解答】解：式子 的最简公分母是6x2y2．
故选：D．【变式1】分式 与 的最简公分母是（ ）
A．（x+y）2 B．2（x+y）3 C．2（x+y）2 D．2x+2y
【分析】先把 因式分解，再根据最简公分母的概念解答．
【解答】解： ＝ ，
∴ 与 的最简公分母是2（x+y）2，
故选：C．
【变式2】下列三个分式 中的最简公分母是 x （ x ﹣ 1 ） 2 （ 1+ x ） ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：三个分式 中的最简公分母是x（x﹣1）2（1+x），
故答案为：x（x﹣1）2（1+x）．
题型06 分式的通分
【典例1】若将分式 与分式 通分后，分式 的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分
式 的分子应变为（ ）
A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y）
【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为2（x﹣y）（x+y），即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴分式 的分子应变为6x2，
故选：A．【变式1】将分式 与分式 通分后， 的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则 的
分子变为（ ）
A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a
【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可．
【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2，
∴ ＝ ＝ ，
则 的分子变为1﹣a．
故选：A．
【变式2】通分 ， ， ．
【分析】找出各项中两式的最简公分母，通分即可．
【解答】解：它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3），
，
，
．
【变式3】通分：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ．
【分析】依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，
即可写出各分式的最简公分母；接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形为同
分母的形式即可得解．
【解答】解：（1） ， ， ；
（2） ， ， ．1．下列分式 ， ， ， ， 中，最简分式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简分式的定义逐个判断即可．
【解答】解： ＝ ， ＝ ， ＝b+2，这三个不是最简分式，
所以最简分式有： ， ，共2个，
故选：B．
2．阅读下列各式从左到右的变形
（1）
（2）
（3）
（4）
你认为其中变形正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式、分子、分母改变其中两项的符号，结果不变，可得答案；
（3）根据分式的加法，可得答案；
（4）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）分子分母乘以不同的数，故（1）错误；
（2）只改变分子分母中部分项的符号，故（2）错误；
（3）先通分，再加减，故（3）错误；
（4）分子分母乘以不同的数，故（4）错误；
故选：D．
3．将分式 中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质化简即可．
【解答】解： ＝ ＝ ，
即分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
4．下列说法错误的是（ ）
A．当x＝2时，分式 无意义
B．当x＞5时，分式 的值为正数
C．当分式 时，m＝±3
D．分式 与 的最简公分母是3ab2
【分析】根据分式无意义的条件判断 A；根据分式值为正数的条件判断B；根据分式的值为0的条件判
断C；根据确定最简公分母的方法判断D．
【解答】解：A、当x＝2时，分式 无意义，故本选项说法正确，不符合题意；
B、当x＞5时，分式 的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当分式 时，m＝3，故本选项说法错误，符合题意；
D、分式 与 的最简公分母是3ab2，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．若分式 的值为0，则x＝±2
B． 是最简分式
C．把分式 中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍
D． 与 的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
【分析】A．由分式值为零的条件得x2﹣4＝0且x﹣2≠0，即可判断；
B．将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断；C．按要求扩大倍数进行化简，即可判断；
D．按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断．
【解答】解：A．分式 的值为0，则x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝2，结论错误，故不符合题意；
B. ＝ ，结论错误，故不符合题意；
C. ＝ ，结论正确，故符合题意；
D．最简公分母是ab（x﹣y），结论错误，故不符合题意；
故选：C．
6．分式 、 、 的最简公分母是（ ）
A．（x+y）（x﹣y） B．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）
C．（x+y）（x2﹣y2） D．（x﹣y）（x2﹣y2）
【分析】根据最简公分母的概念解答即可．
【解答】解：分式 、 、 的最简公分母是（x+y）（x﹣y），
故选：A．
7．分式 化简得 ，则x应满足的条件是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0且x≠﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义的条件、分式的约分法则解答即可．
【解答】解：当x2+x≠0，即x≠0和﹣1时， ＝ ，
故选：C．
8．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列
分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解： ＝ ＝x+y，故选项A不符合题意；的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意；
＝ ，故选项C符合题意；
