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2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼
专题12 乘法公式问题
一、选择题
1.（2023山东东营） 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求
解．
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运
算法则以及乘法公式是解题的关键．
2. （2023山东临沂）下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D. ．
【答案】D
【解析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．
A、 ，故选项错误，不符合题意；
B、 ，故选项错误，不符合题意；C、 ，故选项错误，不符合题意；
D、 ，故选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3. （2023山东菏泽）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．
A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项正确；
C、 ，故选项错误；
D、 ，故选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，
正确掌握相关乘法公式是解题关键．
4. （2023山东济宁）下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方逐个计算即可．
A． ，所以A选项不符合题意；
B． ，所以B选项不符合题意；
C． ，所以C选项不符合题意；
D． ，所以D选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方，熟记运算法则是解题关键．
5.（2023龙东）下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．
A. ，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原式计算错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公
式是解题的关键．
6. （2023湖南岳阳）下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．
7. （2023湖南张家界）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．
A、 ，选项计算错误，不符合题意；
B、 ，选项计算错误，不符合题意；
C、 ，计算正确，符合题意；
D、 ，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
8. （2023辽宁本溪）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】按照整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算法则进行求解即可．
A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算，解答本题的关键是熟
练掌握各运算法则．
9. （2023内蒙古赤峰）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】根据幂的运算法则，乘法公式处理．
A. ，正确，符合题意；
B. ，原计算错误，本选项不合题意；
C. ，原计算错误，本选项不合题意；
D. ，原计算错误，本选项不合题意；
【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的运算，完全平方公式，掌握相关法则是解题的关键．
10. （2023四川广元）下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式进行计算即可求解．
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握以上知识是
解题的关键．
11.运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ ）
A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
【答案】C
【解析】运用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．
12. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的
正方形的面积，即可解答．
根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
13．若 ， ，则 的值是
A．1020 B．1998 C．2019 D．2040
【答案】A
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解析】∵ ，
∴ ， ，
两式相加得： ，∴ ．故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
14．若x﹣ =3，则 =（ ）
A．11 B．7 C． D．
【答案】C【解析】先由x﹣ =3两边同时平方变形为 ，进而变形为 ，从而得解．
∵x﹣ =3，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故选：C．
【点睛】此题要运用完全平方公式进行变形.根据a2+b2=(a+b)2-2ab把原式变为 ，再通分，最
后再取倒数.易错点是忘记加上两数积的2倍．
15．（2019·四川资阳·中考真题）4张长为a、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边
长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ．若 ，则a、b满足（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用a、b的代数式分别表示 ， ，再根据 ，得
，整理，得 ，所以 ．
【解析】解： ，
，∵ ，∴ ，整理，得 ，
∴ ，∴ ．故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
16．已知实数a、b满足a+b=2，ab= ，则a﹣b=（ ）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
【答案】C
【解析】∵a+b=2，ab= ，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2= ，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，∴a-b=±1，故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
二、填空题
1. 已知代数式 是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
【答案】 或
【解析】直接利用完全平方公式求解．
∵代数式 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得 或 .
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
2．如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是 ．
【答案】1【解析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平
方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值。
∵x2+mx+1=（x±1）2=（x+n）2，
∴m=±2，n=±1，
∵m＞0，
∴m=2，
∴n=1
3.观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
......
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．
【答案】a2017﹣b2017
【解析】考点是平方差公式；多项式乘多项式．根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子
结果即可．
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017
4. 若 ， ，则 的值为 _．
【答案】90
【解析】将 变形得到 ，再把 ， 代入进行计算求解．
∵ ， ，
∴．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．
5．已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的变式：ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【解析】解：∵（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，
∴（2019﹣a）（a﹣2017）＝ {[（2019﹣a）+（a﹣2017）]2﹣[（2019﹣a）2+（a﹣2017）2]}＝ ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
6．若m﹣ ＝3，则m2+ ＝_____．
【答案】11
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解析】∵ ＝m2﹣2+ ＝9，∴m2+ ＝11，故答案为11．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
7．已知实数 ， 满足 ，则代数式 的值为_____.
【答案】3.
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.
【解析】∵ ， ，∴ .故答案为3.
【点睛】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答.
三、解答题1. （2023河南）化简： ．
【答案】
【解析】先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可．
原式 ．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2. （2023湖南邵阳）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，24
【解析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
当 时，
原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
3．已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
【答案】0
【解析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可．
（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2
=﹣4xy+3y2
=﹣y（4x﹣3y）．∵4x=3y，
∴原式=0．
4.先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【解析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算．
原式 ，
将 ， 代入式中得：
原式 ．
【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5. （2023湖南张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a， ， ， 的正方形面积分别记为 ， ， ， ．
则
例如：当 ， 时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当 ， 时， ______， ______；
（2）当 ， 时，把边长为 的正方形面积记作 ，其中n是正整数，从（1）中的计算
结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当 ， 时，令 ， ， ，…， ，且，求T的值．
【答案】（1） ，
（2）猜想结论： ，证明见解析
（3）
【解析】【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当 ， 时，
原式 ；
当 ， 时，
原式 ；
（2）猜想结论：证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
6.已知 ，求代数式 的值．
【答案】５
【解析】先根据 ，得出 ，将 变形为 ，最后代
入求值即可．
∵ ，
∴ ，
∴【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将 变形为
，是解题的关键．
7.观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为 ，利
用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【小问1详解】
解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：
，故答案为： ；
【小问2详解】
解：第n个等式为 ，
证明如下：
等式左边： ，
等式右边：
，
故等式 成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关
键．
8．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张
纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S，图2中阴影部分面积为S，请直接用含a，b的代数式表示S 和S；
1 2 1 2
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】解：（1） .
（2） .【解析】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴ ．
S= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
2
（2）根据题意得： （a+b）（a-b）= ．
9．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图
所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【答案】见解析.
分析：根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解析】由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2+ + = =a2+2ab+b2=（a+b）2．
点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