＝ ＝ ，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．把 与 通分后， 的分母为（1﹣a）（a+1）2，则 的分子变为（ ）
A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a
【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．
【解答】解： ＝ ＝ ，
故 的分子为1+a．
故选：B．
10．把 ， ， 通分后，各分式的分子之和为（ ）
A．2a2+7a+11 B．a2+8a+10
C．2a2+4a+4 D．4a2+11a+13
【分析】先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行解答即可．
【解答】解： ，
，
，
所以把 ， ， 通分后，
各分式的分子之和为﹣（a+1）2+6（a+2）+3a（a+1）＝2a2+7a+11，
故选：A．
11．若 成立，则x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0，
∴x≠1，故答案为：x≠1
12．若m为实数，分式 不是最简分式，则m＝ 0 ，﹣ 4 ．
【分析】直接利用最简分式的定义结合分式的性质得出答案．
【解答】解：∵分式 不是最简分式，
∴m＝0或﹣4时，都可以化简分式．
故答案为：0，﹣4．
13．若 ，则 ＝ ．
【分析】由 ，得a＝ ，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由 ，得a＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
14．小丽在化简分式 时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测*部分的式子应该是 x ﹣ 1
．
【分析】直接利用分式的性质结合约分即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴*部分的式子应该是x﹣1，
故答案为：x﹣1．
15．已知 ＝2， ＝3， ＝1，则 ＝ ．
【分析】分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过
来即可求解．
【解答】解：因为 ＝2， ＝3， ＝1，所以 ＝ ①， ＝ ②， ＝1③，
①+②+③得 + + ＝ + +1，
通分可得 ＝ ，
所以 ＝ ，
所以 ＝ ．
故答案为： ．
16．（1）通分： 和 ； （2）约分： ．
【分析】（1）通分时先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，计算即可；
（2）先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，计算即可．
【解答】解：（1） ＝ ；
＝ ；
（2）原式＝
＝ ．
17．已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；
（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
【解答】解：（1）x2+（4x+4）＝（x+2）2 或 x2+（x2+4x）＝2x2+4x＝2x（x+2）；
（2） ＝ ＝ 或 ＝ ＝ ．
18．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 （a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设 ，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知： ，其中x+y+z≠0，求 的值．
【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y
＝2z代入所求代数式．
【解答】解：设 ＝ ＝ ＝k，
则： ，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式＝ ＝ ＝ ．
19．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为
带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数
大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真
分式”．如 ， 这样的分式就是假分式； ， 这样的分式就是真分式．类似地，
假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ， ；
解决下列问题：
（1）分式 是 真 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式 化为带分式；
（3）如果x为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【分析】（1）认真读懂题意，利用题中给出的定义判断；
（2）依据题意化简即可；
（3）依据题意化简后分情况讨论出结果即可．【解答】解：（1）分式 是真分式；
故答案为：真；
（2） ；
（3）原式＝ ，
∵分式的值为整数，
∴x+2＝±1或±13，
∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．
20．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个
分式的“巧整式”．例如： ，则称分式 是“巧分式”，4x为它的
“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
（1）下列分式中是“巧分式”的有 ①③ （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若分式 （m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值；
（3）若分式 的“巧整式”为1﹣x．
①求整式A．
② 是“巧分式”吗？
【分析】（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m的方程，求解即可；
（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出
结论．
【解答】解：（1）∵ ，2x﹣3是整式，
∴①是“巧分式”；
∵ ， 不是整式，
∴②不是“巧分式”；
∵ ，x﹣y是整式，
∴③是“巧分式”；故答案为：①③；
（2）∵分式 （m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，
∴（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m，
∴x2﹣4x﹣21＝x2﹣4x+m，
∴m＝﹣21；
（3）①∵分式 的“巧整式”为1﹣x．
∴ ，
∴ ，即A＝2x2+2x；
②∵ ，
又x+1是整式，
∴ 是“巧分式”．
